悬臂梁分析
有限元法悬臂梁分析
算例：
如下图所示的悬臂梁，受均布载荷q ＝1N ／mm 2作用。E ＝2．1×105N ／mm 2, μ＝0.3厚度h ＝10mm 。现用有限元法分析其位移及应力。
梁可视为平面应力状态，先按图示尺寸划分为均匀的三角形网格，共有8×10＝80个单元，5×ll ＝55个节点，坐标轴以及单元与节点的编号如图。将均布载荷分配到各相应节点上，把有约束的节点5l 、52、53、54、55视作固定铰链，建立如图所示的离散化计算模型。
程序计算框图：
（续左）
（接右）
函数功能介绍
1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)――该函数用于计算平面应力情况下弹性模量为E 、泊松比为NU 、厚度为t 、第一个节点坐标为(xi,yi)、第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节 开 始 输入材料参数 计算具有代表性的单元刚阵 K<=0 将各单元刚阵按整体编号集成到整体刚阵 处理根部约束，修改【K 】【Q 】 求解[K][δ]＝[Q] 整理[δ] 并画图 计算单元应力，并输出 结束
点坐标为(xm，ym)时的线性三角形元的单元刚度矩阵.该函数返回6×6的单位刚度矩阵k.
2. LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)――该函数将连接节点i,j,m的线性三角形元的单元刚度矩阵k集成到整体刚度矩阵K。每集成一个单元，该函数都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.
3. LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)-- 该函数计算在平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm，ym)以及单元位移矢量为u时的单元应力。该函数返回单元应力矢量。
函数源代码：
function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)
A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;%三角形单元面积，单元节点应该按逆时针排序，保证每个三角形单元的面积都为正值（也可作为一个小函数：LinearTriangleElementArea）
betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;
gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;
B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;
0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;
gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);
%B为应变矩阵，其中betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj.
gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi.
D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];
%D为弹性矩阵，分为平面应力问题和平面应变问题
对于平面应力问题D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];
对于平面应变问题E1=E/（1-NU*NU），NU1=NU/（1-NU）
y = t*A*B'*D*B;%单元刚度矩阵
function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)
K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(1,2);
K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);
K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6);
K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1); K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);
K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3); K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,4);
K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5); K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6);
K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);
K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);
K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m) + k(3,6);
K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1); K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);
K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3); K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);
K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5); K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6);
K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2);
K(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4);
K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6);
K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1); K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2);
K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3); K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4);
K(2*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5); K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6);
y = K;%对号入座，如前所述，每集成一次都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.此题为110×110
function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)
A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;
betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;
B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ;
0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;
gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);
D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];%平面应力和平面应变问题两种情况
y = D*B*u;%单元应力计算
主程序
E=21e7;NU=0.3;t=0.01;
stifflike5=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.08,0.36,0.06,1)%选取2个基本单元，调用M文件
stifflike1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.06,0.4,0.06,1)
K=sparse(110,110); %creat a xishu matrix for total stiff创建一个稀疏矩阵
for i=1:49
if rem(i,5)%模取余， bool型变量，非零即为真
j=i;
K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike5,j,j+5,j+6);%节点编号
K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike1,j,j+6,j+1);
end
end%将每个单元刚度矩阵集成到总刚中
K=full(K);%转化稀疏矩阵 k=K(1:100,1:100);
k=[K,zeros(100,10);zeros(10,100),eye(10)];
k=sparse(k);%利用边界条件简化基本方程
Q=sparse(2:10:92,1,[-200,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,],110,1);%外部荷载，此处不包括约束条件，通过形函数确定，是不是可以理解为梁的两端为中间的一半呢？
d=k\Q;%高斯消元法，比克莱姆法则在计算速度上有绝对的优势！
x=0:0.04:0.4;
plot(x,d(106:-10:6))%基本绘图命令
grid%带网格
y=zeros(80,3);
q=0;
for i=1:49
switch rem(i,5)
case 1
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.4;yn=0.06;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
case 2
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.4;yn=0.04;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
case 3
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.4;yn=0.02;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
case 4
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0;xn=0.4;yn=0;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
otherwise
q=q+3;
end
end
q=4;
for i=1:49
switch rem(i,5)
case 1
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.08;xn=0.36;yn=0.06;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
case 2
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.36;yn=0.04;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
case 3
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.36;yn=0.02;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
case 4
j=2*i;
u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)];
u=u';
xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.36;yn=0;
y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)';
xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;
otherwise
q=q+3;
end
end% y(i+q,:)这是实现什么的？没见过这种用法，算法上应该就是通过节点位移实现指定单元的内力，这部分本人看的也晕晕的，望高人指
N=y(73:80,1)
结果图及数据输出
一单元的单元刚阵
1.0e+006 *
0.8077 0 0 -0.4038 -0.8077 0.4038
0 2.3077 -0.3462 0 0.3462 -2.3077
0 -0.3462 0.5769 0 -0.5769 0.3462
-0.4038 0 0 0.2019 0.4038 -0.2019
-0.8077 0.3462 -0.5769 0.4038 1.3846 -0.7500
0.4038 -2.3077 0.3462 -0.2019 -0.7500 2.5096
五单元的单元刚阵
1.0e+006 *
0.5769 0 -0.5769 0.3462 0 -0.3462
0 0.2019 0.4038 -0.2019 -0.4038 0
-0.5769 0.4038 1.3846 -0.7500 -0.8077 0.3462
0.3462 -0.2019 -0.7500 2.5096 0.4038 -2.3077
0 -0.4038 -0.8077 0.4038 0.8077 0
-0.3462 0 0.3462 -2.3077 0 2.3077
根部73-80各单元应力计算结果如下（n/m2）：
1.0e+007 *
2.1119 -0.0621 -2.2816 -4.8824 5.0479 2.4065 0.0352 -2.3753