中考数学坐标系里的几何图形

坐标系里的几何图形

一、坐标系里的基本几何图形

例1 如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为?60，那么C 点的坐标是，B 点的坐标是。

例2 如图，在平面直角坐标系中，以点)3,0(M 为圆心，以32长为半径作⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，连结AM 并延长交⊙M 于P 点，连结PC 交x 轴于E 。（1）求出CP 所在直线的解析式；（2）连结AC ，求ACP ?的面积。

例3 如图（1），在平面直角坐标系中，ABC Rt ?的斜边AB 在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上，,4

3tan =∠ABC 点P 在线段OC 上，且PC PO ,的长)(PC PO <是方程027122

=+-x x

（1）求P 点的坐标；（2）求AP 的长；

（3）在x 轴上是否存在点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是梯形若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

二、坐标系里的图形引入动点

例1 如图（1），直角坐标系中，已知点4,2(A ），0,5(B ），动点P 从点B 出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从

点A 出发沿AB 向终点B 运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs 。（1）求Q 点的坐标；（用含x 的代数式表示）（2）当x 为何值时，APQ ?是一个以AP 为腰的等腰三角形

（1）

例2 如图（1），在直角坐标系里，已知点0,3(A ），1,0(B ），以线段AB 为一直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中?=∠90BAC ，点a P ,1(）为坐标系中的一个动点。

（1）求ABC ?的面积ABC S ?；

1）

（2）证明不论a 取任何实数，BOP ?的面积是一个常数；（3）要使得，ABC S ?ABP S ?=，求实数a 的值。

例3 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连结OD ，过点D 作OD DE ⊥，交边AB 于点E ，连结OE 。记CD 的长为t 。（1）当3

t 时，求直线DE 的函数表达式。 x

（2）如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由。

（3）当2

2DE OD +的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。

三、坐标系里的图形变换

例1 如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A 在第二象限内，点B ，点C 在x 的负半轴上，4,30=?=∠OA CAO 。

（1）求C 点的坐标；（2）如图（2），将ACB ?绕点C 按顺时针方向旋转30°到''CB A ?的位置，其中C A '交直线OA 于点E ，''B A 分别交直线 OA ，CA 于点G F ,，则除AOC C B A ???''外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）。

（3）在（2）的基础上，将''CB A ?绕点C 按顺时针方向继续旋转，当COE ?的面积为4

时，求直线CE 的函数表达式。（1）

（2）

例2 一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，

4,5==OC OA 。

（1）如图（1），将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上点D 处，求点D 的坐标；

（2）在（1）中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P 和点B 都在抛物线c bx x y ++=2

上，求c b ,的值；（3）若将纸片沿直线l 对折，点B 落在y 轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ，

若点Q 在（2）的抛物线上，求l 的解析式。

练习题

1、如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴交于B A ,两点，AC 是⊙M 的直径，过点C 的直线交x 轴于点D ，连结BC ，已知点M 的坐标为3,0(），直线CD 的函数解析式为353+-=x y 。（1）求点D 的坐标和BC 的长；（2）求点C 的坐标和⊙M 的半径；（3）CD 是⊙M 的切线吗请说明理由。

2、在平面直角坐标系中，A 点坐标为（0，4），C 点坐标为（10，0）。

（1）如图（1），若直线,//OC AB AB 上有一动点P ，当P 点的坐标为时，有PC PO =；

（1）（2）

x x

（2）如图（2）若直线AB 与OC 不平行，在过点A 的直线4+-=x y 上是否存在点P ，使?=∠90OPC ，若有这样的点P ，求出它的坐标；若没有，请简要说明理由；

（3）若点P 在直线4+=kx y 上移动时，只存在一个点P 使?=∠90OPC ，求出此时4+=kx y 中的k 的值是多少

3、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，?=∠==60,4,7,//COA AB OA OA BC ，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O ，点A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D 。

（1）求点B 的坐标；

（2）当点P 运动到什么位置时，OCP ?为等腰三角形，求

这时点P 的坐标；

（3）当点P 运动到什么位置时，使得OAB CPD ∠=∠，且

=AB BD 时，求这时点P 的坐标；

4、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为（4，0），（4，3），动点N M ,分别从B O ,同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作OA MP ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒。

（1）P 点的坐标为（，）（用含x 的代数式表示）；

（2）试求NPC ?面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x

（3）当x 为何值时，NPC ?是一个等腰三角形简要说明理由。

5、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6），点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒。

（1）求直线AB 的解析式；

（2）当t 为何值时，APQ ?与AOB ?相似并求出此时点P 与点Q 的坐标；

（3）当t 为何值时，APQ ?的面积为

个平方单位

6、如图，在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴的负半轴上，ABO ?是直角三角形，?=∠90ABO ，点B 的坐标为（2,1-），将ABO ?绕原点O 顺时针旋转90°得到O B A

?。（1）在旋转过程中，点B 的所经过的路径长是多少（2）分别求出点11,B A 的坐标；（3）连结1BB 交O A 1于点M ，求MO

A 1的值。

7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 的坐标为（4，0），顶点G 的坐标为（0，2），将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A 。

（1）判断OGA ?和OMN ?是否相似，并说明理由；（2）求过点A 的反比例函数解析式；

（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式。

8、如图（1），矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在的直线的函数关系式为

8,4

AD x y 。

矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发作匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14秒。（1）求矩形ABCD 的周长；（2）如图（2），图形运动到第5秒时，求点P 的坐标。

（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 经过的路线是一条线段，请求线段所在直线的函数解析式。（4）当点P 在线段AB 或BC 上运动时，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，则矩形PEOF 是否能与矩形ABCD 相似（或位似）若能，求出t 的值；若不能，说明理由。

（1）（2）

x y

9、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，4=OC ，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M 。现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点。

（1）求点G 的坐标；

（2）求折痕EF 所在直线的解析式；

（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

10、如图（1），在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO 的顶点O 在原点，点A 的坐标为（0,2-），点B 的坐标为（0，2），点C 在第一象限。（1）直接写出点C 的坐标；

（2）将平行四边形ABCO 绕点O 逆时针旋转，使OC 落在y 轴的正半轴上，如图（2），得平行四边形DEFG （点D 与点O 重合）。FG 与边AB ，x 轴分别交于点Q ，点P 。设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为0S ，求0S 的值；（2）

（1）

第七讲坐标系中的几何问题(包含答案)

中考数学重难点专题讲座第七讲坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。第一部分真题精讲【例1】2010，石景山，一模已知：如图1，等边ABC ?的边长为x 轴上且() 10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段 OB 上运动时，现给出两个结论：。 ① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

图2 图1 【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。【解析】解：（1 ）() 10B ；()13C ，．（2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ? 是等边三角形，() 10A ． ∴60EAO ∠=? ．在Rt EOA ?中，90EOA ∠=?． ∴( tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E ． … ∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ，．

平面图形与立体图形的认识

【几何图形】从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形分为柱体，锥体，球体多面体：围城棱柱和棱锥的面都是平的面，像这样的立体图形叫做多面体欧拉公式：定点数+面数-棱数=2 练习： 1．下面几何体中，不是多面体的是（） A球体 B 三棱锥 C 三棱柱D四棱柱 2．下列判断正确的是 A长方形是多面体B柱体是多面体 C圆锥是多面体D棱柱、棱锥都是多面体 3、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是（） A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、正方体【点、线、面、体】（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。例、右侧这个几何体的名称是_______；它由_______个面组成；它有_______个顶点；经过每个顶点有_______条边。解答：五棱柱，7，10，3 【直线】 1、概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 2、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。 3、表示：一条直线可以用一个小写字母表示；或者用两个大写字母表示练习： 1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线. 2、我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为__________________．【射线】直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

空间立体几何建立直角坐标系

空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。故AE ⊥平面A 1BC 。由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。故A 1D ∥AE 。又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4。由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ，由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。

2019年中考数学坐标系压轴题套路

【坐标系压轴专题】坐标系中的问题，一般出在压轴题，不是压轴题也会有很大的难度，针对此便有了这个专题【1】坐标系问题的基本运算实用度：★★★★ 如果想要熟练地解坐标系中的问题，先掌握下列的几个重要点（看不清放大看）前三点、最后一点稍难，有口诀：两点间距离公式：横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号斜率k：竖直高度比水平宽度中点坐标公式：横坐标的平均数，纵坐标的平均数平移函数图像：左增右减，上加下减

【例题1】（原创）难度：★★★★ 答案：

【2】等腰三角形、直角三角形存在性基础做起，实用性：★★★ 关键词：等腰两圆一线，直角两线一圆这两点放在一起是为了对比，它们都需要分类讨论。什么叫做两圆一线、两线一圆呢？举个例子，如图，AB线段一条，在下面那根直线上找P和Q，使得 (1.)△ABP是等腰三角形(2.)△ABQ是直角三角形首先(1.)，有三种可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），两圆：以A为圆心，AB为半径画圆，与直线交于P1，还有一个圆是以B为圆心，AB为半径画圆与直线交于P2和P3。最后一线：AB的垂直平分线与直线交于P4，P5（有时不一定5个，视情况而定） (2.)，同样三种，两线：分别以A、B作AB的垂线分别交直线于Q1，Q2，一圆：以AB为直径作圆，由于直径所对圆周角是直角，所以与直线交点为Q3 Q4（个数视情况而定）

已经找到了，怎么求呢？等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标，把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来，最后一个一个等起来解方程即可。当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法，一般他会给你已知两点，在抛物线对称轴上或x轴上或y轴上找，这样就有一些几何特征可以利用。当然暴力算法某些时候也是必须要用的。直角，两线的好找（k1k2乘积为-1可以，做垂直相似也可以），最后一圆略麻烦，这就要用到模型：一线三等角，做垂直，如图。左右两个三角形相似，然后设线段长，表达，相似比，解方程即可。一般是一元二次方程，所以解出一个另一个就自然知道。注意：这里是非常规做法，就是妙招，再好算或者你对自己计算有信心的情况下，可以用中点坐标公式得出圆心坐标，再得出半径，设出Q的坐标，用两点间距离公式来做。

平面直角坐标系中如何求几何图形的面积

图1 图2 图3 平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、求三角形的面积 1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗 2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。

归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。怎样确定点的坐标一、象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、（-，+）、（-，-）、（+，-）。例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（） A 、（0，-2） B 、（2,0） C 、（4,0） D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。例3：已知点Q （8,4m 22 2++++m m m ）在第一象限的角平分线上，则m=_________. 四、对称点对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标上（a ，-b ）；关于y 轴对称的点的坐标是（-a ，b ）；关于原点对称的点的坐标是（-a ，-b ）；关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是（b ，a ）；关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是（-b,-a ）. 例4：点（-1,4）关于原点对称的点的坐标是（） A 、（-1，-4） B 、（1，-4） C 、（1,4） D 、（4，-1）五、平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y 轴的直线上点的横坐标相同。例5：点A(4,y)和点B （x ，-3），过A 、B 的直线平行于x 轴，且AB=5，则x=____,y=_____.

平面图形与立体图形教案

4．1几何图形 4.1.1立体图形与平面图形【教学目标】 1、能从实物图形中抽取出几何图形；能在生活中寻找出相应的几何图形；会认识常见的平面几何图形和立体几何图形。 2、通过实物抽取几何图形的体验，培养自己的几何图形感，能用几何图形描述生活中的物体。 3、通过对多彩多姿的图形世界体验，激发自己对几何学习的兴趣，也体会学习的快乐。【教学重难点】 1．重点：（1）掌握立体图形与平面图形的关系，学会它们之间的相互转化；?初步建立空间观念．（2）理解几何图形是从实物图形中抽象出来的。（3）从实际出发，用直观的形式，让学生感受图形的丰富多彩，激发学生学习的兴趣． 2．难点：（1）立体图形与平面图形之间的互相转化．（2）从现实情境中，抽象概括出几何图形【教具准备】长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒（每个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图4．1-5的教学幻灯片．

【教学过程】一、引入新课由多媒体展示美丽的图形世界在同学们所观看中，有哪些是我们熟悉的几何图形？二、新授 1．学生在回顾刚才所看到的图片，充分发表自己的意见，?并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验． 2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称．学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等．教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征． 3．立体图形的概念．（1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形．（2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥）（3）用多媒体放映课本4．1-4的幻灯片（4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？（5）探索解决问题的方法． ①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案． ②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等．4．平面图形的概念．

2016中考数学平面直角坐标系习题

2016年中考数学平面直角坐标系与点的坐标一、选择题 1. （2016 ）已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（） A. （0，0） B.（1，21） C.（56，53） D.（710，75）【考点】菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题．【分析】点C 关于OB 的对称点是点A ，连接AD ，交OB 于点P ，P 即为所求的使CP+DP 最短的点；连接CP ，解答即可. 【解答】解：如图，连接AD ，交OB 于点P ，P 即为所求的使CP+DP 最短的点；连接CP ，AC ，AC 交OB 于点E ，过E 作EF ⊥OA ，垂足为F. 2.（2016 ）平面直角坐标系中，点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．（﹣2，﹣3） B ．（2，﹣3） C ．（﹣3，﹣2） D ．（3，﹣2）【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解答】解：点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：A ． 3. （2016 ）将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A ′的坐标为（） A ．（，﹣1） B ．（1，﹣） C ．（，﹣ ） D ．（﹣ ，）【考点】坐标与图形变化-旋转．

高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法

高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通

高斯平面直角坐标系的建立

空间数据的地理参照系和控制基础 4、高斯—克吕格投影高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。高斯投影的条件为： (1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴； (2)等角投影； (3)中央经线上没有长度变形。根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为：式中：X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；

φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算； S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长； N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径；其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点： (1)中央经线上无变形； (2)同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； (3)同一条经线上，纬度越低，变形越大；由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。1：2.5万至1：50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带(13带～22带)。1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。

中考数学专题复习平面直角坐标系与函数含详细参考答案

把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！ 2016年中考数学专题复习第十一讲平面直角坐标系与函数【基础知识回顾】一、平面直角坐标系： 1、定义：具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称轴轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个 2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示，如A（a .b），（a .b）即为点A的其中a是该点的坐标，b是该点的坐标平面内的点和有序数对具有的关系。 3、平面内点的坐标特征： ① P（a .b）：第一象限第二象限第三象限第四象限 X轴上 Y轴上 ②对称点：

(,) (,) (,)x P a b P a b P a b ?????→?????→?????→关于轴对称关于y轴对称关于原点对称 ③特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则若在二、四象限角的平分线上，则 ④到坐标轴的距离：P（a .b）到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离 ⑤坐标平面内点的平移：将点P（a .b）向左（或右）平移h个单位，对应点坐标为（或），向上（或下）平移k个单位，对应点坐标为（或）。名师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论。二、确定位置常用的方法：一般由两种：1、 2、。三、函数的有关概念： 1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持的量叫做常量，数值发生的量叫做变量。名师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，同一个量在不同

情况下可以是常量，也可能是变量，要根据问题的条件来确定。 2、函数： ⑴函数的概念：一般的，在某个过程中如果有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有的值与之对应，我们就成x是，y是x的。 ⑵自变量的取值范围：主要有两种情况：①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况 ②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景 ⑶函数的表示方法：通常有三种表示函数的方法：①、法②、法③、法 ⑷函数的同象：对于一个函数，把自变量x和函数y的每对对应值作为点的与在平面内描出相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的同象

平面直角坐标系与几何图形相结合

平面直角坐标系与几何图形相结合扣庄乡陈官营中学田海凤教学目标：（一）知识与技能：使学生进一步复习勾股定理、等腰三角形和平面直角坐标系的基础知识，通过知识的相互联系发展学生的基本技能，发展学生思维的灵活性. （二）过程与方法：通过学生的自主学习，合作探究等活动，让学生去感受和体会思考问题的正确的思路和方法，建立知识间的相互联系. （三）情感态度与价值观：体会事物间的相互作用和相互联系. 重点：掌握基础知识发展学生的基本技能难点：提高学生的解决问题的能力教学方法：自主探究、合作学习. 教学手段：小篇子教学过程：一、复习回顾 1.在R t△ABC中，∠C=90°a=3,b=4,则C=___ 2.如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠B=46°,BC=4,AD⊥BC （1）∠C=______° （2）∠BAD=______° （3）BD=______. 3. 等腰△ABC中∠B=60°,则△ABC是____三角形. BC=4,AD⊥BC，则AD=_____ 4.点A（1，-4），则点A在第______象限 5.点B（-1，-2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标为_______；则点B关于y轴的对称点B〞的坐标为________；点B关于原点的对称点的坐标为_________;点B到x轴的距离是_______；点B到y轴的距离是_________ 二、例题讲解等边△ABC中AB=AC=BC=6,请建一个适当的平面直角坐标系，求个点坐标。教师总结：在坐标轴上只要有线段长就能求点的坐标，有坐标就会知道一些线段长，当点不在坐标轴上时，过点做两坐标轴的垂线，利用勾股定理也能求点的坐标。变形：如图9，等边△ABC两个顶点的坐A(-4,0),B(2,0) (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积变形:如图8，在平面直角坐标系中，Rt△CDO的直角边OD在x轴、的正半轴上，且CD=2，OD=1，将△CDO沿x轴向左平移1个单位再把所得图像绕点O按逆时针旋转90°得到Rt△AOB，，

中考数学专题复习函数与坐标系

一、填空和选择 1.（2009，达州）在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为ρ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用][αρ,表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为[]?45, 2.若点Q 的极坐标为[]?60,4，则点Q 的坐标为（） A.()32,2 B.()32,2- C.（23,2） D.（2，2） 2、在坐标平面内，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若点P （2a +1，4a -15）是第四象限内的整点，则整数a = . 3.已知点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），则线段AB 的中点坐标为?? ? ??++2 ,22 1 2 1 y y x x . 4、在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是 ()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（） A ．()43， B ．()34， C ．()12--， D ．()21--， 5. （2009仙桃）如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O (如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n )，那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（）．

A ．(m ＋2，n ＋1) B ．(m －2，n －1) C ．(m －2，n ＋1) D ．(m ＋2，n －1) 7、正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为（） A ．（4，0） B ．（4，1） C ．（-2，2） D ．（3，1） 8.将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ’，则点A ’的坐标是（） A ．)2,32( B ．（4，-2） C ．)2,32(- D ．)32,2(- 9.如图，相交于点（5，5）的互相垂直的直线l 1和l 2与x 轴和y 轴相交于点A 和点B ，则四边形OAPB 的面积为 . 10、如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点，设点P 的横坐标为x ， PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：x d 53 5-=(0≤x ≤5)，则结论： ① AF = 2 ② BF =5 ③ OA =5 ④ OB =3中，正确结论的序号是 . 11. （09山东潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶 O y x l 1 l 2 A B P

几何图形与平面图形

课题 4.1.1几何图形与平面图形一、学习目标 1、通过观察生活中的大量图片或实物，经历把实物抽象成几何图形的过程； 2、能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状； 3、能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形。学习重点：识别简单的几何体学习难点：从具体事物中抽象出几何图形二、自主探究 1、几何图形（1）仔细观察图4.1-1,让同学们感受是丰富多彩的图形世界；（2）出示一个长方体的纸盒，让同学们观察图4.1-2回答问题：从整体上看，它的形状是从不同侧面看，你看到的图形是看棱得到的是看顶点的到的是。我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的。我们把这些图形称为几何图形。 2、立体图形说一说下面这些几何图形有什么共同特点？有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是 .(如：）请再举出一些立体图形的例子. 想一想生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢？ 3、平面图形（1）纸盒（1）长方体（2）长方形（3）正方形（4）线段点

说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？平面图形的概念线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内，它们是。请再举出一些平面图形的例子。思考：立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，它们的区别在哪里？它们有什么联系？三、课堂练习课本119页练习四、要点归纳 1、 2、平面图形与立体图形的关系：立体图形的各部分不都在同一平面内，而平面图形的各部分都在同一平面内；立体图形中某些部分是平面图形。五、拓展训练 1.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；⑥球. 其中属于立体图形的是（） A. ①②③； B. ③④⑤； C. ① ③⑤； D. ③④⑤⑥ 【总结反思】现实物体几何图形平面图形立体图形看外形

几何建模章节坐标系介绍

摘自《ANSYS工程结构数值分析》 2.1坐标系类型总体坐标系、局部坐标系、节点坐标系、单元坐标系、显示坐标系、结果坐标系 1总体坐标系 0表示直角坐标系，1表示柱坐标系，2表示球坐标系，但总体坐标系均用X、Y、Z表示。 2局部坐标系直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、环坐标系，局部坐标系的编号必须大于等于11 整体坐标和局部坐标主要用于几何建模 3节点坐标系定义节点自由度的方向，每个节点都有自己的节点坐标系，ANSYS缺省的节点坐标系方向平行于总体直角坐标系，而与建立节点时所用坐标系无关。当施加不同于总体坐标系方向的约束或荷载时，需要旋转节点坐标系到需要的方向，然后在施加约束或荷载。在post26中，节点结果（节点位移、节点荷载和支座反力等），都是用节点坐标系方向表示；在post1中，节点结果数据均用结果坐标系表示。 4单元坐标系每个单元都有自己的单元坐标系，用于定义单元各向异性材料性质的方向、面荷载方向和单元结果（如应力应变等）的方向。 5显示坐标系显示坐标系用来定义结合元素被列表或显示的坐标系。缺省时，几何元素列表总数显示为总体直角坐标系，而不论他们是在何种坐标系下创建的。显示坐标系的改变会影响到图形显示和列表，无论是结合图素还是有限元模型都将受到影响。但是边界条件符号、向量箭头和单元坐标系的三角符号都不会转换到显示坐标系下，显示坐标系的方向是X轴水平向右，Y轴垂直向上，Z轴垂直屏幕向外。当DSYS>0时将不会显示线和面的方向。 6结果坐标系结果坐标系用于节点结果和单元结果的列表和显示。求解结果如节点位移、单元应力或应变，以节点坐标或单元坐标系保存在文件中，在显示或列表时，均按当前激活的结果坐标系输出。缺省时，结果坐标系与总体直角坐标系平行。 2.1.2坐标系的定义与激活 ANSYS缺省情况下总是激活总体直角坐标系，用户每定义一个局部坐标系则该坐标系被激活。如果要激活一个总体坐标系或以前定义的局部坐标系，则要通过菜单或命令 1激活总体和局部坐标命令csys,kcn Kcn为坐标系号码，0为直角坐标系（缺省），1为柱坐标系，2为球坐标系，4为以工作平面为坐标系，5为柱坐标系（Y轴为转轴），大于等于11为局部坐标系。由于工作平面可不断移动和旋转，因此，当采用csys,4时也相当于不断定义了局部直角坐标系，在很多情况下应用非常方便。自己查了ansys手册，KCN好像没有3的情形。 2定义局部坐标系（1）根据总体坐标系定义局部坐标系 LOCAL, KCN, KCS, XC, YC, ZC, THXY, THYZ, THZX, PAR1, PAR2 KCN为局部坐标系编号，必须大于10 KCS为坐标系类型，0,1,2,3（3是环坐标系） XC, YC, ZC为新坐标系原点在总体直角坐标系中的坐标 THXY, THYZ, THZX为新坐标系绕ZXY轴的旋转角度

初三中考数学直角坐标系、函数

第9课时直角坐标系、函数【复习目标】 1．理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标． 2．在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置． 3．结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析． 4．能确定简单整式、分式、二次根式和简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值． 5．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．【知识梳理】 1．平面直角坐标系： (1)有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(_______，_______)． (2)在平面内画两条互相_______、_______重合的数轴，组成了平面直角坐标系；坐标平面内的点与________一一对应． 2．坐标平面内点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标的符号特征：若点P（x，y）在第一象限，则_______；若点P(x，y)在第二象限，则_______；若点P(x，y)在第三象限，则_______；若点P(x，y)在第四象限，则_______ (2)若点P(x，y)在x轴上，即满足纵坐标为0，则点P( _______，_______)；若点P（x，y）在y轴上，即满足横坐标为0，则点P(_______，_______)． (3)在第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标_______；第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标_______． 3．对称点的坐标特征：点P(x，y)关于x轴的对称点是P1（_______，_______）；关于y轴的对称点是P2(_______，_______)；关于原点的对称点是P3(_______，_______)． 4．坐标平面内的距离：点P(x，y)到x轴的距离是_______；到y轴的距离是_______；到原

《立体图形与平面图形》练习题

4.1 多姿多彩的图形(1) 几何图形长方形的是（）1．如图所示，水平放置的下列几何体，从正面看到的视图不是．． 2．下列几何体中，直棱柱的个数是（） A．5 B．4 C．3 D．2 3．直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是（） A B C D 4．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（） A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱 5．小明用如下左图所示的胶漆滚从左到右滚涂墙壁，下列平面图形中符合胶漆滚涂出的图案是（） A B C D 6．举出两个俯视图为圆的实物例子: 、． 7．写出下列立体图形的名称（从左到右依次写出）：． 8．如果直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为 cm． 9．分别画出图中的物体的三个视图： 10．如图①②③④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．

（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；（3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．参考答案 1．答案: B 解析：B答案中圆锥的主视图是三角形． 2．答案: C 解析：直棱柱的侧面应是矩形，符合这个条件的有第一个，第五个和第六个．故选C．

3．答案:A 解析：正方体是特殊的长方体，长方体又是特殊的直四棱柱，故选A．4．答案:B 解析：一个棱柱有10个顶点，则它是五棱柱，五棱柱有5个侧面，有5条侧棱，底面是五边形．故选B． 5．答案:A 解析：由胶漆滚得图形可得，最左边中间为一小黑正方形，胶漆滚从左到右，则最先留下印记的即为中间有一小黑正方形的图形．故选A． 6．圆柱，球，圆锥． 7．从左到右依次为：圆柱、长方体、四棱锥、圆锥． 8．直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为6×4=24cm．故答案为24． 9．三个视图如下： 10．解：（1）结和图形我们可以得出：图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域；图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域；图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 10个顶点、15条边、这些边围成6区域．

建立空间直角坐标系-解立体几何题

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量，则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （20<

平面直角坐标系中的作图题

透视平面直角坐标系中的作图题在平面内建立起平面直角坐标系以后，平面内的点与坐标就有了一一对应的关系，数与形有机地结合在一起。下面就归类分析近年来中考坐标系中作图问题的常见题型。 1、平移作图例1、如图1，在R t O AB △中，90OAB ∠= ，且点B 的坐标为（4，2）．画出O A B △向下平移3个单位后的111O A B △（08福建福州改编）分析：在解答图形坐标的平移问题时，要善于抓住图形的关键点，只要把构成图形的关键按照要求进行平移，得到平移的对应点，最后按照原图形的顺序依次连接对应点，就得到原图形平移后的新图形了。但是，点的坐标在平移时，严格遵循如下平移规律：若点P （x ，y ）向左平移a （a>0）个单位，则对应点的横坐标是x 减去a ，纵坐标不变；若点P （x ，y ）向右平移a （a>0）个单位，则对应点的横坐标是x 加上a ，纵坐标不变；若点P （x ，y ）向上平移b （b>0）个单位，则对应点的纵坐标是y 加上b ，横坐标不变；若点P （x ，y ）向下平移b （b>0）个单位，则对应点的纵坐标是y 减去b ，横坐标不变。解：因为三角形OAB 的三个关键点分别是A 、B 、O ，并且它们的坐标分别是（4，0），（4，2）和（0，0）所以，它们向下平移时，各个点的横坐标是保持不变的，只需把各自的纵坐标分别减去平移的单位数，所以， A （4，0）向下平移3个单位后到达A 1(4，0-3),即A 1(4，-3), B （4，2）向下平移3个单位后到达B 1(4，2-3),即B 1(4，-1),

O （0，0）向下平移3个单位后到达O 1(0，0-3),即O 1(0，-3), 依次连接O 1A 1，A 1B 1，B 1O 1，则三角形111O A B △即为所求。如图2所示。 2、旋转作图例2、如图3，在R t O AB △中，90OAB ∠= ，且点B 的坐标为（4，2）．画出O A B △绕点O 逆时针旋转90 后的22OA B △，并求点A 旋转到点2A 所经过的路线长（结果保留π）．（08福建福州改编）分析：要想解决坐标系的旋转问题，同学们要做好四种知识准备： 1、找准旋转中心； 2、找准旋转角度； 3、找准旋转的线或点； 4、确定旋转的方向。在这个问题中，准旋转中心是O ，旋转角度是90°，参与旋转的关键点是A 、B ，线段是OA 、OB ，旋转的方向是逆时针。按照旋转时对应线段长度不变的原则，就可以作出旋转后的对应线段或对应点。解：如作图4所示。点A 旋转到点2A 所经过的路线实际上一条弧长，

平面直角坐标系中如何求几何图形的面积

图1 图2 图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、求三角形的面积 1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗？ 2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗？归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗？分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。

怎样确定点的坐标一、象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、（-，+）、（-，-）、（+，-）。例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（） A 、（0，-2） B 、（2,0） C 、（4,0） D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。例3：已知点Q （8,4m 22 2++++m m m ）在第一象限的角平分线上，则m=_________. 四、对称点对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标上（a ，-b ）；关于y 轴对称的点的坐标是（-a ，b ）；关于原点对称的点的坐标是（-a ，-b ）；关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是（b ，a ）；关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是（-b,-a ）. 例4：点（-1,4）关于原点对称的点的坐标是（） A 、（-1，-4） B 、（1，-4） C 、（1,4） D 、（4，-1）五、平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y 轴的直线上点的横坐标相同。例5：点A(4,y)和点B （x ，-3），过A 、B 的直线平行于x 轴，且AB=5，则x=____,y=_____.