基于色彩矩阵优化的自适应阈值算法
otsu自适应阈值分割的算法描述和opencv实现,及其在肤色检测中的应用
otsu算法选择使类间方差最大的灰度值为阈值，具有很好的效果 算法具体描述见otsu论文，或冈萨雷斯著名的数字图像处理那本书 这里给出程序流程： 1、计算直方图并归一化histogram 2、计算图像灰度均值avgValue. 3、计算直方图的零阶w[i]和一级矩u[i] 4、计算并找到最大的类间方差（between-class variance） variance[i]=(avgValue*w[i]-u[i])*(avgValue*w[i]-u[i])/(w[i]*(1-w[i])) 对应此最大方差的灰度值即为要找的阈值 5、用找到的阈值二值化图像 我在代码中做了一些优化，所以算法描述的某些地方跟程序并不一致 otsu代码，先找阈值，继而二值化 // implementation of otsu algorithm // author: onezeros(@https://www.360docs.net/doc/de16948153.html,) // reference: Rafael C. Gonzalez. Digital Image Processing Using MATLAB void cvThresholdOtsu(IplImage* src, IplImage* dst) { int height=src->height; int width=src->width; //histogram float histogram[256]= {0}; for(int i=0; i 伴随矩阵的性质 编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日 伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵. 改进阈值算法在压气机失速信号降噪中的应用 1 引言 1.1 小波与傅立叶变换 小波分析是近年来新发展起来的一种时频分析方法，至今已广泛应用于物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域。在信号分析领域中，经典方法傅立叶分析(FFT)方法将信号视为不同频率和相位的正(余)弦波的叠加，FFT结果产生信号的频率、相位特性。在小波分析中，将信号视作小波函数的叠加，但这种叠加的过程是一个母小波函数在时间轴上的伸缩和平移。可见，小波分析和傅立叶分析具有相似的叠加的思想，但分解的思路是完全不同的。 在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息。这种处理方法对于某些方面的应用是很恰当的，主要关注信号的频率信息。但对一些应用而言，时域信息也具有十分重要的作用。因此，人们对傅立叶分析的推广提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor 变换，时频分析等。虽然改进的短时傅立叶变换取得一定的时频分析效果，但对很多的应用来说依然存在各种不足。 小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷。小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。采用小波分析最大优点是可对信号进行局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。小波变换具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特性，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal小波等15种[1]。但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。小波变换后的系数 分块矩阵乘法的例子 例 1 用分块法计算,AB 其中 00 51 2414 21,5 31001200 2 0-???? ? ?== ? ? ? ?-? ?? ? A B . 解 B A,如上分块， ???? ??=2221 1211 A A A A A ， ??? ? ??=2322 21 131211 B B B B B B B ， 其中 111221224 21(0,0),(5), ,,0 12????==== ? ?-?? ?? A A A A ()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===??? ? ??-=???? ??=???? ??=B B B B B B ； 令==C AB ??? ? ??232221 131211 C C C C C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+??? ? ??， =+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+???? ??， =+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+???? ??-， =+=2122112121B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ?????? ??-514)0(21511024， =+=2222122122B A B A C ???? ??-=???? ??+???? ?????? ??-332014)20(2113421024， =+=2322132123B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ??-???? ??-04)0(21011024. 伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。 则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4 -3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反 《数字图像处理》实验 9.编写程序，实现阈值分割算法． %9.编写程序，实现阈值分割算法． %这段代码的想法是通过相邻两个像素的平均值的比较来确定阈值的选取。 %通过f(i-1,j-1),f(i,j),f(x,+1,j+1)这三个两两相邻的像素的平均值来比较。 %若两个平均值的差值小于某一个指定的值，这取这个平均值作为新的阈值。 %这样可以把图像中像素比较平缓的部分和像素差别比较大的部分分割开来。 clear; f = imread('text.jpg'); f=rgb2gray(f); f = im2double(f); g=f; [m,n] = size(f); x=0.1;%x作为判断的值，两个平均值的差不小于x; d = false; while~d fori=2:m-1%为确保f(i,j)的取值在原图的范围内需要保证的范围。 forj=2:n-1 t = (f(i-1,j-1)+f(i,j))/2;%求三个两两相邻的像素点的像素的平均值t1 = (f(i,j)+f(i+1,j+1))/2; d = abs(t1-t) 伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A . 例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A . 九江学院学士学位论文 摘要 图像阈值分割算法分析与实现是图像处理领域的一个基本的、重要的研究课题。所谓图像分割是指根据灰度、彩色、空间纹理、几何形状等特征把图像划分成若干个互不相交的区域，使得这些特征在同一区域内，表现出一致性或相似性，而在不同区域间表现出明显的不同。 图像阈值分割法是一种最常用，同时也是最简单的图像分割方法，它特别适用于目标和背景占据不同灰度级范围的图像。它不仅可以极大的压缩数据量，而且也大大简化了分析和处理步骤。因此在很多情况下，是进行图像分析、特征提取与模式识别之前的必要的图像预处理过程。图像阈值化的目的是要按照灰度级对像素集合进行一个划分，得到的每个子集形成一个与现实景物相对应的区域，各个区域内部具有一致的属性，而相邻区域布局有这种一致属性。这样的划分可以通过从灰度级出发选取一个或多个阈值来实现。本文首先介绍了图像分割发展现状，其次对图像分割的基础做了简单的介绍，最后重点对双峰法阈值分割、分水岭阈值分割、0tsu阈值分割作了详细分析与研究，并且把这三种算法的分割效果进行了简单的比较，结果发现各阈值分割方法都有各自的优劣性，需要根据图像的实际情况选择适合的方法。分割结果的好坏或者正确与否，目前还没有一个统一的评价判断准则，分割的好坏必须从分割的效果和实际应用场景来判断。 关键词：直方图；图像分割；阈值；算法 图像阈值分割算法分析与研究 The analysis and implementation of image threshold Segmentation algorithm Abstract The analysis and implementation of image threshold segmentation algorithm is a basic and important research topic. The so-called image threshold segmentation is mean to divide the grayscale, color, space, texture, geometry and other features into several disjoint areas, so that these characteristics in the same area, showing the consistency or similarity, while showing different in different regions . The segmentation of image threshold method is one of the most commonly and simple image segmentation method, it is especially suitable for the target and background occupy different gray-scale range of the image. It not only can greatly compress the amount of data, but also greatly simplifies the analysis and processing steps. In many cases, image analysis, feature extraction and pattern recognition are till the necessary image pre-processing process. The purpose of image threshold is to divide each subset of the formation of a region corresponding into the realistic scenery according to the gray level pixel, each region consistent with the properties of adjacent regional distribution of this a consistent attribute. This division can select one or more threshold starting from the gray level. This paper first introduces the development status of image segmentation, followed by a brief introduction on the basis of image segmentation, and finally focus on the apex method threshold segmentation, watershed threshold segmentation and 0tsu threshold segmentation are analyzed and researched in detail, and made a simple comparison with the segmentation results of the three algorithms and found that each threshold segmentation method has its own advantages and disadvantages, you need to select the appropriate method according to the actual situation of the image. There are no single evaluation criterion about Segmentation result is good or bad, right or wrong, , the segmentation good or bad are based on the segmentation results and determine on the actual scenarios . Keywords: histogram; image segmentation; threshold; algorithm 伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出 十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指: （1）交换两行(列的位置; （2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指: （1）= 或= （2）=或= 其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子； (1 = (2 或= 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵； (2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵 中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于 右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵； (3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当 于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 , 其中 h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l], l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: ,显然成立. 下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行 ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故 ;同理. 所以有==(-1或==（-1） ==或= ==== 定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变. 自适应阈值化的函数为： AdaptiveThreshold 自适应阈值方法 void cvAdaptiveThreshold( const CvArr* src, CvArr* dst, double max_value, int adaptive_method=CV_ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C, int threshold_type=CV_THRESH_BINARY, int block_size=3, double param1=5 ); src 输入图像. dst 输出图像. max_value 使用CV_THRESH_BINARY 和CV_THRESH_BINARY_INV 的最大值. adaptive_method 自适应阈值算法使用：CV_ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C 或 CV_ADAPTIVE_THRESH_GAUSSIAN_C （见讨论）. threshold_type 取阈值类型：必须是下者之一 ?CV_THRESH_BINARY, ?CV_THRESH_BINARY_INV block_size 用来计算阈值的象素邻域大小: 3, 5, 7, ... param1 与方法有关的参数。对方法CV_ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C 和 CV_ADAPTIVE_THRESH_GAUSSIAN_C，它是一个从均值或加权均值提取的常数（见讨论）, 尽管它可以是负数。 函数cvAdaptiveThreshold 将灰度图像变换到二值图像，采用下面公式： threshold_type=CV_THRESH_BINARY: dst(x,y) = max_value, if src(x,y)>T(x,y) 编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日 伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质 性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么 矩阵的伴随矩阵的性质 数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜 摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用. 关键词:伴随矩阵;矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质 中图分类号：O151.21 The properties of Adjoint Matrix Abstract:The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjoint matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out. Key words:adjoint matrix；the rank of the matrix；inverse matrix；property 目录 1 前言 (1) 2 伴随矩阵的定义 0 3 伴随矩阵的性质 0 3.1 伴随矩阵的基本性质 0 3.2 伴随矩阵秩的性质 (3) 3.3 伴随矩阵特征值的性质 (4) 3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 (4) 4 伴随矩阵的性质的简单应用 (7) 结束语 (8) 参考文献 (9) 致谢 (9) 万方数据 万方数据 ?２３８２?计算机应用研究第２７卷 称为（Ｆ，Ｂ）的最大类间方根一算术均值距离（ｍａｘｃｌｕｓｔｅｒｓ’ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎｄｉｖｅｇｅｎｃｅ，ＭＣＳＡＭ）。 ２．２算法步骤 自适应阈值的运动目标提取算法的具体步骤如下： ａ）初始化：Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝Ａｖｅ，Ｎｏ＝０，Ｎ１＝０，Ｇｍｙｏ＝０，Ｇｒａｙ。＝０，ＭＣＳＡＭ（Ｆ，Ｂ）＝０，Ｔｉｍｅｓ＝０（表示迭代次数）。 ｂ）如果Ｔｉｍｅｓ＜Ｔ（Ｔ为阈值调整次数，即最大迭代次数），Ｔｉｍｅｓ＋＋；否则，转步骤ｆ）。 ｃ）遍历图像，由上述定义分别计算Ⅳｏ，Ｎ。，Ｇｒａｙｏ，Ｇｒａｙ。。 ｄ）计算Ａｖｅｏ，ＡｖｅＩ，∞ｏ，∞１，Ａｖｅ，ＣＳＡＭ（Ｆｉ，Ｂ１）。 ｅ）如果ＭＣＳＡＭ（Ｆ，Ｂ）＜ＣＳＡＭ（ｆ，曰；），则令ＭＣＳＡＭ（Ｆ，Ｂ）＝ＣＳＡＭ（Ｆｉ，Ｂ；），Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＋Ｓｔｅｐ（Ｓｔｅｐ表示阈值调整步长），转步骤ｂ）；否则，不变，Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ—Ｓｔｅｐ，转步骤ｂ）。 ｆ）此时的ＭＣＳＡＭ（，，鳓就是所要寻找的最佳阈值，算法结束。 将运动目标和背景作为两个聚类，把聚类问的方根一算术均值距离最大作为阈值选择的准则是本算法的核心。背景和运动目标之间的ＣＳＡＭ越大，说明构成图像的两部分差别越大，当部分目标错分为背景或者部分背景错分为目标时，都会导致两部分差别变小，使得ＣＳＡＭ值变小。因此，ＭＣＳＡＭ意味着错分的概率最小，该方法能保证运动目标提取的准确性。２．３阈值更新策略 本文的算法主要采用两种方法进行阈值更新。第一种是定时更新，即在规定时间段中（通常３—５ｍｉｎ），抽取１０张连续图像序列利用该算法计算下一时间段差分图像的分割阈值。这种方式适用于背景缓慢变化的情况，如一天当中太阳光照的缓慢变化。第二种方法¨２１是实时更新，若在当前帧图像与背景模型差分后所得差分图像中，∞。大于某一个阈值（通常取８０％），则认为整个背景发生了变化；若连续多帧图像中这一比值依然很大，则不仅更新背景模型，同时更新阈值Ｔｈｒｅｓｈ—ｏｌｄ。这种方式适用于背景发生突变时的情况，如室内突然开灯或关灯。此外，如果图像中某些固定区域（非整幅图像）在较长时间内一直保持变化状态，有两种情况：一种是该区域像素灰度均值平稳变化，则认为该处背景的实际状态发生了变化（如户外汽车的停泊和驶走），此时执行分割阈值更新操作；另一种情况是该区域像素灰度均值变化不平稳，则该处背景可能存在显示器屏幕一类的物品，此时标记该区域，只检测该区域以外的图像，进行阈值更新。 ３实验结果 利用本文的算法对大量实际视频图像序列进行了运动目标提取的实验，并且在实验中总结了阈值调整次数Ｔｉｎ螂和阈值调整步长Ｓｔｅｐ的最优选择方法。 ３．１阈值调整次数和阈值调整步长的确定 阈值调整次数和阈值调整步长为本算法中可调整的参数。对视频中图像序列计算分割阈值时，可通过改变阈值调整步长Ｓｔｅｐ和阈值调整次数Ｔｉｍ鹤的值，比较每帧图像的分割阈值。由实验统计数据可知：分割阈值准确度与阈值调整步长成反 比，与阈值调整次数成正比，即阈值调整步长Ｓｔｅｐ越小，阈值调整次数Ｔｉｍｅｓ越大，得到的分割阈值准确度越高，但同时也带来了巨大的计算量。因此，本文采用如下办法解决此问题：首先固定Ｔｉｍｅｓ值，选择阈值变化减缓时的最小Ｓｔｅｐ值；然后固定Ｓｔｅｐ，寻找阈值变化减缓时的最小Ｔｉｍｅｓ值；将选定的Ｓｔｅｐ作为阈值调整步长，Ｔｉｍｅｓ作为阈值调整次数。 ３．２运动目标提取实验 利用本文算法对不同情况下的多组视频序列进行了运动目标提取实验，视频包括室内、室外、开关照明等场景，并将运动目标区域提取结果与基于背景差法的运动目标提取结果进行了比较。其中，后处理采用数学形态学的开运算。 实验１图３为摄像头获取的室内场景关灯条件下的视频序列，其中，（ａ１）（ａ２）（ａ３）分别是该图像序列中第５０、１１０和１５０帧图像；图３（ｃ）为利用本文算法分别对图１（ａ）中图像进行运动目标提取的结果，运动目标完整，且干扰噪声点较少；图３（ｂ）是利用普通背景差法进行运动目标提取的结果，可以看到除由于未进行阴影消除出现伪影外，效果与图３（ｃ）相差不多。 （ｃ）基于自适应闻值运动目标提取算法的提取结果 图３室内人侧面走过摄像头视频（关灯情况下）实验２图４为摄像头获取的室内场景突然开灯情况下的视频序列。其中，（ａ１）（ａ２）（ａ３）分别是该图像序列中第２５０、３１０和３５０帧图像；图４（ｂ）是利用背景差法进行运动目标提取的结果，可以看到，提取效果较差，这是由于照明环境的突然变化，使背景模型发生改变，而运动目标提取阈值固定不变所导致的结果；图４（Ｃ）是利用本文算法对运动区域提取阈值进行了自动调整，使得分割更灵活可行，因此，提取结果依然是运动目标完整，且干扰噪声点较少，从而验证了本算法对环境亮度突变的鲁棒性。 实验３图５为摄像头获取的室外场景视频序列，室外场景中通常存在一些微小的变化区域，如树叶的轻微摆动。由于本文算法后处理采用了数学形态学方法，可以有效去除这些微小变化引起的误检。但是，当背景中变动区域的运动幅度非常大，如狂风中摇摆的树木等，则该处理方法便无法完全去除变动区域的影响。 执行时间也是本算法的一个重要检测指标，本文使用１．８ＧＨｚＩｎｔｅｌＰｅｎｔｉｕｍ＠ＤＣＰＵ，５１２ ＭＢ内存的普通Ｐｃ机，图像分 万方数据 图像处理算法介绍：阈值分割 在图像处理时，受外界光线的干扰一般比较大，假如在阈值分割时采用固定阈值，那么在环境改变时分割效果受影响极大，那么为了避免此影响就必须采用动态阈值，自动求出合适的阈值，将目标图像和背景图像分割开来。 图像阈值化分割是一种最常用，同时也是最简单的图像分割方法，它特别适用于目标和背景占据不同灰度级范围的图像。它不仅可以极大的压缩数据量，而且也大大简化了分析和处理步骤，因此在很多情况下，是进行图像分析、特征提取与模式识别之前的必要的图像预处理过程。因此，这里美国TEO将简要介绍图像处理算法：阈值分割。 阈值分割法是一种基于区域的图像分割技术，其基本原理是：通过设定不同的特征阈值，把图像像素点分为若干类。常用的特征包括：直接来自原始图像的灰度或彩色特征；由原始灰度或彩色值变换得到的特征。设原始图像为f(x，y)，按照一定的准则在f(x，y)中找到特征值T，将图像分割为两个部分，当像素点灰度值或彩色值大于T时，则置为A1（其置可为1），小于T时，则置为A0（其置可为0）。 下面是几种常用的阈值分割方法： 1、p-分位数法 这也是最基础最简单的一种图像分割方法。该方法使目标或背景的像素比例等于其先验概率来设定阈值，简单高效，但是对于先验概率难于估计的图像却无能为力。例如，根据先验知识，知道图像目标与背景象素的比例为PO/PB,则可根据此条件直接在图像直方图上找到合适的阈值T，使得f(x,y)>=T的象素为目标，f(x,y)的象素为背景。 2、迭代方法选取阈值 初始阈值选取为图像的平均灰度T0，然后用T0将图像的像素点分作两部分，计算两部分各自的平均灰度，小于T0的部分为TA，大于T0的部分为TB。计算后，将T1 作为新的全局阈值代替T0，重复以上过程，如此迭代，直至TK 收敛，即TK＋1＝TK 。经试验比较，对于直方图双峰明显，谷底较深的图像，迭代方法可以较快地获得满意结果。但是对于直方图双峰不明显，或图像目标和背景比例差异悬殊，迭代法所选取的阈值不如最大类间方差法。 3、直方图凹面分析法 方法对某些只有单峰直方图的图像，可以作出分割。从直观上说，图像直方图双峰之间的谷底，应该是比较合理的图像分割阈值，但是实际的直方图是离散的，往往十分粗糙、参差不齐，特别是当有噪声干扰时，有可能形成多个谷底。从而难以用既定的算法，实现对不同类型图像直方图谷底的搜索。通常采用低通滤波的方法平滑直方图，但是滤波尺度的选择并不容易。此方法仍然容易受到噪声干扰，对不同类型的图像，表现出不同的分割效果, 往往容易得到假的谷底。 4、最大类间方差法 由Otsu于1978年提出，其计算简单、稳定有效，一直广为使用。从模式识别的角度看，最佳阈值应当产生最佳的目标类与背景类的分离性能，但当图像中目标与背景的大小之比很小时方法失效。 在实际运用中，往往使用以下简化计算公式：（T）＝WA(μa-μ)2 + WB(μb-μ)2 其中，为两类间最大方差，WA 为A类概率，μa为A类平均灰度，WB 为B类概率，μb 为B类平均灰度，μ为图像总体平均灰度。即阈值T将图像分成A,B两部分，使得两类总方差（T）取最大值的T，即为最佳分割阈值。伴随矩阵的性质知识讲解
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