(完整word版)数学建模-大学生就业问题

2010-2011第二学期

数学建模课程设计

2011年6月27日－7月1日

题目大学生就业问题

第 11 组组员1 组员2 组员3 组员4 姓名

学号 0808060217 0808060218 0808060219 0808060220 专业信计0802 信计0802 信计0802 信计0802 成绩

论文摘要

本文讨论了在新的形势下大学生的就业问题。20世纪90年代以来，我国出现了一种前所未有的现象，有着“天之骄子”美誉的大学生也开始面临失业问题。大学生就业难问题已受到普遍关注。大学生毕业失业群体正在不断扩大，已成为我国扩大社会就业，构建和谐稳定社会的急需解决的社会问题。

本文针对我国现有的国情，综合考虑了高校毕业生的就业率和高校招生规模的扩大之间的关系，建立了定量分析的微分方程模型，随后又建立了了离散正交曲线拟合模型对得出的结果进行了检验，并分析模型得出的结果得合理性。最终得到生源数量与失业率之间的拟合多项式和拟合曲线，并预测出了未来高校招生规模的变化趋势。

在找到大学生失业规律以后，本文还具体的对毕业生的性别、出生地对失业的影响做出了定量分析。

关键词：大学生就业微分方程模型多项式曲线拟合MATLAB软件

1、问题重述

大学生就业问题：如果我们将每年毕业的大学生中既没有找到工作又没有继续深造的情况视为失业，就可以用失业率来反映大学生就业的状况。下面的表中给出了某城市的大学生失业数占城市总失业人数的比率，比率的计算是按照国际劳工组织的定义，对16岁以上失业人员进行统计的结果。

表 1

请建立相应的模型对大学生就业状况进行分析找出其中的规律并讨论下面两个问题：

(1)、就业中是否存在性别歧视；

(2)、学生的出生对就业是否有影响。

2、模型假设

2.1在本次研究中做出以下假设：

(1)、假设毕业生求职时竞争是公平的；

(2)、假设考研等继续深造的毕业生属于已就业人群；

(3)、假设每个毕业生都有就业或者继续深造的意图

(4)、假设就业率和失业率之和为1；

(5)、假设本文搜集的数据全部真实可靠；

2.2 在定量分析性别、出生地对失业的影响时还要做以下假设：

(1)、假设毕业生就业情况只受性别、出生地等因素的影响；

(2)、假设具有上述同等条件的毕业生间就业机会相同

(3)、假设附件中的数据信息均合理；

3、问题分析

3.1 对问题的分析

若要分析新失业群体产生的主要原因，并就其重要性给出各种因素的排序，就需要对搜集的数据进行整理，并进行系统的分析，划分为不同的体系和矛盾，然后我们考虑用Logistic模型分析。

为了得到新失业群体对高校招生生源的影响和预测未来高校招生规模的变

化趋势，我们考虑建立基于微分方程模型和离散正交曲线拟合模型来进行求解，并将结果进行比较。

3.2 对大学生失业群体产生的客观原因分析及其重要性排序

影响高校毕业生就业的主要因素的选取的基础是因素指标体系。由于影响高校毕业生就业的因素有很多方面，而且有些因素具有多方面表现特征，因此对其进行描述，必须借助因素和因素体系。根据科学性原则和定量与定性相结合的原则，我们将影响高校毕业生就业的因素分为高校扩招造成大学生就业市场供需失衡因素、教育结构与产业结构不协调因素体系以及高校毕业生的自身因素体系。

教育结构与产业结构不协调因素体系是由于我国高等教育生产规模不断扩大，但不符合教育规律的压缩式追求低成本造成教育资源结构失调，表现在两方面：

(1)、学科与专业的结构失衡，即学科结构和专业结构与社会经济结构不相适应。表现为：有些学科和专业人才的过度教育；有些学科和专业人才的教育资源配置不足目前我国高等教育的学科与专业设置基本上由各个学校自主决定，学校出于经济效益和学校发展需要，主要考虑的因素是市场行情，而市场调节的盲目性和滞后性使得不同专业稀缺程度的变化与经济结构转换的需求变化不同步，致使许多热门应用学科类专业低水平重复现象严重，并冲击专业教学的质量，造成这些专业的毕业生结构性过剩。从学科专业设置的历史沿革看，许多高校的学科专业建设更多是以学科自身内在逻辑的发展为依据和基础，而较少参照现实社会经济建设和发展领域的需要。当社会经济结构特别是产业结构的变化迅速，高等教育结构未能迅速地做出相应的调整，其培养的人才则不能满足社会和劳动力市场的需要，因此产生了知识性失业与职位空缺的矛盾。

(2)、层次结构失衡，即高等学校的学历学位教育层次比例及构成与经济社会发展的需求结构不匹配，出现了职业刚性失业和职位空缺并存的现象。在我国目前的高等人才培养中，社会需求存在对学历教育的“符号效应”，即对能力的需求不如对学历的要求。而从需求看，社会对各级人才的需求结构呈“金字塔型”。社会不仅需要从事高深学问研究和创造发明的学术性人才，更需要把现有科技转化为现实生产力和产品的大批熟练工人和技术人员。因此，教育供给应该在专科、本科和研究生教育的数量上形成合理的比例。然而，整个教育层次的扩招和缺乏鲜明特色的学科内容，不仅使得这种比例开始失调，而且造成各层次的毕业生不能达到应有的质量要求。同时，替代性增加，引发了就业市场中的“挤占效应”。即博士研究生挤占硕士研究生位置，硕士研究生挤占本科生位置，本科生挤占专科生位置，专科生又因为其质量不高、特色不鲜明而找不到位置。

4、模型建立

4.1微分方程模型

因为高校毕业生的就业率和招生人数都可视为随时间动态变化， 所以我们考虑通过建立微分方程模型去认识和解决有关毕业生就业和计划招生规模的实际问题。为此， 我们做出如下的基本假设：

(1)高校毕业生就业人数的变化率与毕业生的综合素质(如品学表现)和社会的需求呈正的线性相关。

(2)部分毕业生的主客观原因(比如，没有顺利完成学业，或者想继续报考研究生，或者就业意识淡薄，就业观念差，对自己估计不足等)影响了自身的就业，因而对毕业生的就业产生了阻滞作用。

(3)高校当年的计划招生人数与毕业生总人数成正比，比例系数为c 。其中假设(2)借鉴了人口增长阻滞模型[中的“阻滞”的思想。

我们引入如下符号：

()N t ：时刻t 高校毕业生的总人数，()0N t >；

()M t ：时刻t 高校计划招生的总人数，()0M t >；

()r t ：时刻t 毕业生的就业率(即：就业人数/毕业总人数)，0()1r t <≤； ()R t ：时刻t 社会对于毕业生的需求率(即：需求人数/毕业生总人数)。

记00()r t r =与00()M t M =分别为时刻0t 的高校毕业生就业率与高校招生人数。

很明显，对于需求率()R t 而言，我们有：当()1R t <时， 毕业生供大于求；当()1R t =时，毕业生供求平衡；当()1R t >时，毕业生供不应求。由于社会的劳动力需求是与国家的经济运行情况正相关的，故我们这里的需求率()R t 还反映了社会经济发展的GDP 速度。 4.2 基本微分方程模型的建立

首先，根据模型的假设(1)和(2)，我们有：

()(1)[()()]drN

rN R t N r N dt R t r N

αλμλαμμ=+--=++- （1）

其中的比例系数λ，α与μ分别与需求人数，就业人数和未就业人数有关，故分别称为需求因子，就业因子与阻滞因子。在本文中，我们均假设0αμ+>。

其次，根据模型的假设(3)，将方程(1)的两边同乘系数c ，我们得到

()(1)[()()]drN

rM R t M r M dt R t r M

αλμλαμμ=+--=++- （2）

于是，根据方程(1)，当毕业生的总人数为常数时，我们得到高校毕业生的就业率满足一阶线性微分方程模型：

00()[()]

()dr

r R t dt r t r αμμλ?=+--???=?

（3）

最后，又根据方程(2)，当毕业生的就业率为常数时，我们得到高校计划招

生的总人数满足一阶线性微分方程模型：

001{[()]()dM

R t dt

r M t M αμμλ?=+--?

??=?

5、模型求解

为方便模型(3)和(4)的求解，我们假设在模型(3)和(4)中社会对于毕业生的需求率是常数(此时记为R)。 5.1 研究毕业生的失业率

模型方程(3)有解(即失业率)为：

()()()0

1a t

c

c

r t e

r r r

μ+=--- (5)

其中c a R

a r λμ+=+是模型(3)的不稳定平衡点(失业率)。我们有以下结论：

当0c

r >时，这表明：只要影响毕业生失业的因素较大(或者社会对毕业生

的需求量较小)，就存在着不稳定的毕业生失业率；

当1c r →时，这表明：只要影响毕业生失2业的因素非常大，就会出现不稳定的低失业率。

当0c r r <时，这表明：只要不稳定的失业率低于初始的失业率，就有毕业生的失业率超过不稳定的失业率c

r 。

进一步可知，毕业生的失业率达到0所需要的时间为：

1

ln c c t a r r r μ=

+- (6)

故当R →∞(供不应求)时，有0t →，这表明：需求率越大，达到低失业率

的时间越短； 当μ→0时，有1t a →ln 0R R a r λλ-，由此可见，即使阻滞因子很小，达到低失业率也需要一定的时间。 5.2 研究高校的招生规模

我们有方程(4)的解(即高校计划招生的总人数)为：

()0

c a t r r r M t e

M

μ?

?

+ ?- ?

?

?

= (7)

因此，我们有以下结论：

当c r r <时，有()(1)M t M t <-，表明：高校招生总人数规模宜降低； 当c r r =时，有()(1)M t M t =-，表明：高校招生总人数规模宜保持不变； 当c r r >时，有()(1)M t M t >-，表明：高校招生总人数规模宜扩大。当R λμ>时，有0c r <和()(1)M t M t >-，此时高校招生总人数规模宜扩大。

总之，高校应当按照毕业生的失业率或者社会对于毕业生的失业率去确定其计划招生的规模。

6、模型分析及改进

6.1 模型分析

如果在模型的假设(3)的基础上，将高校招生人数的相对变化率按照毕业生

的失业率去进行调整，即()dM

r M dt β=，其中的比例系数()r β为r 的函数，那么

就有()dN

r N dt β=，再由(1)知高校毕业生的失业率满足一阶非线性微分方程模型：

()()()0

0[][]

dr

a r r R t dt r t r μβμλ?=-+---??

?=? (8)

特别地，当取()0R t R =和()0r ββ=时，只要0a βμ>+，0R λμ>，方程(8)

就有惟一稳定的平衡点(失业率) 00

01s a R

r a βλβ

μ

--=<--，且0s r =的充要条件是：

00

a

R

βλ

-=

。 这表明：在招生规模扩大和需求率较大的条件下，将会得到稳定的失业率。

如果进一步将模型的假设（3）改进为高校当年计划招生的人数相对于毕业生人数的变化率，按照其毕业生的就业率去进行调整，则有()1dM

r N dt β=，其中的比例系数()1r β为r 的函数，并且还注意到毕业生的人数为τ年前(通常取

4τ=的招生人数，即()()N t M t τ=-，从而就有高校计划招生的总人数满足一阶

线性时滞微分方程模型：

()()()100dM

r M t dt M t M βτ?=-??

?=?

(9)

又由d N d M

d t d t =和(1)知，高校毕业生的失业率仍满足模型(8)，只不过

()()1r r ββ=。对于()110r ββ=>和()0R t R =均为常数的情形。由于微分方程

(6-2-9)的特征方程1e γτ

γβ=有无穷多个根，故我们可利用Taylor 展开

()1e γτγτογτ=++将其改写成近似的二次方程()11γγτβ+=，在舍去负根后，得

到正根1γ=，从而就有：

11min 1βγ?-<< ?

(10)

以及方程(9)的特解()100t t

M t M e M e βγ=<，这表明高校扩大招生人数规模的

实际增长率γ应低于相对变化率1β。又由于有

001R R a a λμλμ

βμγμ--<

----

故如果按照实际的γ去扩大招生规模(招生人数为：0t

M e γ)将会有利于降低模型(8)的稳定失业率。

随着我国高等教育质量的不断提高，经济发展新情况的出现和国家就业政策的调整，社会对毕业生的需求将发生较大的波动。如果在模型的假设（3）的基础上，将高校招生人数的相对变化率按照社会对毕业生的需求率去进行调整，那

么就有：()2dM

R M dt β=，其中的比例系数()2R β为

R 的函数。再由(1)知高校毕

业生的就业率满足一阶非线性微分方程模型：

()()()200dr

a R r R dt r t r μβμλ?=-+-+-??????

?=?

(11)

特别地，当取()0R t R = ，()()200R R βδδ=>时，只要R λμ>,0R a δμ>+，方程

(11)就有稳定的失业率0

0s R r R a λμ

δμ-=>--，且出现低失业率0s r =的充要条件是：

需求率0a

R δλ=-，δλ>。而当λδ=时，只要0R →∞，就有1s r →，这表明当需

求率充分大时，可得到稳定的低失业率。

如果将模型假设（3） 改进为高校当年计划招生人数相对于毕业生人数的变

化率按照社会对毕业生的需求率去进行调整，即有()3dM

R N dt β=，其中比例系数

()3R β为

R 的函数，且注意到毕业生的人数为τ年前(4τ

=)的招生人数，即

()()N t M t τ=-，那么可得到高校计划招生的总人数满足一阶线性时滞微分方程模

型：

()()()300dM

R M t dt M t M βτ?=-??

?=?

(12)

对方程(12)的讨论类似于(9)，结果是：对于()0R t R =和()33R ββ=为常数的情形，模型方程(12)的特征根满足

1min 1βγ?-<< ?

(13)

这表明扩大招生人数规模的实际增长率γ应低于相对变化率

3β，而且按照

实际增长率γ去扩大招生规模(招生人数为：0t

M e γ)也必将会有利于降低(11)的稳定失业率。

最后，我们研究高校毕业生就业率和招生人数规模数学模型的一般化。如果将模型的假设（3）改进为高校当年计划招生人数相对于毕业生人数()M t 的变化率综合按照当年的就业率

()r t 和未来τ年(如取4τ=)社会对于毕业生的需

求率()R t τ+去进行调整，即：()()(),dM

r t R t N dt βτ=+，其中比例系数(),r R β为r

和

R

的函数，且注意到毕业生的人数为τ年前的招生人数，即()()N t M t τ=-，那

么我们有高校计划招生的总人数满足一阶线性时滞微分方程模型：

()()()()()00,dM

r t R t M t dt M t M βττ?=+-??

?=?

(14)

又由dN

dM dt

dt

=

和(1)知，高校毕业生的就业率满足一阶非线性时滞微分方程模型： ()()()()00,dr

a r R t r R t dt r r r μβτμλ???=-+-++-????????

?=?

(15) 6.2定量分析

在上文中已经建立和定性分析了关于高校毕业生就业率的如下微分方程模型

00()[()]

()dr

r R t dt

r t r αμμλ?=+--???=?

（1）

其中()r t 表示t 时刻毕业生的就业率(即:就业人数/毕业生人数,0()1r t <≤)；

()R t 表示t 时刻社会对于毕业生的需求率(即:需求人数/毕业生人数)。

因为在实际调查中需求率是难以完整统计的,所以我们应根据这种实际情况将模型(1)进行相应修改,不把需求率考虑进去,于是我们有下面的微分方程模型：

00()()dr

r u

dt

r t r αμ?=+-???=?

（2）

其中比例系数α与μ分别与就业人数和未就业人数有关。以下均假设

0αμ+>。

在本文中,我们的主要目的是通过调查实际数据计算出参数α、μ，从而给出与（2）相应的微分方程定量模型，并做出定量的分析。

参数α、μ的计算方法如下 :

设高校招生人数，毕业生人数与就业率的数据如表6.2.1所示。

表6.2.1历年全国高校招生人数和失业率

年份（t ） 招生人数/万人(M ） 毕业人数/万人(N ）

就业率/%(r ）

2001 268.28 114 0.9 2002 320.51 145 0.8 2003 382.17 212.2 0.7 2004 447.34 254 0.73 2005 504.46 326 0.726 2006 548.58 413 0.72 2007 567.36 479 0.71 2008 599 559 0.7 2009

629

611

0.68

（该数据来自中华人民共和国人力资源和社会保障部）

将

()dr

r u dt

αμ=+-进行差商近似处理，再根据最优平方逼近法我们得到

11()i i

i i i

r r r t t αμμ++-=+--

（3）

为确定参数α、μ，不妨设,x y αμμ+==则方程（3）化为：

110i i

i i i

r r y r x t t ++--+

=-

（4）

记 1111(,)()n i i

i i i

i r r s x y y r x n t t ++=-=-+

-∑，将数据代入0,0s s x y ??==??可得方程 1111

11111

1()01()()0n i i i i i i n

i i i i i i i r r y r x n t t r r y r x r n t t +++=++++=-?

-+=?-??-?-+?-=?-?∑∑ （5）

由方程（5）便可解出,x y ,从而确定出参数α、μ，得到相应的微分方程定量模型。

我们根据参考文献[13]得到参数为：0.25,0.1αμ==进而微分方程化为

(0.250.35)0.25

(2001)0.7dr

r dt

r ?=+-???=?

0.25(0.35)(0)480dM

M dt

r M t ?=+?

??=?

求的解析解为：

0.35()0.0120.174t r t e =+

0.35

(0.714)0()t

M t e

M γγ

-=

6.3 离散正交曲线拟合模型 6.3.1离散正交多项式

定义1 如果两个多项式()P x ，()Q x 满足

()()0m

i

i

i P x Q x ==∑

则称()P x 与()Q x 在点集01{,,,}m x x x ???上是离散正交的。设01{(),(),,()}n P x P x P x ???为多项式，k P 为k 次多项式，如果满足

00()()()0()m

j i k i i j k P x P x Ak j k =≠?=?>=?

∑ （5-15）

则称01{(),(),,()}n P x P x P x ???为点集01{,,,}m x x x ???上的离散正交多项式系。

对于给定的节点01{,,,}m x x x ???，可以按下列公式构造离散正交多项式系

01{(),(),,()}()n P x P x P x n m ???≤

011011()1()()(()(1)()()(1,2,3,,1)k k k k k P x P x x P x P x x P x P x k n ααβ+-=?

?

=-?

?=-+-=???-?

） （5-16）

其中

2

112

()(0,1,2,,1)(0,1,2,,1)()(0,1,2,,)

m

i k i i k k k

k k m

k k i i x P x k n k n P x k n αγγβγγ=+-=??

?==???-?

??==???-??

?==????

???

∑∑ （5-17）

这样的()P x 的首项系数为1的k 次多项式。

定理2 由式（5-16），（5-17）构造的多项式系01{(),(),,()}n P x P x P x ???为点集

01{,,,}m x x x ???上的离散正交多项式系。

6.3.2用离散正交多项式作曲线拟合

设(,)(0,1,,)xi yi i m =???为给定数据01{(),(),,()}n P x P x P x ???为点集{}i x 上的离散正交系，Φ为由其所有线性组合生成的多项式集合，

01{(),(),,()}n Span P x P x P x Φ=???。用正交多项式进行最小二乘曲线拟合，亦即求

()()n k k k P x a P x ==∈Φ∑使其满足2

2000

[()][()]min m m n

i i k Q P xi yi ak k xi yi ?====-=-=∑∑∑利

用多项式系01{(),(),,()}n P x P x P x ???的离散正交性易知，此时法方程组为：

2

20000

022

11100

2200()()()()()()m m i i i

i i m m

i i i i i n m

m n i n i i i i P x P x y a P x P x y a a P x P x y ======????

????

????

??????????????=????

???????????????

?????????????????

???

∑∑∑∑∑∑ 其解显然为

2

()()(0,1,,)()

m

m

k

i

i

k

i

i

i i m

k

k

i i P x y P x y

ak k n P

x γ====

=

=???∑∑∑

（5-21）

所以，容易得到拟合多项式

0()()n

k k k P x a P x ==∑

且其偏差平方和

2

2

20

[()]m

m

n

i k k i i k Q P xi yi y a γ====-=-∑∑∑

最后可得所求的拟合多项式

0011()()()()n n y P x a P x a P x a P x ==++???+

同样我们利用表6.2.1的数据，采用上述原理和算法进行拟合，得到拟合多

项式的系数如下：

表 6.3.2离散正交曲线拟合系数

系数 0α 1α 2α 3α 求得结果 67109500

-5.9E+07

17186619

-1667018

并且得到离散正交拟合曲线图6.3.2如下：

失业率

生源

离散正交拟合曲线

图6.3.2离散正交拟合曲线

由上图可知，预测到下一年的失业率，即可以根据拟合多项式计算出合理生源数量，进而对高校招生进行指导。

7、模型的评价

7.1 模型的优点：

(1)、Logistic 模型能够很好的确定自身因素对于失业的影响，并能够确定自身因素中的主要因素。

(2)、微分方程仿真模型可以很好的定性分析失业对于大学招生生源的影响，并能预测大学招生生源的变化趋势。 7.2 模型的缺点：

(1)、在建模的过程中没有考虑经济、政治等因素对就业率的影响，因此模型在一定程度上具有一定的局限性；

(2)、微分方程模型只能对问题进行定性而非定量的分析。

8、定量分析性别、出生地对失业率的影响

8.1最小二乘拟合

最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。

8.2 根据表1做非线性最小二乘拟合

拟合结果为：

8.3 根据拟合图形具体分析

(1)、根据第一个图可知：同为男性时农村的学生失业率高于城市的。

(2)、根据第二个图可知：同为女性时农村的学生失业率高于城市的。

(3)、根据第三个图可知：同为城市的学生时男生的失业率高于女生。

(4)、根据第四个图可知：同为农村的学生时男生的失业率高于女生。

8.4 分析结果

(1)、就业中存在性别歧视。

(2)、学生的出生对就业有影响。

9、参考文献

[1] 姜启源. 数学模型(第四版). 高等教育出版社165-168

[2] 刘卫国. MATLAB程序设计与应用(第二版). 高等教育出版社. 83-94

[3] 蒋世民. 我国高校毕业生就业问题的研究.清华大学教育研究. 57-61

[4] 曲娜.化存才.高校毕业生就业率的一个微分方程定量模型. 云南大学学报

(自然科学版). 24-26

附件1：离散正交多项式拟合 程序：

结果：

失业率

生源

离散正交拟合曲线

附件2：非线性最小二乘拟合 程序：

结果：