图论第二次作业4-5章
第四章
1.
(1)
(2)
(3)
(4)
7.
由于G所有顶点的度均为偶数，所以当取掉圈C1后，G-C1每个点的度依然是偶数，以此类推G-C1-C2-...-Cn每个顶点的度均为偶数，当G-C1-C2-...-Cn为一圈时，即G-C1-C2-...-Cn=Cm 时G=C1+C2+...+Cm。
10.
(1)若G不是二连通图，即G中存在一点u其连通度为1，则G一定不存在Hamilton圈，得证。
(2)不妨设|X|>|Y|,由于x1,x2...xn不相邻，y1,y2...ym不相邻。在Kn,m中取一条路一次通过X1,y1,x2,y2,...,xm,ym,xm+1。此时当到达xm+1时由于x1,x2...xn不相邻，路不能继续延伸通过其他xi,也不能回到x1。所以Kn,m无Hamilton圈。其子图G也不存在Hamilton圈，得证。
12
第五章
1.
1) 证明一：
首先证明每个k 方体都是k 正则偶图。
由k 方体的构造得，k 方体有2k 个顶点，每个顶点可以用长度为k 的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。如果我们划分k 方体的2k 个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X ，否则归入Y 。显然，X 中顶点互不邻接，Y 中顶点也如此。所以k 方体是偶图。又不难知道k 方体的每个顶点度数为k,所以k 方体是k 正则偶图。
下面证明K 正则偶图G 存在完美匹配。
一方面，由于G 是k (k>0)正则偶图,所以k|X|=k|Y|,于是得|X| = |Y|；另一方面，对于X 的任一非空子集S, 设E1与E2分别是与S 和N(S)关联的边集，显然有：21E E ? 即：()S N k E S k E =≤=21
由Hall 定理，存在由X 到Y 的匹配.又|X| = |Y|，所以G 存在完美匹配。
(2) 我们用归纳法求n K 2和n n K ,中不同的完美匹配的个数。
n K 2的任意一个顶点有2n-1种不同的方法被匹配。
所以n K 2的不同完美匹配个数等于(2n-1)乘以22-n K 的不同完美匹配个数等,如此推下去，可以归纳出n K 2的不同完美匹配个数为：(2n-1)!!
同样对完全偶图n n K ,具有二分类（X ，Y ），对X 中任意一个顶点有在Y 中有n 个点与之相关联，即有2n-1种不同的方法被匹配，所以n n K ,的不同完美匹配个数等于n 乘以1,1--n n K 的不同完美匹配个数等,可归纳出n n K ,的不同完美匹配个数为：n!
2.
证明：若不然，设M1与M2是树T 的两个不同的完美匹配，那么M1ΔM2≠Φ,容易知道：H[M1ΔM2]每个顶点度数为2，即H 存在圈，于是推出T 中有圈，矛盾。
6
n K 2的1-因子分解的数目级为n K 2不同完美匹配个数，为()()()()!
2!2!!2!2!!12n n n n n n ==
-
7. 1
2 8
3 7
4 6
5
2
3 1
4 8
5 7
6
3
4 2
5 1
6 8
7
4
5
3
6
2
7 1
8
13.
即求矩阵???????
?????????=?????????????
???-5768963077741859687623589867547101366
69125847567111085413对应最优匹配 对矩阵进行标号：0
00009789957689
63077
741859687623589???????????????? 对应的相等子图l G 为：
x1 x2 x3 x4 x5
y1 y2 y3 y4 y5
给出初始匹配M 为：
x1 x2 x3 x4 x5
y1 y2 y3 y4 y5
(1) 4x u =为M 非饱和顶点。置：Φ==T x S },{4
(2) ()T y y S N l G ?=},{21
(3) 取：()T S N y l G -∈1 ,1y 为饱和顶点，M x y ∈11，于是}{},,{141y T x x S ==
(2)()T y y S N l G ?=},{21
(3)取：()T S N y l G -∈2 ,2y 为饱和顶点，M x y ∈32，于是},{},,,{21431y y T x x x S ==
(2)()T y y S N l G ==},{21
于是修改标号：6)}()()({min =-+=?∈xy w y l x l T
y S x l α
??
???∈+∈-=，其他)(,)(,)(?v l T v v l S v v l l l l αα
新标号为：0
0066
9129357689
63077
741859687623589????????????????
G为：
对应的相等子图
l
x1 x2 x3 x4 x5
y1 y2 y3 y4 y5
最优权值为：5+9+8+7+5=29
原矩阵最小权值为：8+4+5+10+4=5*13-29=31