高中数学三角函数的单调性训练题
三角函数的单调性训练题
A 级——保大分专练
1．函数f (x )＝tan ?
????2x －π3的单调递增区间是( ) A.??
????k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.? ??
??k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.?
?????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.?
????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12
(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是? ????k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )
A.????
??－π2，π2 B ．[0，π] C.??????π，3π2 D.????
??3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.
3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为????
??π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2
B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3
解析：选B 因为x ∈??????π3，π，所以cos x ∈?
?????－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.
4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3
时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )
A.??????π3，π
B.??????π3
，2π3 C.??????0，2π3 D.????
??2π3，π 解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3
时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ?
????x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是????
??π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间??
??
??π4，π2上的最小值为( )
A ．1 B.1－32 C.32 D ．1－ 3 解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ?
????2x －π6＋12. ∵x ∈????
??π4，π2，∴2x －π6∈??????π3，5π6. 当2x －π6＝5π6
时，函数f (x )取得最小值为1. 6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间?
?????0，π3上的最大值为1，则ω＝( )
A.14
B.13
C.12
D.32
解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间?
?????0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ? ??
??π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ， 由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4
(k ∈Z)，
故原函数的定义域为?
?????2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． 答案：?
?????2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ? ??
??π2－x 的最大值为________． 解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ? ????π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2?
????sin x －322＋112，而sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.
答案：5
9．函数f (x )＝2sin ? ????π6
x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2
， 即－π3≤π6x －π3≤7π6
， 所以－32≤sin ? ????π6
x －π3≤1， 故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3.
答案：2－ 3
10．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??????0，π3上单调递增，在区间????
??π3，π2上单调递减，则ω＝________.
解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32
. 法二：由题意，得f (x )max ＝f ? ??
??π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32
. 答案：32
11．已知函数f (x )＝2sin ?
????2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)当x ∈??????π4
，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．
解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 则k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z. 故函数f (x )的单调递增区间为?
?????k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈??????π4
，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4， 所以－1≤sin ?
????2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈??????π4
，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32
. (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；
(2)讨论函数f (x )在????
??π6，2π3上的单调性． 解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ?
????2x －π3－32， 所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32
. (2)当x ∈??????π6
，2π3时，0≤2x －π3≤π， 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12
时，f (x )单调递增； 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在??????π6，5π12上单调递增，在????
??5π12，2π3上单调递减．
B 级——创高分自选
1．已知函数f (x )＝2sin ? ????x ＋7π3，设a ＝f ? ????π7，b ＝f ? ????π6，c ＝f ? ??
??π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．
解析：函数f (x )＝2sin ? ????x ＋π3＋2π＝2sin ?
????x ＋π3，
a ＝f ? ??
??π7＝2sin 10π21， b ＝f ? ??
??π6＝2sin π2， c ＝f ? ????π3＝2sin 2π3＝2sin π3
， 因为y ＝sin x 在?