中考数学勾股定理知识点及练习题及答案
中考数学勾股定理知识点及练习题及答案
一、选择题
1.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,且a+b=10,ab=18,c=8,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰直角三角形
2.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是△ABC 的一条角平分线.若AC =6,AB =10,则点D 到AB 边的距离为( )
A .2
B .2.5
C .3
D .4
3.如图,在Rt ABC 中,90BAC ?∠=,以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形
'A BC ,'AB C △,'ABC △,若'A BC ,'AB C △的面积分别是10和4,则'ABC △的面积是( )
A .4
B .6
C .8
D .9
4.一艘渔船从港口A 沿北偏东60°方向航行至C 处时突然发生故障,在C 处等待救援.有一救援艇位于港口A 正东方向20(3﹣1)海里的B 处,接到求救信号后,立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C 处救援.则救援艇到达C 处所用的时间为( )
A 3
B .
2
3
小时 C .
2
3
小时 D 232
+ 5.下列说法不能得到直角三角形的( ) A .三个角度之比为 1:2:3 的三角形 B .三个边长之比为 3:4:5 的三角形 C .三个边长之比为 8:16:17 的三角形
D .三个角度之比为 1:1:2 的三角形
6.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习:首先画数轴,原点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB=3(如图).以O为圆心,OB 的长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于( )
A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间
7.如图,正方体的棱长为4cm,A是正方体的一个顶点,B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A爬到点B的最短路径是()
A.9 B.210C.326
D.12
8.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接,最多可搭成直角三角形的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.有下列的判断:
①△ABC中,如果a2+b2≠c2,那么△ABC不是直角三角形
②△ABC中,如果a2-b2=c2,那么△ABC是直角三角形
③如果△ABC是直角三角形,那么a2+b2=c2
以下说法正确的是()
A.①②B.②③C.①③D.②
10.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则BC的长是()
A.3
2
B.2 C.22D10
二、填空题
11.在ABC ?中,90BAC ∠=?,以BC 为斜边作等腰直角BCD ?,连接DA ,若
22AB =,42AC =,则DA 的长为______.
12.若ABC ?为直角三角形,90B ∠=?,6AB =,8BC =,点D 在斜边AC 上,且
2AC BD =,则AD 的长为__________.
13.Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,以 AC 为一边.在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段 BD 的长为_____.
14.如图,BAC 90∠=度,AB AC =,AE AD ⊥,且AE AD =,AF 平分DAE ∠交BC 于F ,若BD 6=,CF 8=,则线段AD 的长为______.
15.如图,正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ,高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点,则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm .
16.如图,30AOB ∠=?,点,M N 分别在,OA OB 上,且6,8OM ON ==,点,P Q 分别在,OB OA 上运动,则PM PQ QN ++的最小值为______.
17.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为3m ,4m ,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长长为3m 的直角边,则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2. 18.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =4,斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ,连接AD ,线段CD 的长为_________.
19.如图,Rt△ABC 中,∠BCA =90°,AB =5,AC =2,D 为斜边AB 上一动点(不与点
A ,
B 重合),DE ⊥A
C ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,连接EF ,则EF 的最小值是_____.
20.如图,把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)得到另一条数轴y ,x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.规定:已知点P 是平面斜坐标系中任意一点,过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ,过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ,若点A 在x 轴上对应的实数为a ,点B 在y 轴上对应的实数为b ,则称有序实数对(a ,b )为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系中,若θ=45°,点P 的斜坐标为(1,22),点G 的斜坐标为(7,﹣22),连接PG ,则线段PG 的长度是_____.
三、解答题
21.如图,,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ?
?∠===是边上的两点,点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 沿B C A →→运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒. (1)出发2秒后,求线段PQ 的长;
(2)求点Q 在BC 上运动时,出发几秒后,PQB 是等腰三角形; (3)点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间.
22.如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC ,AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD 于点D ,E 是AB 的中点,连接CE 交AD 于点F ,BD =3,求BF 的长.
23.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,其中AB =AC ,AD =AE ,且∠BAC =∠DAE . (1)如图①,连接BE 、CD ,求证:BE =CD ;
(2)如图②,连接BE 、CD ,若∠BAC =∠DAE =60°,CD ⊥AE ,AD =3,CD =4,求BD 的长;
(3)如图③,若∠BAC =∠DAE =90°,且C 点恰好落在DE 上,试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系,并加以说明.
24.在等腰△ABC 与等腰△ADE 中,AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE ,且点D 、E 、C 三点在同一条直线上,连接BD .
(1)如图1,求证:△ADB ≌△AEC
(2)如图2,当∠BAC =∠DAE =90°时,试猜想线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系,并写出证明过程;
(3)如图3,当∠BAC =∠DAE =120°时,请直接写出线段AD ,BD ,CD 之间的数量关系式为: (不写证明过程)
25.如图,在ABC 中,90BAC ∠=?,AB AC =,点D 是BC 上一动点、连接AD ,过点A 作AE AD ⊥,并且始终保持AE AD =,连接CE , (1)求证:ABD ACE ?; (2)若AF 平分DAE ∠交BC 于F ,
①探究线段BD ,DF ,FC 之间的数量关系,并证明; ②若3BD =,4CF =,求AD 的长,
26.(1)如图1,在Rt ABC ?中,90ACB ∠=?,60A ∠=?,CD 平分ACB ∠. 求证:CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考:
作ADC ?关于直线CD 的对称图形A DC '?,∵CD 平分ACB ∠,∴A '点落在CB 上,且
CA CA '=,A D AD '=.因此,要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考,写出该问题完整的证明过程.
(2)参照(1)中小明的思考方法,解答下列问题:
如图3,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,10BC CD ==,17AC =,9AD =,求AB 的长.
27.如图,在△ABC 中,∠C =90°,把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合.
(1)若∠A =35°,则∠CBD 的度数为________; (2)若AC =8,BC =6,求AD 的长;
(3)当AB =m(m>0),△ABC 的面积为m +1时,求△BCD 的周长.(用含m 的代数式表示) 28.如图,己知Rt ABC ?,90ACB ∠=?,30BAC ∠=?,斜边4AB =,ED 为AB 垂直平分线,且23DE =,连接DB ,DA .
(1)直接写出BC =__________,AC =__________; (2)求证:ABD ?是等边三角形;
(3)如图,连接CD ,作BF CD ⊥,垂足为点F ,直接写出BF 的长;
(4)P是直线AC上的一点,且
1
3
CP AC
,连接PE,直接写出PE的长.
29.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AC,BC上的点,且满足DE⊥EF,垂足为点E,连接DF.
(1)求∠EDF= (填度数);
(2)延长DE交AB于点G,连接FG,如图2,猜想AG,GF,FC三者的数量关系,并给出证明;
(3)①若AB=6,G是AB的中点,求△BFG的面积;
②设AG=a,CF=b,△BFG的面积记为S,试确定S与a,b的关系,并说明理由.
30.菱形ABCD中,∠BAD=60°,BD是对角线,点E、F分别是边AB、AD上两个点,且满足AE=DF,连接BF与DE相交于点G.
(1)如图1,求∠BGD的度数;
(2)如图2,作CH⊥BG于H点,求证:2GH=GB+DG;
(3)在满足(2)的条件下,且点H在菱形内部,若GB=6,CH=43,求菱形ABCD的面积.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.B
解析:B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10,ab=18求出22a b +,即可得到三角形的形状. 【详解】
∵a+b=10,ab=18,
∴22a b +=(a+b )2-2ab=100-36=64, ∵,c=8, ∴2c =64, ∴22a b +=2c ,
∴该三角形是直角三角形, 故选:B. 【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理,完全平方公式,能够利用完全平方公式由已知条件求出
22a b +是解题的关键.
2.C
解析:C 【分析】
作DE ⊥AB 于E ,由勾股定理计算出可求BC=8,再利用角平分线的性质得到DE=DC ,设DE=DC=x ,利用等等面积法列方程、解方程即可解答. 【详解】
解:作DE ⊥AB 于E ,如图,
在Rt △ABC 中,BC 22106-8,
∵AD 是△ABC 的一条角平分线,DC ⊥AC ,DE ⊥AB , ∴DE =DC , 设DE =DC =x , S △ABD =
12DE ?AB =1
2
AC ?BD , 即10x =6(8﹣x ),解得x =3, 即点D 到AB 边的距离为3. 故答案为C . 【点睛】
本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识,理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..
3.B
解析:B
【分析】
设AB=c ,AC=b ,BC=a ,用a 、b 、c 分别表示'A BC ,'AB C △,'ABC △的面积,再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2,求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积. 【详解】
设AB=c ,AC=b ,BC=a ,
由题意得'A BC 的面积=1102a a ?=,
'AB C △的面积=1422
b b ??=
∴2
a =
2b =在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,b 2+c 2=a 2,
∴c 2=a 2-b 2=
∴'ABC △的面积=21224c c c ??==64
= 故此题选B 【点睛】
此题考察勾股定理的运用,用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积,运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积
4.C
解析:C 【解析】 【分析】
过点C 作CD 垂直AB 延长线于D ,根据题意得∠CDB=45°,∠CAD=30°,设BD=x 则
CD=BD=x ,x ,由∠CAD=30°可知tan∠CAD=
3CD AD =
3= ,解方程求出BD 的长,从而可知BC 的长,进而求出救援艇到达C 处所用的时间即可. 【详解】
如图:过点C 作CD 垂直AB 延长线于D ,则∠CDB=45°,∠CAD=30°, ∵∠CDB=45°,CD⊥BD, ∴BD=CD,
设BD=x ,救援艇到达C 处所用的时间为t ,
∵tan∠CAD=
CD AD =
AD=AB+BD ,
=x=20(海里),
(海里),
∴t=
20230 =22
3
(小时),
故选C. 【点睛】
本题考查特殊角三角函数,正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键.
5.C
解析:C 【分析】
三角形内角和180°,根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角,根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系. 【详解】
A 中,三个角之比为1:2:3,则这三个角分别为:30°、60°、90°,是直角三角形; D 中,三个角之比为1:1:2,则这三个角分别为:45°、45°、90°,是直角三角形;
B 中,三边之比为3:4:5,设这三条边长为:3x 、4x 、5x ,满足:()()()2
2
2
345x x x +=,是直角三角形;
C 中,三边之比为8:16:17,设这三条边长为:8x 、16x 、17x ,()()()2
2
2
81617x x x +≠,不满足勾股定理逆定理,不是直角三角形 故选:C 【点睛】
本题考查直角三角形的判定,常见方法有2种; (1)有一个角是直角的三角形; (2)三边长满足勾股定理逆定理.
6.C
解析:C 【分析】
利用勾股定理求出AB 的长,再根据无理数的估算即可求得答案. 【详解】
由作法过程可知,OA=2,AB=3, ∵∠OAB=90°,
∴22222313OA AB +=+=,
∴P点所表示的数就是13,
∵91316
<<,
<<,
∴3134
即点P所表示的数介于3和4之间,
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理和无理数的估算,熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.
7.B
解析:B
【分析】
将正方体的左侧面与前面展开,构成一个长方形,用勾股定理求出距离即可.
【详解】
解:如图,AB=22
++=.
(24)2210
故选:B.
【点睛】
此题求最短路径,我们将平面展开,组成一个直角三角形,利用勾股定理求出斜边就可以了.
8.B
解析:B
【解析】
试题分析:解:∵92=81,122=144,152=225,362=1296,392=1521,
∴81+144=225,225+1296=1521,即92+122=152,152+362=392,
故选B.
考点:勾股定理的逆定理
点评:本题难度中等,主要考查了勾股定理的逆定理,解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容.
9.D
解析:D
【分析】
欲判断三角形是否为直角三角形,这里给出三边的长,需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
【详解】
①c 不一定是斜边,故错误; ②正确;
③若△ABC 是直角三角形,c 不是斜边,则a 2+b 2≠c 2,故错误, 所以正确的只有②, 故选D. 【点睛】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理,熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.
10.D
解析:D 【分析】
根据条件可以得出∠E =∠ADC =90°,进而得出△CEB ≌△ADC ,就可以得出AD =CE ,再利用勾股定理就可以求出BC 的值. 【详解】
解:∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE , ∴∠E =∠ADC =90°, ∴∠EBC +∠BCE =90°. ∵∠BCE +∠ACD =90°, ∴∠EBC =∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中,
E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△CEB ≌△ADC (AAS ), ∴CE =AD =3,
在Rt △BEC
中,, 故选D . 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
二、填空题
11.6或2. 【分析】
由于已知没有图形,当Rt △ABC 固定后,根据“以BC 为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论:
①当D 点在BC 上方时,如图1,把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ,证明A 、C 、E 三点共线,在等腰Rt △ADE 中,利用勾股定理可求AD 长;
②当D点在BC下方时,如图2,把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED,证明过程类似于①求解.
【详解】
解:分两种情况讨论:
①当D点在BC上方时,如图1所示,
把△ABD绕点D逆时针旋转90°,得到△DCE,
则∠ABD=∠ECD,CE=AB=22,AD=DE,且∠ADE=90°
在四边形ACDB中,∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°,
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°,
∴∠ACD+∠ECD=180°,
∴A、C、E三点共线.
∴AE=AC+CE=42+22=62
在等腰Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
即2AD2=(62)2,解得AD=6
②当D点在BC下方时,如图2所示,
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED,
则2,∠BAD=∠CED,AD=AE且∠ADE=90°,
所以∠EAD=∠AED=45°,
∴∠BAD=90°+45°=135°,即∠CED=135°,
∴∠CED+∠AED=180°,即A、E、C三点共线.
∴222
在等腰Rt△ADE中,2AD2=AE2=8,解得AD=2.
故答案为:6或2. 【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理,解决这类等边(或共边)的两个三角形问题,一般是通过旋转的方式作辅助线,转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解. 12.5 【分析】
在直角ABC 中,依据勾股定理求出AC 的长度,再算出BD ,过点B 作BE AC ⊥于点E ,通过等面积法求出BE ,得到两个直角三角形,分别运用勾股定理算出AE ED 、,两者相加即为AD 的长. 【详解】
解:如图,过点B 作BE AC ⊥于点E ,则90BEA ∠=?,90BED ∠=?,
∵直角ABC 中,90B ∠=?,6AB =,8BC =, ∴22=10AC AB BC +=, 又∵2ABC
S
AB BC AC BE =?=?,2AC BD =
∴6810BE ?=,5BD =, ∴=4.8BE ,
∵90BEA ∠=?,90BED ∠=?
∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=, ∴5AD AE ED =+=. 故答案为:5. 【点睛】
本题考查了勾股定理,通过作直角三角形斜边上的高,既构造了两个直角三角形求位置线段,又通过等面积法求出了一条直角边的长度,为运用勾股定理求线段创造了条件;故在
求线段长时,可以考虑构造直角三角形.
13.4或25或10
【分析】
分三种情况讨论:①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC.分别画图,并求出BD.
【详解】
①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC,如图1.
∵∠DAC=90°,且AD=AC,
∴BD=BA+AD=2+2=4;
②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,如图2.
连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠DCE=45°.
又∵DE⊥CE,
∴∠DEC=90°,
∴∠CDE=45°,
∴CE=DE=2
2
2
2
?=.
在Rt△BAC中,BC22
22
=+=22,∴BD2222
2222
BE DE()()
=+=++= 25;
③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,如图3.
∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,
∴AD=DC=AC sin45°=2
2
2?=.
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠BCD=90°.
又∵在Rt△ABC中,BC22
22
=+=22,
∴BD2222
22210 BC CD
=+=+=
()().
故BD 的长等于4或25
或10. 故答案为4或25或10. 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是分情况考虑问题,
14.65
【分析】
由“SAS”可证ABD ≌ACE ,DAF ≌EAF 可得BD CE =,4B ∠∠=,
DF EF =,由勾股定理可求EF 的长,即可求BC 的长,由勾股定理可求AD 的长. 【详解】
解:如图,连接EF ,过点A 作AG BC ⊥于点G ,
AE AD ⊥,
DAE DAC 290∠∠∠∴=+=,
又
BAC DAC 190∠∠∠=+=, 12∠∠∴=,
在ABD 和ACE 中
12AB AC AD AE =??
∠=∠??=?
, ABD ∴≌()ACE SAS .
BD CE ∴=,4B ∠∠=
BAC 90∠=,AB AC =,
∴B 345∠∠==
4B 45∠∠∴==,
ECF 3490∠∠∠∴=+=, 222CE CF EF ∴+=, 222BD FC EF ∴+=,
AF 平分DAE ∠, DAF EAF ∠∠∴=, 在DAF 和EAF 中 AD AE DAF EAF AF AF =??
∠=∠??=?
,
DAF ∴≌()EAF SAS . DF EF ∴=. 222BD FC DF ∴+=.
22222DF BD FC 68100∴=+=+=,
∴DF 10=
BC BD DF FC 610824∴=++=++=, AB AC =,AG BC ⊥,
1
BG AG BC 122
∴===,
DG BG BD 1266∴=-=-=,
∴22AD AG DG 65=+= 故答案为65 【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题. 15.55 【解析】 【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答. 【详解】 展开图如图所示:
由题意,在Rt △APQ 中,PD=10cm ,DQ=5cm ,
∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ), 故答案为:5 【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题. 16.10 【分析】
首先作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN 的最小值,易得△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∠N′OM′=90°,继而可以求得答案.
【详解】
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可
知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,OM′=OM=6,ON′=ON=8,∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∴∠N′OM′=90°.在Rt△M′ON′中,M′N′=22
''
OM ON
=10.故答案为10.
【点睛】
本题考查了最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到直角三角形是解题的关键.
17.8或10或12或25 3
【详解】
解:①如图1:
当BC=CD=3m时,AB=AD=5m,AC⊥BD,
此时等腰三角形绿地的面积:1
2
×6×4=12(m2);
②如图2:
当AC=CD=4m时,AC⊥CB,
此时等腰三角形绿地的面积:1
2
×4×4=8(m2);
③如图3:
当AD=BD时,设AD=BD=xm,
在Rt△ACD中,CD=(x-3)m,AC=4m,
由勾股定理,得AD2=DC2+CA2,即(x-3)2+42=x2,
解得x=25
6
,
此时等腰三角形绿地的面积:1
2
BD·AC=
1
2
×
25
6
×4=
25
3
(m2);
④如图4,
延长BC到D,使BD=AB=5m,故CD=2m,
此时等腰三角形绿地的面积:1
2
BD·AC=
1
2
×5×4=10(m2);
综上所述,扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或25
3
m2.
点睛:此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用,解决问题的关键是根据题意正确画出图形.