2000年天津市中考数学试卷
2000年天津市中考数学试卷
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算：8x2y5÷2xy2=．
2．（3分）因式分解：x2﹣5x+6=．
3．（3分）已知=3，则x=．
4．（3分）已知方程x2+3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．
5．（3分）若直线y=﹣x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，8），则a+b=．6．（3分）直角坐标系中，第四象限内的点M到横轴的距离为28，到纵轴的距离为6，则M点的坐标是．
7．（3分）sin272°+sin218°=．
8．（3分）已知，则a：b=．
9．（3分）已知梯形的上底长为4cm，中位线长5cm，则下底长是cm．10．（3分）如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P．若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP=cm．
二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．（3分）若a＞b，且c为实数，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac＜bc C．ac2＞bc2D．ac2≥bc2 12．（3分）若a＞1，化简|1﹣a|+的结果是（）
A．1﹣2a B．2a﹣1C．﹣1D．1
13．（3分）在公式P=中，已知P、F、t都是正数，则s等于（）A．B．C．D．PFt
14．（3分）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全
部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝土，设可派x人挖土，其他人运土，列方程（1）=，（2）72﹣x=，（3）x+3x=72，（4）=3．上述所列方程正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（3分）如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）
A．S=1B．S=2
C．S=3D．S的值不能确定
16．（3分）对于数据：3，3，2，3，6，3，3，6，3，2．则在下列结论中：
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．（3分）在直角三角形ABC中，如果各边长度都缩小2倍，则锐角A的正弦值和正切值（）
A．都缩小2倍B．都扩大2倍C．都没有变化D．不能确定18．（3分）一个正方形的内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为（）A．1：2：B．1：：2C．1：：4D．：2：4 19．（3分）如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则
三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）
A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确20．（3分）以下有四个结论：
①顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是菱形；
②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③顶点在圆上的角叫做圆周角；
④边数相同的正多边形都是相似形．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）解方程：
22．（7分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．
23．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k﹣3）x﹣4k+12能否通过点A（﹣2，4），并说明理由．24．（8分）如图，一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60度．40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C 在船的北偏东30度．已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？
25．（8分）已知：AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，且∠DAB=60°，过O作弦AD的平行线与过B点的切线交于C点，连接CD，求∠ADC的度数．（请画出此题示意图）
26．（8分）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：（1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这次货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）
27．（8分）已知；如图，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D．
求证：
（1）∠APD=∠BPD；
（2）PA?PB=PC2+AC?CB．
28．（8分）已知△ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，AB上有一动点P，过P作PE ⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4．
2000年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）计算：8x2y5÷2xy2=4xy3．
【解答】解：8x2y5÷2xy2=4xy3．
2．（3分）因式分解：x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）．
【解答】解：x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）．
3．（3分）已知=3，则x=4．
【解答】解：两边平方得，2x+1=9，
解得：x=4．
经检验，知x=4是原方程的解．
4．（3分）已知方程x2+3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x12+x22=19．
【解答】解：∵方程x2+3x﹣5=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9+10=19．
5．（3分）若直线y=﹣x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，8），则a+b=16．【解答】解：∵直线y=﹣x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，8），
∴8=﹣m+a①，8=m+b②，
①+②，得16=a+b，
即a+b=16．
6．（3分）直角坐标系中，第四象限内的点M到横轴的距离为28，到纵轴的距离为6，则M点的坐标是（6，﹣28）．
【解答】解：∵点M在第四象限内，
∴点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
又∵P到x轴的距离是28，即纵坐标是﹣28，到y轴的距离是6，横坐标是6，故点P的坐标为（6，﹣28）．故填（6，﹣28）．
7．（3分）sin272°+sin218°=1．
【解答】解：∵72°+18°=90°，
∴sin272°+sin218°=1．
8．（3分）已知，则a：b=19：13．
【解答】解：∵
∴5（a+2b）=9（2a﹣b）
∴5a+10b=18a﹣9b
∴19b=13a
∴a：b=．
9．（3分）已知梯形的上底长为4cm，中位线长5cm，则下底长是6cm．【解答】解：根据梯形的中位线定理，得
梯形的下底长=2×5﹣4=6．
10．（3分）如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P．若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP=4cm．
【解答】解：连接OC；
∵AB切⊙O于B，
∴AB2=AC?AD，即AC=AB2÷AD=2cm；
∴CD=AD﹣AC=6cm；
Rt△OCP中，OC=5cm，PC=3cm；
由勾股定理，得：OP==4cm．
故答案为：4．
二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．（3分）若a＞b，且c为实数，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac＜bc C．ac2＞bc2D．ac2≥bc2
【解答】解：当c＞0时，ac＞bc；
当c＜0时，ac＜bc；
当c=0时，ac2=bc2；
又∵c2≥0，
∴ac2≥bc2一定成立；
故选：D．
12．（3分）若a＞1，化简|1﹣a|+的结果是（）
A．1﹣2a B．2a﹣1C．﹣1D．1
【解答】解：∵a＞1，
∴1﹣a＜0，
∴|1﹣a|+=a﹣1+a=2a﹣1．
故选：B．
13．（3分）在公式P=中，已知P、F、t都是正数，则s等于（）A．B．C．D．PFt
【解答】解：根据等式性质2，等式两边同时乘以，
得：=s，即s=．
故选：A．
14．（3分）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝土，设可派x人挖土，其他人运土，列方程（1）=，（2）72﹣x=，（3）x+3x=72，（4）=3．上述所列方程正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：设x人挖土，则（72﹣x）人运土，
∵3人挖出的土1人恰好能全部运走，那么使挖出来的土能及时运走且不窝工，说明挖土的人的数量与运土人的数量之比=3：1．
∴（1）=，正确，（2）是这个等量关系的正确变形．故（2）正确；（3）运土的人数应是，方程应为x+=72，故错误；
（4）∵3（72﹣x）=x．∴=3．故=3不合实际意义，故错误．
故选：B．
15．（3分）如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）
A．S=1B．S=2
C．S=3D．S的值不能确定
【解答】解：∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象均关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，），则C点坐标为（﹣x，﹣），
∴S
=OB?AB=x?=，
△AOB
S△BOC=OB?|﹣|=|﹣x|?|﹣|=，
=S△AOB+S△BOC=+=1．
∴S
△ABC
故选：A．
16．（3分）对于数据：3，3，2，3，6，3，3，6，3，2．则在下列结论中：
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：从小到大排列此数据为：2，2，3，3，3，3，3，3，6，6．
数据3出现了三次，最多，为众数；
第5位、第6位均是3，3是中位数；
平均数为（2+2+3+3+3+3+3+3+6+6）÷10=3.4．
故选：A．
17．（3分）在直角三角形ABC中，如果各边长度都缩小2倍，则锐角A的正弦值和正切值（）
A．都缩小2倍B．都扩大2倍C．都没有变化D．不能确定
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
如果各边的长度都缩小2倍，那么锐角A的各三角函数没有变化．
故选：C．
18．（3分）一个正方形的内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为（）A．1：2：B．1：：2C．1：：4D．：2：4
【解答】解：如图所示，设正方形边长a，连接OA、OB，过O作OE⊥AB；
∵∠AOB==90°，OA=OB，
∴∠AOE=∠AOB=×90°=45°，
∴AE=OE=，
OA===a，
∴内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为：OE：OA：AB=：a：a=1：：2．
故选：B．
19．（3分）如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）
A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP
∴△ARP≌△ASP（HL）
∴AS=AR，∠RAP=∠SAP
∵AQ=PQ
∴∠QPA=∠SAP
∴∠RAP=∠QPA
∴QP∥AR
而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP
故本题仅①和②正确．
故选：B．
20．（3分）以下有四个结论：
①顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是菱形；
②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③顶点在圆上的角叫做圆周角；
④边数相同的正多边形都是相似形．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是菱形，正确；
②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，正确；
③应为顶点在圆上，两边是圆的割线的角叫做圆周角，故本选项错误；
④边数相同的正多边形都是相似形，正确．
所以①②④三个结论正确．
故选：C．
三、解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）解方程：
【解答】解：设x2﹣2x=u，
原方程化为u﹣2=，
两边同乘以u，并整理，得
u2﹣2u﹣3=0，
（u﹣3）（u+1）=0，
∴u1=3，u2=﹣1．
当u1=3时，x2﹣2x﹣3=0，x1=3，x2=﹣1；
当u2=﹣1时，x2﹣2x+1=0，x3，4=1．
经检验：x l=3，x2=﹣1，x3，4=1都是原方程的根．
22．（7分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3），与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
即A（l，﹣3），B（0，﹣2）
设所求直线的解析式为y=kx+b
则，
解得，
∴所求直线的解析式为y=﹣x﹣2．
23．（7分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k﹣3）x﹣4k+12能否通过点A（﹣2，4），并说明理由．
【解答】解：∵x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根
∴△=b2﹣4ac=0
∴（2k+1）2﹣4（k2+2）=0，即4k﹣7=0，
∴k=，
∴2k﹣3=2×﹣3=，﹣4k+12=﹣4×+12=﹣7+12=5，
∴直线方程y=x+5，
当x=﹣2时，y=×（﹣2）+5=4，
∴A（﹣2，4）在直线y=x+5上．
24．（8分）如图，一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60度．40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C 在船的北偏东30度．已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？
【解答】解：作CD⊥AB于D，
根据题意，AB=30×=20，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△ACD中，AD==CD，
在Rt△BCD中，BD==CD，
∵AB=AD﹣BD，
∴CD﹣CD=20，
CD=＞10，
所以不可能．
25．（8分）已知：AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，且∠DAB=60°，过O作弦AD的平行线与过B点的切线交于C点，连接CD，求∠ADC的度数．（请画出此题示意图）
【解答】解：画出示意图，（1分）
连接OD，（2分）∵OD=OA，∠DAO=60°，
∴△ADO是等边三角形，∠ADO=60°，（3分）
∵OC∥AD，
∴∠DOC=∠COB=60°；
在△BOC与△DOC中，
∵BO=DO，∠BOC=∠DOC，CO=CO，
∴△BOC≌△DOC，
∴∠CBO=∠CDO，（6分）
∵CB⊥AB，
∴∠CBO=∠CDO=90°，（7分）
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=60°+90°=150°．（8分）
26．（8分）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180
吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问： （1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这次货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）
【解答】解：设这批货物共有T 吨，甲车每次运t 甲吨，乙车每次运t 乙吨， （1）∵2a?t 甲=T ，a?t 乙=T ，∴t 甲：t 乙=1：2， 即乙车每次货运量是甲车的2倍；
（2）由题意列方程：
甲
乙
，
由（1）知t 乙=2t 甲，
∴
，解得T=540．
∵甲车运180吨，丙车运540﹣180=360吨， ∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，
∴甲车车主应得运费540×
×20=2160（元），
乙、丙车车主各得运费540×
×20=4320（元）．
27．（8分）已知；如图，两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D ． 求证：
（1）∠APD=∠BPD ； （2）PA?PB=PC 2+AC?CB ．
【解答】证明：（1）过P 作两圆的公切线MN ． ∵MN 与AB 均为小圆切线， ∴∠NPC=∠BCP ．
∵∠NPC=∠NPB+∠BPC，∠BCP=∠PAC+∠APC，
而∠NPB=∠PAB=∠PAC，
∴∠NPC﹣∠BCP=∠NPB+∠BPC﹣∠PAC﹣∠APC，
∴∠BPC=∠APC，即∠BPD=∠APD．
（2）连接AD．
在△PDA和△PBC中，由（l）可知∠DPA=∠BPC，
又∵∠ADP=∠CBP，
∴△PDA∽△PBC．
∴=．
即PA?PB=PD?PC．
∵PD?PC=（PC+CD）?PC=PC2+PC?CD，
又∵PC?CD=AC?BC，
∴PC?PD=PC2+AC?BC，
∴PA?PB=PC2+AC?BC．
28．（8分）已知△ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，AB上有一动点P，过P作PE ⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出
来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4．【解答】解：（1）△AEP的面积为，
△PFB的面积为；
矩形ECFP的面积为x（）．
（2）设y1=x2，y2=x（），y3=（）2
这三个二次函数的图象如图所示，令，
得x1=0，x2=2；
当x1=0时，y1=y2=0；当x2=2时，y1=y2=4；
∴y1和y2的交点坐标为O（0，0），A（2，4）．
由图知，在＜中，y1≥4，
由x（）=（）2
得x3=，x4=3；
当x3=时，y2=y3=4，
当x4=3时，y2=y3=0，
∴y2和y3的交点坐标为B（，），C（，），
由图知，在＜时，y3≥4，
在时，y2≥4，
∴在0＜x＜3中，y1，y2，y3中最大面积都不小于4，
因此不存在这样的点P，使得三个图形的面积都小于4．