反比例函数经典例题(有答案)

反比例函数专题复习

一、反比例函数的对称性

1、直线y=ax（a＞0）与双曲线y= 3/x交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则4x1y2-3x2y1=

2、如图1，直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 2/x交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为

A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（）

A、-8

B、4

C、-4

D、0

解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称

因此两交点A、B也关于原点对称

X2=-X1，Y2=-Y1

双曲线形式可变化为XY=2，即双曲线上点的横纵坐标乘积为2

因此X1Y1=2

X1Y2+X2Y1=X1（-Y1）+（-X1）Y1=-X1Y1-X1Y1=-4

图1 图2 图3 图4

二、反比例函数中“K”的求法

1、如图2，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC边在

直线l上滑动，使A，B在函数 y=k/x的图象上．那么k的值是（）

A、3

B、6

C、12

D、 15/4

解析：∵BC在直线X=1上，设B(1，M)，则C(1，M-3)，∴A(5，M-3)，

又A、B都在双曲线上，∴1*M=5*(M-3)，M=15/4 即K=15/4

2、如图3，已知点A、B在双曲线y= k/x（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于

点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=

解析：A(x1,k/x1),B(x2,k/x2)

AC:x=x1 BD:y=k/x2

P(x1,k/x2)

k/x2=k/2x1 2x1=x2

BP=x2-x1=x1

AP=k/x1-k/x2=k/2x1

S=x1*k/(2x1)*1/2)=k/4=3 k=12

3、如图4，双曲线y= k/x（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为

3，则双曲线的解析式为（）

A、y=1/x

B、y=2/x

C、y=3/x

D、y=6/x

解析：设E(x0,k/x0)

E是BC中点，∴B(x0,2k/x0)

B、D两点纵坐标相同，∴D(x0/2,2k/x0)

BD=x0/2,OC=x0,BC=2k/x0

梯形面积=(BD+OC)×BC/2=3k/2=3

∴k=2 ∴双曲线的解析式为：y=2/x

三、反比例函数“K”与面积的关系

1、如图5，已知双曲线 y1=1/x(x＞0)， y2=4/x(x＞0)，点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别次双曲线y1=1/x于D、C两点，则△PCD的面积为（）

图5 图6 图7

解析：假设P的坐标为（a,b），则C（a/4,b), D(a,b/4),

PC=3/4*a PD=3/4*b

S=1/2*3/4*a*3/4*b

因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4

所以S=9/8

2、如图6，直线l和双曲线 y=k/x(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、

B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为

C、

D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（）

A、S

1＜S

＜S

B、S

＞S

C、S

＞S

D、S

＜S

解析：结合题意可得：AB都在双曲线y=kx上，

则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3．

3、如图7，已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 y=k/x交于C、D两点，且S△AOC=S△COD=S△BOD，

则k= 。

解析：S△AOC=S△COD=S△BOD=3/2 所以，CD两点的坐标为（2,1）（1,2） k=2

4、反比例函数y= 6/x 与y= 3/x在第一象限的图象如图8所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线

于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）

A、 3/2

B、2

C、3

D、1

解：设直线方程：y=b,则A(6/b,b) B(3/b,b)

|AB|=(6/b-3/b)=3/b ,h(o-AB)=b

s(OAB)=(1/2)*(3/b)*b=3/2

图8 图9 图10 图11

5、如图9，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 y=k/x交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（）

A、等于2

B、等于 3/4

C、等于 24/5

D、无法确定

解析：如图，设点B(a,b)，过点D作x轴垂线，垂足为E

则点A(a,0)

点C的纵坐标为b，那么x=k/y=k/b 所以，点C(k/b,b)

OB所在的直线为y=(b/a)x，它与y=k/x相交

所以，(b/a)x=k/x ===> x^2=ak/b ===> x=√(ak/b) ——这就是点D横坐标

已知OD/DB=1/2，所以：OD/OB=1/3

则，OE/OA=OD/OB=1/3

===> √(ak/b)/a=1/3===> a=3√(ak/b)

===> a^2=9ak/b ===> ab=9k

又BC=a-(k/b)

所以，S△OBC=(1/2)*BC*AB=(1/2)*[a-(k/b)]*b=3

===> ab-k=6 ===> 9k-k=6 ===> k=3/4

6、如图10，反比例函数y=k/x(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若

四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）

A、1

B、2

C、3

D、4

解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE= |k|/2，S△OAD= |k|/2，

又M为矩形ABCO对角线的交点，则矩形ABCO的面积为4|k|，

由于函数图象在第一象限，k＞0，则k/2+ k/2+6=4k，k=2．

故选B

7、如图11，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（）

A、根号3

B、 3

C、根号3-1

D、根号3+1

解析：四边形AOEC是梯形，需求出EC、OA和高（两平行线的距离）；

必须确认反比例函数是xy=1，否则反比例函数很靠近或远离坐标轴将使所得图形面积变化不定。

直线BEC的方程为：y=x-2，与反比例函数交点坐标C的y坐标满足：(y+2)y=1，解得y=√2-1；

因直线BEC的斜率是1，EC＝√2*C点y坐标=√2*(√2-1)=2-√2；

E到平行线OA的距离h=(√2/2)*OE=(√2/2)*E点x坐标=(√2/2)*2＝√2；

A点坐标(1,1)，所以OA=√2；

四边形AOEC的面积=(EC+OA)*h/2=(2-√2+√2)*√2/2=√2；

8、如图，A、B是双曲线y= k/x（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交

x轴于点C，若S△AOC=6．则k=

解析：A，B是双曲线y=k/x(k>0)上的点

则 A(a,k/a) , B[2a,k/(2a)]

AB直线方程：(y-k/a)/(x-a)=(k/a-k/(2a))/(a-2a)

2a^2 y-2ak=-k(x-a)

0-2ak=-k(x-a)

x=3a

AB的延长线交x轴于点C（3a,0)

S△Aoc= (k/a)(3a)/2=6

k=4 y=6/x

图1 图2 图3

四、反比例函数与一次函数综合：

1、如图1，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y= 1/x（x＞0）的图象上，则点E 的

坐标是

解析：很明显B（1,1）设正方形ADEF边长为a

则E（1+a,a)在Y=1/X上即(1+a)a=1

a^2+a-1=0

用求根公式得a=(-1＋√5)/2（因为a>0)

E的坐标是（(1＋√5)/2 ，(-1＋√5)/2 ）

2、如图2，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 y=-4/x和y=2/x的图象交于A 点

和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）

A、3

B、4

C、5

D、6

解析：设P点坐标为（0，a），则A点坐标为（-4/a,a）B点坐标为（2/a,a)

所以AB的距离为2/a-（-4/a）=6/a

点C到AB的距离为a

所以三角形ABC的面积为1/2×6/a×a=3

3、如图3，直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y= k/x（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，

BN⊥x轴于N；有以下结论：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；

④当AB= 2时，ON-BN=1；其中结论正确的个数为（）

A、1

B、2

C、3

D、4

解:-x+b=k/x得出X值(用公式法解)一个为A的横坐标一个为B的横从标,把B的横坐标代入y=-x+b得B的纵坐标与A的横从标相等即MO=ON,因为三角形AMO与三角形BON面积相等,所以MA=BN,所以：△AOM≌△BON,由勾股定理可得OA=OB,把A,B坐标表示出来,AB用两点间的距离公式可算出AB=根号2乘以根号下B平方减4K,因为AB=根号2,所以根号下B平方减4K=1,,ON-BN=根号下B平方减4K,所以ON-BN=1,最难的是第三个结论解法如下:

过O作OM垂直AB于点D ,可得三角形AOM与AOD面积相等,三角形ODB与OBN面积相等,所以三角形AOB面积为K

选D

4、如图4，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 y=4/x(x＞0)图象上位于直线下方的

一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F．则AF?BE=（）

A、8

B、6

C、4

D、 6倍根号2

图4 图5

解：过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，

∵直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，

∴A（6，0），B（0，6），

∴OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴BC=CE，AD=DF，

∵PM⊥OA，PN⊥OB，

∴四边形CEPN与MDFP是矩形，

∴CE=PN，DF=PM，

∵P是反比例函数图象上的一点，

∴PN?PM=4，

∴CE?DF=4，

在Rt△BCE中，BE= = CE，

在Rt△ADE中，AF= = DF，

∴AF?BE=CE?DF=2CE?DF=8．

5、如图5，反比例函数 y=k/x（k＞0）与一次函数 y=1/2x+b的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，

y2），线段AB交y轴与C，当|x1-x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（）

A、k= 1/2，b=2

B、k= 4/9，b=1

C、k= 1/3，b= 1/3

D、k= 4/9，b= 1/3

解析：y=k/x y=x/2+b

联立得，x2/2+bx-k=0

x1+x2=-2b，x1*x2=-2k

|x1-x2|=√[(x1+x2)2-4x1*x2]=2

整理，√(b2+2k)=1【从这一步，就能推断出答案，只能选择答案是D】

|AC|/|BC|=|x1|/|x2|=2

【第一种情况】

设x1<0，x2>0

x1=-2x2,

|x1-x2|=3x2=2，故x2=2/3，x1=-4/3

x1+x2=-2b=-2/3，即b=1/3

x1*x2=-2b=-8/9，即,k=4/9. 【第二种情况】

x1>0，x2<0

x1=-2x2,

|x1-x2|=-3x2=2，故x2=-2/3，x1=4/x 同理，解出b=-1/3，k=4/9

综上可得，k=4/9，b=1/3或-1/3。【没有设置b的条件，故，b可取负值也可取正值。】

五、综合（函数与几何）

1、如图，?ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y= k/x上，边AD交y 轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=

解：过点D作x轴的垂线，垂足为M，过点C作y轴的垂线，垂足为N

DM与CN交于点F

则△ABO≌△CDF ∴DF=2，CF=1

∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍

∴(BC+AD)=5AE

∴DE=2AE ∴MO=2AO

∴点D的横坐标为2，∴点C的横坐标为3

设点的坐标为（2，m）

∴点C的坐标为（3，m-2）

∵C，D都在函数y=k/x 的图象上

∴k=2m=3(m-2) 解得m=6,k=12

2、如图，已知C、D是双曲线，y= m/x在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，

设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD．

（1）求证：y1＜OC＜y1+ m/y1；

（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana= 1/3，OC= 根号10，求直线CD的解析式；

（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POC=S△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

解：1.因为CG

2.因为OG:CG=1:3,OC=根号10，所以OG=1，CG=

解析式为y=10/x

3 双曲线y= 上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点P就是

∠COD的平分线与双曲线y= 的交点证明如下：

∵点P在∠COD的平分线上．

∴点P到OC、OD的距离相等．

又OD =OC ∴S△POD=S△POC

3、如图，将一矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数y=k/x(x＞0)的图象与边BC交于点F．

（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1+S2=2，求k的值；

（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少？

解：四边形OAEF的面积=矩形OABC的面积 - 三角形OCF的面积 - 三角形BEF的面积

= 4*2 - (1/2)OC*CF - (1/2)EB*FB

= 8 - (1/2)*4*k/4 - (1/2)(4 - k/2)(2 - k/4)

= 8 - k/2 -(1/2)(8 - k - k + k2/8)

= 4 + k/2 - k2/16

= 5 - (k - 4)2/16

k = 4时，四边形OAEF的面积最大，为5。此时E(2, 2)

4、如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= m/x（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y= m/x（x＞0）和y=- m/x（x＜0）于点M、N．

（1）求m的值和直线l的解析式；

（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．解：(1)把B(2，1)代入y=m/x 得m=2，

设直线l解析式为y=kx+b，把A(1，0)和B(2，1)代入，

解得k=1，b=-1，∴直线l的解析式为y=x-1

(2)如图，由题意得P(3，2)，M(1，2)，N(-1，2)

∴PM=2，PN=4，PB=√2，PA=2√2，

∵PM/PN=PB/PA，∠MPB=∠NPA，∴△PMB∽△PNA

（3）设存在p，则M[2/(p-1)，p-1]，N[-2/(p-1)，p-1]

NM=4/(p-1)，PM=lp-2/(p-1)l，由题意得MN=4PM，

解得关于p的方程得p的值有两个。p=（√13+1）\2，p=2（不成立）p=（√5+1）\2

5、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=k/x（x＞0）的图象经过点B、E，F；

（1）求k的值；

（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y=k/x（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．

解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA=OC=2，

∴点B坐标为（2，2），∴k=xy=2×2=4．

（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，

∴ON=OM=2OA=4，

∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．

∵点E、F在函数y= 的图象上，∴当x=4时，y=1，即E（4，1），

当y=4时，x=1，即F（1，4）．

设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，

得m=-1，n=5．

∴直线EF的解析式为y=-x+5．