固体物理旧版习题答案之一
《1：什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体得结构所构成得布喇菲格子？为什么金刚石结构是复试格子？
答： 由同种原子组成，而且每个原子周围得情况都一样的晶格，称为布喇菲格子。氯化钠晶体所构成的布喇菲格子是面心立方（由Ce -
和 Na +
的布喇菲格子套构而成的格子）
从书上图1——13看出，金刚石的结晶原原胞是在结晶学的面心立方原胞体内加上四个间隙原子构成的。四个体内原子分别在四个正面提的中心位置上。正四面提中心的原子和正四面体顶角原子形成四个共价键，由于 中心原子和顶角原子价键的取向个不相同（即中心原子和顶角原子周围的环境不同）所以是复式格子，这种复式格子是两个面心立方格子套构而成的。
2：什么式倒格子？在§1.5.1中取ρ，使ρd=2πμ（μ =0，±1，± 2）
其中d 代表任一晶面族的晶面间距，这样所定义的格子就是正格子的付里叶变换，试证明之。
证明：在原点O 引晶面族 ABC （如图）的发现ON ，在法线上截取一段OP=ρ 使 ρd=2 π，d 使晶面族ABC 的间距，对于每一族晶面都有一点P ，使得OP 成为该方向的周期，把P 平移可得出一个新得点阵，这个新的点阵称为原来晶格得倒格子。
取d 1d 2d 3分是晶面族（100）,(010)和（001）的面间距则：
b 1=2 π /d 1, b 2=2π /d 2 ,,332/b d π=
他们是倒格子基矢的模，倒格子基矢为
1232()/b a a π=?Ω ,2312()/b a a π=?Ω ,3122()/b a a π=?Ω
这里123231312d a a d a a d a a Ω=?=?=?
是正格子的原胞体积。
因为晶体中任意一点r 处的物理量()r Γ
，具有周期性，所以()()e r R r ΓΞ+=Γ ，其中112233e R a a a λλλ=++ 是正格矢。()r Γ
可以展开为傅立叶级数：
123
()()()i k r n h ik r
n h h h h r k e k e ??Γ=Γ=Γ∑∑∑∑
()()()()h h ik r R ik R h H
r R k e r e
λλ
λ?+?Γ+=Γ=Γ∑∑
要求h ik R e
λ
? =1
即 2h l K R πμ= (μ为整数)
因为l R 是正格矢，所以h K 为倒格矢。h K
应该是倒格点的位置。即： 112233h K h b h b h b =++ 于是.
h l i j i j K R l h a b =?
（I ，j=1.2.3…l i ，j i 为整数）
由此可得：2()
20()i j ij i j a b i j ππδ=?==?
≠?
可见，倒格子是正格子的傅立叶变换。
3.体心立方格子和面心立方格子互为正，倒格子，试证明之。
证：沿这结晶学原胞三个基矢的方向，三个基矢量为,,i j k
已知体心立方和面心立方固体物理原胞的三个基矢为：
体心：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k =-++=-+=+- 面心123()
2()2()
2
a a j k a a k i a a i j =+=+=+
312312a a a a Ω=??= 体积（） 31
4
a Ω=体积
倒格子基矢为：
222323133231312232()()2()2()2()44,1124
22()()2()2()2()24,(12
a a i j k i j k i j k a a a a
b b a a j k i j k a a
a k j k i j i a a a a
b b i a a ππππππππππ-+?+--+??'====
ΩΩ=+=-++-+-++??'====-ΩΩ
21212333)
2()2()2()2()24,()
12
2()j k i k a
a k i k i j k a a a a
b b i j k a a i j a
ππππππ+=++-+++??'====+-ΩΩ=+
与面心立方格子形式完全相同 与体心立方格子形式完全相同
把，123,,b b b 的表达式和 123,,a a a 的表达式进行比较，可以看出体心立方格子的倒格子
是面心立方结构，而面心立方格子的倒格子是体心立方格子。
4 若基矢a ，b ，c 构成简单正交系，试证明：晶面族（hkl ）得面间距为：
hkl d =
，并说明面指数简单的晶面，其密度比较大，容易界理。
解法1。根据密勒指数的定义可知晶面族（h,k,l ）中最靠近原点的一个晶面在基矢上的
截距面为：
OA=a h ,OB=b k ,OC=c l
. 由图
()()
()cos ,cos ,cos ,hkl
a b c d OP n a n b n c h k l
====
n 为晶面法向单位矢量，
()()
()2
2
2
c o s .c o s .c o s
.1
n a
n b n c ++
=
∴22222221hkl
a b c d
h
k l ??
++= ???
即
h
k
l
d =
解法2 对应晶面族（h,k,l ）的倒格矢为
**
*222h k l i j k k h a k b l c h
k l a
b
c
πππ=++=++
（ 根据；.2i j a a π=
正倒格矢关系有 *
.2ai a π
= 必有
**a a i
=
所以；*
.2a a
π=
*2a a
π=
*b ，*c 同理 ）
∴
2hkl hkl
d k π=
=
()
*2*2222b c a i a a a a b c j b k c c πππππ??
?=== ?
? ?
? ?= ? ?
?= ? ???
∑
*
同理b 同理
对于一定的晶体，原子的体密度是一定，有hkl d 表达式可以看出面指数
()..h k l 简单的晶面
族，其hkl d 比较大，所以原子的面密度教大，而hkl d 大的晶面间结合较弱，所以易解理。
5．题及解详见本题解第三部分。 〈〈6．试证六角密积结构中
1
2
8 1.6333c a ??
== ???
证；如图所示；,,2
a
OD a DC oo AB c '==
==（B 为等边三角形的重心）
23O B O C a
==
=
OA a =
2
AB =
=
=
2c AB ∴
===
2 1.633c c AB a ∴===∴== 若c a
值》1.633，则可把晶体视为由原子密积平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
〈〈7.如果把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比为
简立方
π
， 体心立方
，面心立方
六角密堆积 ， 金刚石
提示：先求结晶学原胞的基矢长度（a ）和硬球半径（R ）的关系，再考虑有效属于这个原胞的球有几个。
解：1）简立方：设原胞基矢长度为a ，硬球半径为R ，由图知：
2a R =
体积比
=
33
4
3R a π=
33
4
38R R π=
6
π
2）体心立方： ，由图
=4R
∴原胞内有两个小球体积比
3
3
3
4
2
3
R
π
?
==
??
?
??
3）面心立方：
=4R，
a R
∴=
体积比
=
(
)
3
3
4
4
3
R
π
?
=
（原胞内有4个球）
4）六角密积包括六个球
11
32126
26
+?+?=个按密堆积要求161
A A OA
=
6
A O ON A N
ε
===
即右图为一个正四面体
1
2
A N R
==。
其高为NM h
==
2
==
2
C h R
?
∴==
?
c
a
∴==
原胞底面积
61
6OA A
=?
的面积2
=
体积比
3
4
6
6
R
π
?
==
（或先标出
6
2
cos30o
a
MA==63
A N R
=
5）金刚石：
由上图1-13可得：（解5图）
其中2
AC R
=，
R
体积比
3
3
4
8
3
R
a
π
?
=
=
8.如x射线沿简立方晶胞的负Z O方向入射，求证：当
22
2l
a k l
λ
=
+
和
22
222
cos
l k
l k
β
-
=
+
时，衍射
光线在yz平面上，其中
2
β是衍射光线和OZ方向的夹角。
证：按题意：入射光线的
2
o o
π
αβ
==，
o
γ
π
=
22
222
cos cos
l k
l k
γβ
-
==
+
22
2l
a l k
λ
=
+
以此代入劳厄方程：()
()
l o
R s sμλ
-=
()()()cos cos cos cos cos cos o o o a kl a kl a kl
ααββγγ?-=?
-=??
-=? （即x 方向有：（s
为单位矢量）()cos cos o
a h ααλ-=
注意到：入射光线的
222cos cos cos 1αβγ++=
（利用一知条件,,o o o αβγ代入方程，利用
222cos cos cos 1αβγ++=，根据
22
2l
a
k l
λ
=
+，可得出0h =） 则有0h =，用0h =代入①则有
cos 0α=， 即2
πα=
所以衍射线s
在YZ 平面内。
9，在氧化钾晶格中，k +
在 1111000,
0,02222，110
22
诸点，Cl -在111111
,00,00,00222222
诸点，试讨论衍射面指数与衍射强度的关系
()()()(){
()()()()112*1cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin s k hkl k ce ce f I F f n h k n h l n k l f n h k l n e n h k n h l n k l f n h k l n l n k n k αππππππππππππ--?+=+++++++++++????????++++++++++++++?
??????? 讨论：（1）当nh,nk,nl 全为偶数时，如（200）
()()122
21111111144k ce k ce F f f f f +-+-????=+++++++=+????
（2）当nk,nh,nl 全为奇数时，如（111）
()()122
2
1111111144k ce k ce F f f f f +-+-????=++++----=-????
（3）当nk,nh,nl 部分为偶数，部分为奇数时，如（211）
()(){}12
2
21111111100k ce F f f +-??=--++--++=??
归纳以上结果，当衍射面指数为全偶数时，衍射强度最大，当全为奇数时，衍射强度最小；当奇偶混杂时，则衍射强度为0，即衍射不出现。 〈〈 10，在六角晶系中，晶面常用四个指数（h,k,l,m ）来表示。它们代表一个晶面在六角
平面基失123,,,a a a 轴上的截距为312,,,a a a h k l 在六度轴上的截距为c
m
，试写出
'o 13A A ,13A A 31B B ,2255A B B A 和123456A A A A A A 四个面的面指数。试普遍的证明：h+k=-l.
解：晶面C ’A 2A 3在这基矢的截距为（a 1,a 2,-1
2
a 3,c ）截距倒数之比为:1,1, 2,1 所以面指数为（1，1，2，1）
同理： 331 1.10A B B 1晶面A 的面指数为（，2，，） 2551100B B A 2晶面A 的面指数为（，，，） 2551100B B A 2晶面A 的面指数为（，，，）
123456晶面A A A A A A 的面指数为（0，0，0，1）
证：h+k=-l=l 由图可知313a a a =-+
（）
123a a a ===a
若密勒指数为（h,k,l,m ）则晶面族中最靠近原点的晶面在123a a a
，，轴上的截距分别为
3
1a a a a a h k l h k l
2a ，，，，，均在同一晶面上，设晶面的法向单位矢量n ， 则1*a n h =d,2
*a n k
=d,3*a n l =d 即：1a *n =hd,2a *n =kd,3a *n =ld
因为312a a a =-+ （），123a a n a n += -（
） 即：-hd-kd=ld,所以h+k=-l =l .
11.设某晶体中每对原子的平均结合势能具有
p
q
A
B
γ
γ
-
的形式。平衡时100
2810γ-=?.米，
结合能19
008*10
U U -=焦耳。试计算A 和B 以及晶体的有效弹性模量。
解：19210
()9U r Br Ar u Br A r r ----??=-+?????=-?????
平衡时，r=r 0=2.8A,0
r u r ??? ????
=0
()0191900210
00()8*10(1)90(2)r U r Br Ar J u Br Ar r -----??=-+=?
??????=-=??
????
??
由（2）得B=9A 8
r
-代入（1）得：
()()()9
918101910590*10 2.8*1010 1.0590*10A r J ----==?=?米米焦
按定义：
0000
222200022220011999r V r r r r U u U V K V V r r r r r r r ???????????????===
= ? ? ? ?????????????????? 其中V=NU=N 3
r （认为晶体为简立方结构）
8929280099109 2.810 2.5210B Ar r ----==?=??=?
而0
2311
002290r U Br Ar r --???=-+ ???? ()
()()
311412319319
000000019
3
19
11
3
30
1021121119029029109010999
8108
810
1021.96
2.810
3.610/ 3.610/K Br Ar Br Ar r r r r ------------??????∴=
-+=-+=-???+?????????=??=
=
??=?=?牛顿米达因厘米
12.有一晶体，在平衡时的体积为V 0,原子间总的互作用能量为U 0,如果原子间互作用能由式
[]00/U mn qv 所表达，试证明体弹性模量可由得出。
解：()[]
//2
r N U n rm αγβ=-+ 0
1010/02
m n r u N n m x r
αβγ++???=
-=?????
000m
m n
n
n n m m
αγαβγγ-∴== ()()0
22
22
0011/2n m r n n m m U N r αβγγ++-++??
?=
+?????
将β值代入
()()22
00112n n n n m m N αβγγ++-++??
+????
设晶体体积为V=nU=N 3
r 可求得
()()
00
2220022075
22202000092179229V r n n U U K V V V r P mn n N N mn n V V γγααγγ+????
??== ? ?
??????-????
--=?= ???????
见书式
平衡时总得互作用能量为U 0
0000002
22n m n n n N
N n N m n U m m αβααααγγγγγ??????-+∴=
-+=-+= ???????????
()0000
000000
002222991/9/.
n
n
n n
m N m n U U K
m m n N
m n n m N mn K U U v m n N v R K v mn U γαα
αγγγ-+∴=∴=--∴=?=-==代入故
13．已知有N 个离子组成得NaCl 晶体，其结合能为()
202
4r n N
e U αβπεγγ??
=-
- ?
??
，今若排斥项
n
β
γ由()cos /βγρ-来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用得势能得贡献相同，试求出n 与ρ得关系。 解：()
202
4r n N e U αβπεγγ??
=-
- ?
??
，排斥项由()cos /βγρ-来代替后， ()
()2
0cos /24r N e U αβγρπεγ??=--- ???
平衡时0
0,dU d γγ??
=
???
01
001
033
003
02
1
sin .1
sin 16n n n n
γβ
ββγρργβγρρργβγ
ρρρβγρ++??=-- ???
??∴
=-
- ???
??=--++??? ?
??=
14：试证：由两种离子组成的间距为R 0的一维晶格的马得隆常数2ln 2α=。
证：考虑到α仅与库仑能有关，可写作
2
121110
21211
j j j j j j j j
j j n n e N U r n r R u ααααα=→-
=→+
=?
==
±=±∑∑库
()222
12000234
222311121234ln 1222
1,
111
ln 21234
n n e e e U N R R R x x x x x x α????=?-+-+?????
???????
∴=-+-+??? ?
??+=-+-+???
==-+-+???
库而令
15．已知 2.58MgO D A =，S=4.52，（注：原文缺此条件）.计算O -和Mg ++地单价泡林半径和晶体半径. 解：
12 4.527.488 4.52 3.482.58Mg
O Mg O Cu CN CN R z s CN CN R D R R ++--++--?
?===??
--??
??==??
-??
=+=??????
()
2/111313
2.587.48
3.48 2.587.49 3.48
7.48 3.48
2.58 6.49
7.48 3.485.39
0.87, 1.717.48
20.87
0.872
0.691.261.711.712
1.361.26
N N N Mg O N Mg O CN CN
C C
C R A R A n R R R A R A ηηηηηη++--++------
∴
+=∴+=?∴=?=+=-======?=
=∴=?= 又晶体半径
16.在立方晶体中，若弹性波S 沿[]110向传播，试求（1）它的三个波速：（2）位移失
?的三个方余炫。
解：当S 沿[]110方向时，λ
=m=
=0 把克利斯托模量代入系数行列式，求上式（2-52）式变为：
4412441244441111
1
()02221
11
()(0002
22
00
n C C C C C C C C C ++++-=
可以
可以求出111244
1112
1442322
2C C C C C C C C C ++-==
=
所以
101
r ρ=
=?==
?沿110????方向（横波）
20
r ρ=
=
=?=
=
?沿[]110方向（纵波）
30
q r ρ=
=
=
==
q 沿110??
??方向（横波）
求出p ，q ，r 的方法是将
i C 代入（2-51）的方程组得出p ，q ，r 的线性方程组
例 将1112
32C C C -=
代入方程组