2021年随机变量及其分布期末练习题及答案

随机变量及其分布期末练习题及答

案

欧阳光明（2021.03.07）

1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求ξ的分布。

[解]{}发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ

小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数为

求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,3

1(内的概率；（3）X 的概率密度函数。

[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有

1)01()1(=+==F A F ，即1=A

（2）由分布函数的性质知，4

1)1()21())21

,1((=--=-∈F F X P ；

98311)31()2())2,31((2

=??

?

??-=-=-∈F F X P ；

（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取

则0)(≥x f ，且对一切x 有?∞-=x

dt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。

3．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<

[解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-??

?

??Φ=<<=σX P

所以 8.05.03.02=+=??

? ??Φσ

于是 2.0212202

)0(=??

?

??Φ-=??? ??-Φ=???

??-<

-=<σσσσ

X P X P 4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。 （1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。 [解] （1）设A ：任取一蛋其重量大于50克。

1B ：任取一蛋为优良品种 2B ：任取一蛋为一般品种

则21,B B 互斥，且S B B =21 ，3

1)(,32

)(21==B P B P 由全概率公式得

（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0=p ，小于50克的概率6138.011-=-=p q

设任取2个，有Y 个大于50克，则),2(~p B Y 于是所求概率为

问题与思考

1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？ 2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？

3．设X 为连续型随机变量，而)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续

型随机变量吗？

4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？ 5．连续型随机变量的密度函数连续吗？

练习与答案

1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。

2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(<

3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。

4．已知某元件使用寿命T 服从参数10000

1

=

λ的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律

5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2N X ；若采用乙工艺条件，则完成时间)4,50(~2N X 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？

6．设某批零件的长度服从),(~2σμN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于μ的概率。

7．设X 分别为服从??

????-2,2π

πU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数

8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。，超过7的水要溢出，求水库存水量Y 的分布函数 参考答案：

1．分布列 X 0123 2．)4,3,2(11 =+--n qp pq n n

3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P

4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)

1()(1021

2

1

10 =-==---k e e C k X P k

k

5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好

6．3125.02121)2(3

2

25=??

?

?????? ??==C Y P

7．（1）1,11

)(2

1<-=

x x

x f π；（2）10,12

)(2

2<<-=

x x

x f π；（3）

1,11

)(2

3<-=

x x

x f π；

8．??????

?≥<≤-<=.

7,1;74,44

;4,0)(y y y y y F y ⒈连续型随机变量X 的密度函数是f x ()，

则P a X b ()<<=。

答案：f x x

a b

()d ?，

⒉设X 为随机变量，已知D x ()=2， 那么D X ()35-=。 答案： 18

3、设随机变量

X ~ 0

12060301?? ???

，则E X ()=（ ）。

A. 1；

B. 1

3；

C. 0D. 05

. 答案： D

4、设随机变量

X N ~(,)522

，求()8X P <<3。 解 X N ~(,)522

＝)1()5.1(-Φ-Φ（查表）

5. 设随机变量X 的密度函数是

求 (1) 常数a ; (2)P (X <2.5) 解 (1) 根据密度函数的性质

1＝??

-=+∞∞

-3

2d )2(3d )(a

x

x x x f =1－(a －2)3

所以a =2

??

?<<-=∴03

2)2(3)(2x x x f

(2)P (X <2.5)=?

-5.22

2d )2(3x

x

=

125

.05.0)2(35.22

3==-x

6．设随机变量X 的分布函数为

求（1）A 的值；（2）X 落在

)21,1(-及)

2,31(内的概率； （3）X 的概率密度函数。

[解] （1）有分布函数的右连续性，在1=x 点处有

1)01()1(=+==F A F ，即1=A

（2）由分布函数的性质知，

41

)1()21())21,1((=

--=-∈F F X P ；

98311)31()2())2,31((2

=

??

?

??-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导， 且在1,0=x 处连续，若取

7．设),2(~2

σN X ，且3.0)42(=<

[解] 因为

所以8.05.03.02=+=???

??Φσ

于是

8．设随机变量X 的密度函数为

f x x x ()()=-≤≤??

?311202其它，

求：⑴P X (..)1525<<；⑵E X (). 解⑴P X (..)15

25<<=?5

.21.5

d )(x

x f =?-2

1.5

2d )1(3x

x

=

25.13

)1(-x = 0.875

⑵E X ()=?+∞

∞-d )(x x xf =?-2

12d )1(3x x x

=2

1234)

2324

3(x x x +-=74 9．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，

用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.

．解)2(=X P =101251111=C C C ，)3(=X P =102

2

5

1211=C C C ， )4(=X P =103251311=C C C ，)5(=X P =104

2

51411=C C C ，

所以X 的概率分布为：

1、（1为。

答案：AC BC AB ++。

（2）事件B A ,满足,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则________)(=+B A P 。

答案：分析根据概率的加法公式与乘法公式，我们有 =7.08.05.06.05.0=?-+

（3）对于任意事件C B A ,,，则________)(=++C B A P 。 答案：)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 分析))(()(C B A P C B A P ++=++

=)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 2 、事件B A ,若满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（） （A ）不相互独立；（B ）互不相容； （C ）相互独立；（D ）不互斥 答案：D

分析由加法公式，有

而且1)()(>+B P A P 时，只有0)(≠AB P 时，才能保证上式成立，即≠AB φ，

故选择D 正确。

3、袋中有5个球（3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次，

则第二次取到新球的概率是（）

（A ）53；（B ）43；（C ）21；（D ）103

答案：A

分析设A 表示“第一次取到新球”的事件，B 表示“第二次取到新球”的事件。

4、某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示产品确为正品，求

)()3();(),()2();(),()1(A P B A P AB P B P B P 。

解（1）2.0)(,8.0)(==B P B P

（2）776.097.08.0)()()(=?=?=B A P B P AB P

（3）78.0004.0776.0)()()()(=+=+=+=B A P AB P B A AB P A P