生活中的“斐波那契数列”
2014年温州市小学数学小课题评比
学校：苍南县钱库小学
成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭
指导教师：陈瑞帐
生活中的“斐波那契数列”
——台阶中的数学
一、问题的提出
周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢会不会有什么规律呢于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。
二、研究过程
1.从最简单的做起
该怎样开展研究呢我找了两个好朋友，做合作伙伴。我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。
1个台阶（1种）
2个台阶（2种）
3个台阶（3种）
4个台阶（5种）
……
后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达：
楼梯台阶数及方法楼梯上法表示
一个台阶（1种）（1）
二个台阶（2种）（1，1）（2）
三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1）
四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）
（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）
5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢我们想用这个方法继续进行进去，我尝试着：
六个台阶（13种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）
（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）
（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）
（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）
七个台阶（21种）（1，1，1，1，1，1，1）（1，1，1，1，1，2）（1，1，1，1，2，1）（1，1，1，2，1，1）（1，1，2，1，1，1）（1，2，1，1，1，1）
（2，1，1，1，1，1）（1，1，1，2，2）（1，1，2，2，1）
（1，2，2，1，1）（2，2，1，1，1）（1，2，1，1，2）
（1，2，1，2，1）（1，2，2，1，1,）（2，1，1，1，2）
（2，1，1，2，1）（2，1，2，1，1）（2，2，2，1）
（2，2，1，2）（2，1，2，2）（1，2，2，2）……
2.整理数据，发现规律
这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大，而且很容易出现遗漏或重复。有没有规律呢我们重新整理了数据，发现台阶上法数据之间有关联：
7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法，也就是13+8=21。6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法，也就是8+5=13……
那走台阶的上法是否有规律是否是后一个数都是前两个数的和呢照这样推理，8个台阶数的走法应该是34种呢我决定用数字拆分来进行验证，发现答案完全符合。
于是，很快就算出了走16个台阶的上法共有1597种。
3.深入探究
这种规律是否巧合呢
若规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面走到最上一级台阶，哪又有有多少种不同的走法
一个台阶（1种）（1）
二个台阶（2种）（1，1）（2）
三个台阶（4种）（1，1，1）（1，2）（2，1）（3）
四个台阶（7种）（1，1，1，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）
（1,3）（3,1）
五个台阶（13种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1）
（2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2）（1，1，3）
（1，3，1）（3，1，1）（2，3）（3，2）
六个台阶（24种）（1，1，1，1，1，1）（1，2，1，1，1）（1，1，2，1，1）
（1，1，1，2，1）（1，1，1，1，2）（2，1，1，1，1）
（1，1，2，2）（2，1，1，2）（2，1，2，1）（2，2，1，1，）
（1，2，2，1）（1，2，1，2）（2，2，2）（1，1，1，3）
（1，1，3，1）（1，3，1，1）（3，1，1，1）（1，2，3）
（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）（3，3）
……
我们同样尝试整理这些数据，发现此时台阶上法数据之间也有关联：
6个台阶的走法=5个台阶的走法+4个台阶的走法+3个台阶的走法，也就是24=13+7+4。5个台阶的走法=4个台阶的走法+3个台阶的走法+2个台阶的走法，也就是13=7+4+2。
每个数等于前三个数之和。由此依次可以推出7个台阶的走法=6个台阶的走法+5个台阶的走法+4个台阶的走法=47。8个台阶的走法=7个台阶的走法+6个台阶的走法+5个台阶的走法=84
……
4.寻找理论依据： 1）.斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子据载首先是由9世纪法国数学家吕卡将级数1,1,2,3,5,8,13,21,34，……命名为斐波那契级数。 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
通项公式为：
台阶数 1 2 3 4 5 6 …… 台阶上法 1
2
4 7
13
24
……
7=4+2+1 13=7+4+2 24=13+7+4
台阶数 (8)
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 ……
台阶上法 …… 84 155 286 525 966 1777 3268 6011 11056 20335 3740
2
……
2）.杨辉三角：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8……
5.斐波那契数在生活中的应用
我们去图书馆查找，网上搜索，咨询老师，收集到有关斐波那契数在生活中的应用。
植物中的斐波那契数
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盏草
21………………………紫宛
34，55，89……………雏菊
还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
2）斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列：
它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
3）.【斐波那契数列的应用】
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草,野玫瑰,南美血根草,大波斯菊,金凤花,耧斗菜,百合花,蝴蝶花的花瓣.可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21……
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
三、研究感悟
16级台阶走法居然这么多，走台阶也能用数学方法来解决。原来数学如此美妙，并不像人们平时所说的那么抽象、那么枯燥。其实，只要我们善于观察，多动脑筋，用心去感悟生活，用心去体验、去思考，就会发现：数学就在我们身边，生活中到处都有数学，只需你我去思考！