《含高考14套》江西省上饶市横峰中学2021届高考数学全真模拟密押卷含解析

江西省上饶市横峰中学2021届高考数学全真模拟密押卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 的通项公式是2

21sin 2n n a n π+??

=

???

，则12312a a a a +++???+=（ ）

A ．0

B ．55

C ．66

D ．78

2．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若

,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）

A ．

6

π

B ．

3

π C ．

2

π D ．

23

π 3．要得到函数()sin(3)3

f x x π

=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）

A ．向右平移3

π

个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π

个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π

个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13

倍 D ．向左平移

6

π

个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 4．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ?=，则2x y +=（ ）

A ．1

B ．2

3

-

C ．13

-

D ．34

-

5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，

…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *).

若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x -

B ．2sin x -

C ．2cos x

D ．2sin x

6．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18

B ．0.3

C ．0.24

D ．0.36

7．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，

()11

2x

f x ??

=- ???

，则()3log 2a f =，b f ?=- ?，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．b a c >>

D ．c b a >>

8．已知函数2

()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t

+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+

D ．(],112ln 2-∞-+

9．设命题p:n ?>1,n 2>2n ,则?p 为（ ） A ．21,2n n n ?>> B ．21,2n n n ?≤≤ C ．21,2n n n ?>≤

D ．21,2n n n ?>≤ 10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<

B ．()()0.6

3(3)2log 13f f f -<<-

C ．()()0.6

3

2log 13(3)f

f f <-<- D ．()()0.6

3

2(3)log 13f

f f <-<-

11．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x

=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则

a 的取值范围为（ ）

A ．(]0,e

B ．10,

2e ?? ???

C ．(),e +∞

D ．10,

e ?? ???

12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱

11B C 上任意一点，则2PM 的最小值为（ ）

A ．

22

B ．2

C ．3

D ．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是__． 14．命题“20210x x x ?<-->，”的否定是______．

15．动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，直线AB 过(4,0)且交点P 的轨迹于,A B 两点，则以AB 为直径的圆必过_________.

16．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin cos 1A A -=，2a =，则ABC ?的面积的最大值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：

（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ．

18．（12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知1C ：

2220x y y +-=，2C 36x y +=，3C ：()00kx y k -=>.

（1）求1C 与2C 的极坐标方程

（2）若1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，OA OB λ=，求λ的最大值.

19．（12分）已知正实数a b ，满足4a b += . （1）求

14

a b

+ 的最小值. （2）证明：2

2

1125

2

a b a b ????+++ ? ??

??? 20．（12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC=BC=2，∠CBB 1=3

π

，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．

（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形； （2）求二面角E-B 1C-A 1的平面角的余弦值．

21．（12分）如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ，中心都在坐标原点，且椭圆1C 与2C 的离心率均为

3

2

． （Ⅰ）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；

（Ⅱ）过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB ?的面积取最大值时，求两直线MA ，MB 斜率的比值.

22．（10分）已知数列{}n a 满足：对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++. （1）若23692a a a a +++=，求18a 的值； （2）若{}n a 是等比数列，求{}n a 的通项公式；

（3）设k *∈N ，3k ≥，求证：若123,,,k k k a a a +++???成等差数列，则12,,,k a a a ???也成等差数列.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解析】 【分析】

先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+??

???

的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入

12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+?????

?=+=+==-

? ? ??????

?，

当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+???

?=+==

? ????

?

所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2

n a n =，

所以12312a a a a +++???+

22222212341112=-+-+-???-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+???+-

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+???++- 12341112=++++???++ 121+122

?=

（）

78= 故选：D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，

2、D 【解析】 【分析】

由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解． 【详解】

将OC mOA nOB =+平方得2212cos m n mn AOB =++∠，

222211()2331

cos 1122222()

2

m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-

+? （当且仅当1m n ==时等号成立），

0AOB π<∠<，

AOB ∴∠的最小值为

23

π

， 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题． 3、D 【解析】 【分析】 先求得()'

f

x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.

【详解】 依题意()'

553cos 33cos 33sin 33626f

x x x x ππππ????

???

?=+

=+-=+ ? ? ????

??

?????3sin 363x ππ????=++ ???????

，所以由()sin(3)3

f x x π

=+向左平移6

π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.

故选：D 【点睛】

本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 4、C 【解析】 【分析】

由题可0,12AD AB AC AD ?=?=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案

【详解】

由BD xAB yAC =+，则

(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++?=?++=+?+?，即412y =，

所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233

x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】

此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 5、D 【解析】 【分析】

通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】

由题可知：()sin f x x x =

所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-

()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+???

所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+

()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+

由201945051,202145063=?-=?- 所以()20192019sin cos f x x x x =--

()20212021sin cos f x x x x =+

所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】

用，属中档题. 6、B 【解析】 【分析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】

由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为

0.50.20.20.40.30.40.3P =?+?+?=．

故选：B ． 【点睛】

本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 7、C 【解析】

∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．

∵当x≥1时，()112x

f x ??=- ???

为减函数，∵f （log 32）=f （2-log 32）= f （923

log ）

且

12

-=34，log 34＜923log ＜3，∴b ＞a ＞c ，

故选C 8、C

【解析】 【分析】

先求导得221

()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程

2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据?，12x x +，12x x ?，求出a 的取值范围，而

()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数

51()1ln(2)048h a a a a ?

?=-

--<< ??

?，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】

由题可得：221

()ax x f x x

-+='（0x >），

所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，

于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ?

??=->?

?+=>??

?=>??

解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+????

因为()()()12122f x f x x x +-+()2

2

11122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+

()()()21212121223ln a x x x x x x x x ??=+--++??5

1ln(2)4a a

=---.

设51()1ln(2)048h a a a a ?

?=-

--<< ??

?， 2

54()04a h a a -'=

>，故()h a 在10,8??

???

上单调递增， 故1()112ln 28h a h ??<=-+ ???

， 所以112ln 2t <-+，

所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 9、C 【解析】

根据命题的否定，可以写出p ?：2

1,2n

n n ?>≤，所以选C.

10、C 【解析】 【分析】

根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由

0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．

根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.6

332

2log 13log 273<<<=，

又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.6

3

2log 133f f f <-<-，故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 11、B 【解析】 【分析】

由题意可将方程转化为

ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln x

t x x

=，()()0,11,x ∈+∞，进而将方程转化为

()()220t x t x a +-=????????，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.

【详解】

由题意知方程()()f x g x =在()

()0,11,+∞上恰有三个不相等的实根，

即2

4ln 22ln ax x ax x x

-=-，①.

因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x ax

a x x

-=-. 所以方程

ln 4220ln x ax

a x x

--+=有三个不等的正实根. 记()ln x

t x x

=，()

()0,11,x ∈+∞，则上述方程转化为()()

4220a

t x a t x --

+=. 即()()220t x t x a +-=????????，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()2

1ln x

t x x

-'=

，当()()0,11,x e ∈时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0

x →时，()t x →-∞.

当(),x e ∈+∞时，()0t x '

<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.

所以当x e =时，()t x 取最大值1

e

，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e

<<. 故选：B. 【点睛】

本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 12、D