第三章矩阵对角化、若当标准型
第三章 矩阵的对角化、若当标准型
§3.1 矩阵对角化
线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质
定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。 下面定理1是显然的。
定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。 定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i
λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。
由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关
特征向量的个数。
定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则
rank()i i n n I A αλ=--
证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以
dim dim ()i
i i n V N I A λαλ==-
dim ()i n n R I A λ=--
rank()i n n I A λ=--
例1 求123323001A ??
??=??
??-??
的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解 1
23det()3
2
30
1
I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-
所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。
1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--
2233rank 3331000---??
??=----=??
????
2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--
3233rank 3231005--??
??=---=??
????
定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何
重复度，则i i m α≤。
证明 因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向
量12,,
,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,
,i αεεε扩充为n C 的基
121,,
,,,
i i n ααεεεεε+
设12
1
[]i
i
n P ααεεεεε+=，则
12
1
[]i
i
n AP A ααεεεεε+=
121[,
]i
i
i i i n A A ααλελελεεε+=
121
*[]i
i
i
i
n i
O
ααλλεεεεελ+????????=????????
?
PB =
其中()()
i i n n αα-?-?∈C ，*
i i
i
B O
λλλ?????
??
?=????????
?
。 所以矩阵A 与B 相似，故特征多项式
det()det()n n I A I B λλ-=-
()det()i i i n I ααλλλ-=--?
又因为
det()()()i m n i I A f λλλλ-=-
所以i i m α≤。
二、矩阵的对角化
定义3 设n n A ?∈C ，若A 与对角阵相似，则称A 可对角化，可对角化的矩阵
称为单纯矩阵。
定理 5 设n n A ?∈C ，则A 为单纯矩阵的充分必要条件是A 的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。
证明 设12,,
,σλλλ为A 的全部相异特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的
几何重复度，1,2,
,i σ=。
充分性 因为1
i i m n σ
==∑，i i m α=，所以A 有n 个线性无关的特征向量
12
11122
2
121212,,
,,,,,,,,,
,p p p p p p p p p σ
σσ
σ
ααα 其中12,,
,i
i i
i
p p p α为i λ对应的特征向量，1,2,,i σ=。
设
1
2
1
1122
2
121212[,,
,,,,,,,,,
,]P p p p p p p p p p σ
σσ
σ
ααα= 则
1122diag[,
,,,
,,
,,
,]AP P σσλλλλλλ=
故
11122diag[,,,,,,,,,]A P P σσλλλλλλ-=
必要性 设A 与12diag[,,,]n μμμ相似，则12,,,n μμμ是A 的特征值，不妨
设
1
2
11122diag[,
,,,
,,,,
,]m m m A P P σ
σσλλλλλλ-=
则A 关于特征值i λ至少有i m 个线性无关的特征向量，即i i m α≥，又由定理4：
i i m α≤，故得i i m α=，1,2,
,i σ=。
由定理5的证明显然有下面的结论。
推论1 设n n A ?∈C ，则A 为单纯矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
推论2 设n n A ?∈C ，若A 有n 个不同的特征值，则A 为单纯矩阵。
三、正规阵及其对角化
定义4 设()n n n n A ??∈C R ，如果H H A A AA =，则称A 为复（实）正规阵。
显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。
定义5 设,()n n n n A B ??∈C R ，若()n n n n U ???∈U E ，使得
H A UBU =（T A UBU =）
则称,A B 酉（正交）相似。
引理1（司楚尔（Schur ）引理） 设n n A ?∈C ，则n n U ??∈U ，使得H A URU =，
其中R 是上三角阵，且R 的对角线为A 的特征值。 证明 用归纳法 当1n =时，命题显然。假设n m =时命题成立，要证1n m =+时命题也成立。
设(1)(1)m m A +?+∈C ，1λ为A 的特征值，1u 为其对应的特征向量，且1||||1u =。将
1u 扩充为1m +C 的标准正交基
121,,
,m u u u +
记1121[]m U u u u +=，则
[]H 1H H
2111
2
1H 1m m u u U AU Au Au Au u ++??????=????????
11B O
A λ??=????
因为1m m A ?∈C ，故由假设1m m V ??∈U ，使得H
1111A V RV =，其中1R 为上三角阵。所
以
1
H
1
1H 111B U AU O V RV λ??=????
11H 11111O BV O O V O
R O V λ??????
=????????????
所以
1
1H
1111111H O BV O A U U O V O
R O V λ??????=???
?????????
记111O U U O V ??=????，1
11BV R O
R λ??
=???
?
，则 (1)(1)m m U +?+∈U ，且H A URU =
其中R 为上三角阵。
因为A 与R 酉相似，故A 与R 有相同的特征值，所以R 的对角线元素为A 的特征值。
推论3 设n n A ?∈C ，则n n U ??∈U ，使得H A URU =，其中R 是 下三角阵，且
R 的对角线为A 的特征值。
定理 6 设n n A ?∈C ，则A 为正规阵的充分必要条件是n n U ??∈U ，使得
H A U U =Λ，其中12diag[,,
,]n λλλΛ=，12,,
,n λλλ是A 的特征值。
证明 必要性 由司楚尔引理n n U ??∈U ，使得
H A URU =，111212220
n n nn r r r r r R r ??
???
?=????????
且R 的对角线为A 的特征值12,,
,n λλλ。
因为
H H H H H H AA URU UR U URR U ==
H H H H H H A A UR U URU UR RU ==
所以H H RR R R =， 即
1112111
222122212000000n n nn n
n
nn r r r r r
r r r r r r r ????
???????????????????????? 111112
1122222212000000
n n n
n
nn nn r r r r r r r r r r r r ????????????=????????????????
比较此式两端即得12diag[,,,]n R λλλ=Λ=。
充分性 H A U U =Λ，故H H A A AA =。
推论4 正规阵是单纯矩阵。
推论5 正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。
证明 由定理6知A 酉相似对角阵，故A 的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。
推论 6 设A 为正规阵，其特征值为12,,
,n λλλ，则H A 的特征值为
12,,,n λλλ。
证明 因为A 为正规阵，所以n n U ??∈U ，使得
12diag[,,
,]H n A U U λλλ=
所以
12diag[,,
,]H H n A U U λλλ=
即H A 的特征值为12,,,n λλλ。
推论7 设A 为正规阵，则A 为Hermite 矩阵的充分必要条件是A 的特征值都是实数。
证明 由推论6，若H A A =，则A 的特征值为实数。反之若A 的特征值为实数，则H A A =。