第1章《集合与简易逻辑》单元测试题

第1章《集合与简易逻辑》单元测试题

刘 忠（江西省永丰中学特级教师）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A ＝｛（x,y ）|x 2+y 2=4｝,B=｛（x,y ）|x 2+y 2=1｝，则A 、B 的关系为（ ） A.A B ? B. A B ? C. B A ? D. A ∩B=Φ 答案：D. 解：因为集合A 、B 都是以原点为圆心的圆，其半径分别为2、1（注意：圆是曲线，不包括其内部），∴A ∩B=Φ.

评析：本题易错选C.主要是由于韦恩图的干扰.

2. 已知集合{}{}M=M N N =I 直线，圆，则的元素个数为（ ）

A. 0

B. 1或2

C. 0或1或2

D. 不确定

答案：A . 解：∵没有既是直线又是圆的图形，∴M N =ΦI . 评析：本题易错选C.认为直线与圆的交点个数为0或1或2 . 3.

对

于

以

下

集

合

与

集

合

的

关

系

：

{}{}{}{}{}{},,,0,0,0.刎Φ∈ΦΦ?ΦΦΦΦ?Φ?Φ其中正确关系的个数为（ ）

A.3

B. 4

C. 5

D. 6 答案：D.解：以上六个关系都正确的.本题易错选C ，认为{}Φ∈Φ是错误的. 4. 若{}{}4,5,6,1,2,3A B ==,则集合A B ?中的所有元素之和为( )

A. 15

B. 14

C. 27

D. -14 答案：A. 解：∵A B ?＝{}1,2,3,4,5，∴A B ?中的所有元素之和为15，故选A.

5. 若集合1

31,11,2,01A y y x x B y y x x ??????

==-≤≤==-<≤??????????

，则B C A 等于( )

A.]1,(∞-

B. (),1-∞-

C.?

D.}1{

答案：B. 解：因为[](]1,1,,1A B =-=-∞，所以(),1B C A =-∞-故选B. 6．若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ?=?，则一定有（ ）

A.C A ?

B.A C ?

C.C A ≠

D. A =Φ

答案：A. 解：由A B B C =U I 知，,,A B B A B C A B C ??∴??U U ，故C A ?.

7、有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ①φ=B A I 的充要条件是card ()B A Y = card ()A + card ()B ； ②B A ?的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ?的充分条件是card ()≤A card ()B ； ④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .

其中真命题的序号是（ ）

A. ③、④

B. ①、②

C. ①、④

D. ②、③

答案：B 解：由card ()B A Y = card ()A + card ()B + card ()A B I 知card ()B A Y = card ()A + card ()B ?card

()

A B I =0?A B =?I ，故①正确；由B A ?的定义知

card ()≤A card ()B ，故②正确；若card ()≤A card ()B ，A B ?亦可能成立，故③不正确；④显然不正确.

8.已知集合{}2

1|0,|25710A x B x x x x ?

?

=>=≤≤??-+??

，则,U A B e的关系最恰当的一个是（ ）

A. A B ?

B. A B ?

C.A ＝B

D. B A ? 答案：C. 解：

221|0710 = 0710U A x x x x x ??

=≤-+??-+??

或e{}22|71007100x x x x x -+<-+＝或＝=

｛x|2710x x -+≤0｝＝{}|25x x ≤≤＝B ，故选C.

评析：本题易错选A ，原因是认为2

1|0710U A x x x ??

=≤??-+??

e. 9.已知集合A={}

2|3100x x x --≤ 、B={}|121x m x m +≤≤-分别为函数f(x)的定义域和值域，且B A ?, 则实数m 的取值范围是（ ）

A. (],3-∞

B. []2,3

C.

[]3,3- D.[)3,-+∞

答案：B.解：∵集合A 、B 分别为函数()f x 的定义域和值域，∴A ≠Φ、B ≠Φ. ∵A=[]2 , 5-, 再由B A ?且B ≠Φ，知121m m +≤-，即2m ≥；又

213

2153m m m m -≤+?≥-??

-≤?≤?

33m ?-≤≤.综上，知m ∈[]2,3　. 故选B. 评析：本题易错选C ，原因是忽视了B ≠Φ的条件.

10.（理科）若关于x 的不等式21x x a ++-<的解集为Φ，则a 的取值范围是（ ） A.()3,+∞ B.[)3,+∞ C.(],3-∞ D. (),3-∞ 答案：C.解：因为21x x ++-表示数轴上坐标为－2,1的两点这间的距离，所以213x x ++-≥，因此要使不等式无解，只需3a ≤，故选C.

（文科）若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ）

A. (],2-∞

B. ()2,2-

C. (]2,2-

D.

(),2-∞-

答案：C.解：当2a =时不等式显然成立；当2a ≠时2,

220,a a

.所以22a -<≤，故选C.

评析：本题易错选B ，原因是丢掉了2a =的情况.

11.（理科）已知不等式()200ax bx c a ++>≠的解集为{,0}x x αβαβ<<<<，则不等式20cx bx a ++<的解集为（ ）

A. 1

1|x x x β

α??<

>???

?或 B. 11|x x βα??

<

1|x x x α

β??<-

>-

???

?或 D. 11|x x αβ??

-<<-???

? （文科）若二次不等式20ax bx c ++>的解集是11

{}54

x

x <<,那么不等式2220cx bx a --<的解集是 （ ）

A.{x|x< -10或x > 1}

B.{x|－

41< x <5

1

} C.{x|4< x <5} D.{x|-5< x < -4} （理科）答案：A. 解：易知0a <，所以

(),,0b c

c a a

αβαβ=-+=<且，所以20cx bx a ++<即20b a x x c c +

+>，所以()111111,,b a c c αβαβαβαβ

βα-+??=

=-+=?< ???又，

所以20cx bx a ++<的解集为1

1|x x x β

α??

<

>

???

?

或，故选A. （文科）答案：A. 解：易知0a <，且1199,542011110,54202b b b

a a c c c a a a c

??+=-?=-=-??????????=?=-=-????又由0a <知0c <，所以2220cx bx a --<即202b a x x c c

-

->，所以()()1010x x +->，故选A. 12. （理科）设集合I={}12,,,n a a a L ，若集合A 、B 满足A ∪B=I ，则称(A,B)为集合I 的一种分拆，并规定：当且仅当A=B 时，(A,B)与(B,A)为集合I 的同一种分拆.则集合I 的不同分拆的种数为（ ）

A. 3n

B. 2n

C. 13n -

D. 12n -

（文科）若{}{}12121(,,,),,,,,,m m m n a a a B a a a a a +=L U L L ,则B 的个数为（ ） A. 3m B. 2m C. 3n m - D. 2n m -

（理科）答案：A.解：如图，满足题意的集合A 、B 的组数＝A ∪B 中所有的元素进入区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的方法数＝3n

，故选A.

（文科）答案：B.解：集合B 除了要有元素12,,m m n a a a ++L 这n m -个元素外，还需有元素12,,,m a a a L 这m 个元素中的１个或２个或…或m 个，所以集合B 的个数为

0122m

m m m m m C C C C ++++=L ，故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.命题“若

xy =，则0x =或0y =”的逆否命题

是 .

答案：若00x y ≠≠且，则0xy ≠.

14.已知集合A={}1,,a b ，集合B={a, a 2

,ab}，若A=B ，则实数20082009b a -= .

答案：1. 解：∵A=B ，∴22

1,

1,a b a a ab a b a a ab ???=???++=++?

由0,1a a ≠≠及2

10a a ++>，知

1,0.a b =-=因此20082009b a -=1.

15. 设()2:0f x x x →>是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{}1,2，则A B I ＝ .

解：∵集合A 中的每一个元素在集合B 中都有惟一的象，但B 中的元素未必都有原象，

∴C ?B.再由映射的定义，知{}A=1或

或{，故A B I ＝{}Φ或１

. 16. （理科）对于以下命题：

（1）若{}{}12121(,,,),,,,,,m m m n a a a B a a a a a +=L U L L ,则B 的个数为2n m -； （2）设命题p ：“对一切实数x ，03x 2x 2≥+-”，则非p 是 “ 对一切实数x ，03x 34x 2<+- ”

； （3）已知q p ,都是r 的必要条件，r s 是的充分条件，q 是s 的充分条件,则r 是q 的必要条件 ；

（4）若A 表示满足条件p 的集合，B 表示满足条件q 的集合，则“p 是q 的充分不必要条件?“A ?B ”.

其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上）.

（文科）对于以下命题：

（1）含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n ；

（2）对于命题“矩形的对角线相等”，其否命题是“不是矩形的四边形对角线不相等”； （3）已知命题A 、B 、C ，若非A 是非B 的充分条件，B 是C 的必要条件，则A 是C 的必要条件；

（4）若A 表示满足条件p 的集合，B 表示满足条件q 的集合，则 “p 是q 的充分条件”

?“A ?B ”.

其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上）.

（理科）答案：（3），（4）.解：命题（1）的正确答案为2n

.事实上，集合B 除了要有元素12,,m m n a a a ++L 这n m -个元素外，还需有元素12,,,m a a a L 这m 个元素中的１个或２个

或…或m 个，所以集合B 的个数为0122m m

m m m m C C C C ++++=L ；命题（2）的正确答案为

“ 存在一个实数x ，03x 34x 2<+- ”.

（文科）答案：（1）、（2）、（3）、（4）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知三个非零实数,,a b c 成等差数列，且a c ≠，求证：111

,,a b c

不可能成等差数列.

证明：（反证法）假设111

,,a b c

成等差数列，则

()211

,2ac b a c b a c

=+=+即. 又因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以()()22

a c ac a c +=+?

，

所以()2

2224,0a c ac ac a c ++=-=即，所以a c =，这与a c ≠矛盾，

故假设不成立，即111

,,a b c

不可能成等差数列.

18．（本小题满分12分）

已知p:方程210x mx ++=有两个不等的负实根；q:方程()244210x m x +-+=无实根.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围.

解：240,

:20,m p m m ??=->?>?>?

；()()2

2:1621616430q m m m ?=--=-+<. 因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 、q 一真一假.

（1）若p 真q 假，则2

2,3430,m m m m >?

?≥?-+≥?

； （2）若q 真p 假，则2430,

122,m m m m ?-+

.

综上所述，m 的取值范围是312m m ≥<≤或.

19. （本小题满分12分）

设集合{}(){}

222|40,,|2110,A x x x x R B x x a x a x R =+=∈=+++-=∈.若B A ?，求实数a 的取值范围.

解：∵{}4,0A =-，又B A ?，所以,B =Φ或{}4-，或{}0，或{}4,0-. （1）当B =Φ时，()()

2

241418801a a a a ?=+--=+

（3）当{}0B =时，20,10 1.a a ?=-=?且＝－

（4）当{}4,0B =-时，()2421,10 1.a a a +-=?－＝－且＝

综上所述，实数a 的取值范围是11a a ≤-=或. 20. （本小题满分12分）

已知(){}

2|210,A x x p x x R =+++=∈,R + ={正实数}，若A ∩R +

=Φ,求实数p 的取值

范围 .

解：（1）A=Φ时，040p ?

（2）A ≠Φ时，∵方程无零根，∴两根均为负，∴2000

p p +>??≥??≥?.

综（1）（2）知， 4.p >- 21. （本小题满分12分） （理科）设集合1

{24}32

x A x

-=≤≤，{}

012322<--+-=m m mx x x B . （1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数； （2）若B=Φ，求m 的取值范围； （3）若B A ?，求m 的取值范围. （文科）解关于x 的不等式

()11

x

a a R x <-∈-. 解：（理科）化简集合A={}

52≤≤-x x ，集合{}

(1)(21)0B x x m x m =-+--<. （1）{}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x Θ,即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为254228=-个.

（2）显然只有当m-1=2m+1即m= －2时，B=Φ. （3）①m= －2时，B A =Φ?；

②当m<－2 时，()()21120m m m +--=+<，所以B=()21,1m m +-,因此，要A B ?，

则只要??

?≤≤-?≤--≥+623

5

1212m m m ，所以m 的值不存在；

③当m>－2 时, B=（m-1,2m+1）,因此，要A B ?，则只要???≤≤-?≤+-≥-215

122

1m m m .

综上所述，知m 的取值范围是：m=－2或.21≤≤-m

（文科）因为

()()()111

111001101111

ax a x a a a ax a x x x x x --<-?+<-?+

（1）当0a >时，

1

1a x a

-<<； （2）当0a =时，1x <；

（3）当0a <时，1

1a x x a

-<>或.

综上所述，当0a >时，解集为1|1a x x a -??

<

?<>???

?或.

22. （本小题满分14分）

（理科）对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即

x x f x A ==)(|{}，})]([|{x x f f x B ==.

(1)求证：A ?B ；

(2)若),(1)(2

R x R a ax x f ∈∈-=，且A B =≠Φ，求实数a 的取值范围. （文科）已知集合{}

2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，

{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B ≠ΦI ，求实数m 的取值范围．

（理科）证明(1)：若A=φ，则A ?B 显然成立；

若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ?B. 解(2)：A 中的元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根. 由 A ≠φ，知 a=0 或 ??

?≥+=?≠0

410a a 即 41

-≥a .

B 中元素是方程 x ax a =--1)1(2

2

即 0122

243=-+--a x x a x a 的实根，

由A ?B ，知上方程左边含有一个因式12

--x ax ，

即方程可化为0)1)(1(2

22=+-+--a ax x a x ax ，因此，

要A=B ，即要方程0122=+-+a ax x a ①要么没有实根，要么实根是方程

012=--x ax ②的根.

若①没有实根，则0)1(42

2

2<--=?a a a ，由此解得 4

3<

a ； 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.

由此解得 a x 21-

=,再代入②得 ,012141=-+a a 由此解得4

3=a . 综上所述， a 的取值范围是]4

3

,41[-.

（文科）原命题等价于方程组

{

2

21

y x mx y x =++=+在[0,2]上有解， 即2

(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解.

令2

()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1).因此： ①抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有且只有一个交点等价于

2(2)22(1)10f m =+-+≤，所以3

2

m ≤-.

②抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有两个交点等价于22

(1)40,102,2,

(2)22(1)10m m

f m ?=--≥?-?<

=+-+>? 解之得3

12

m -

<≤-. 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．