高数习题册答案1-1
习题1.1A （P15）提示（仅供参考）
1．用定义（0n ε-语言）证明： （1）1
lim 1n n
+= 证明：
111n n n +-=，故对0ε?>，欲使1
1n n
ε+-<，只需1n ε<，即1n ε>。
故对0ε?>，取01max ,1n ε????=????????（注意：不能写成01max ,1n ε??
=????，以下几个
类似），当0n n >时有
1
1n n
ε+-< 故1
lim
1n n += （2）sin
lim 0n
= 证明：
sin 1
0n n
-<，故对0ε?>，欲使sin 0n ε-<，只需1n ε<，即1n ε>。
故对0ε?>，取01max ,1n ε??
??=????????
，当0n n >时有
sin
0n
ε-< 故sin
lim
0n
= （3）22
11
lim 22
n n += 证明：222111222n n n +-=，故对0ε?>，欲使22
1122
n n ε+-<，只需212n ε<，
即n >0ε?>，取0max ,1n ????
=??????
当0n n >时有 22
11
22
n n ε+-<
故2211
lim 22
n n += （4）0
=
证明：
-<，故对0ε?>，欲使0ε-<，只需
ε<， 即21
n ε>
。故对0ε?>，取0
21max ,1n ε??
??=????????
当0n n >时有
0ε-<
故0
=
（5）!
lim
0n
n n = 证明：!1210n n n n n n n n -=< ，故对0ε?>，欲使!
0n n n
ε-<，只需1n ε<，即1n ε>。
故对0ε?>，取01max ,1n ε??
??=????????
当0n n >时有
!
0n n n
ε-< 故!
lim
0n n n
= （注意：若用夹逼法：!10n n n n
<
<） （6）()lim 00!
n
a a n =>
证明：[][]0!1211n a a a a a a a
n a a n n ??-= ? ?+-??
，注意到[]1,111a a a n <<+- ，故 []1
0!a n a a n n +-<，，欲使0!n a n ε-<，只需[]1a a n ε+<，即[]
1
a a n ε
+>。
故对0ε?>，取[]10max ,1a a n ε+??????
=??????????
当0n n >时有
0!
n
a n ε-< 故()lim 00!
n
a a n =>
（注意：若用夹逼法：[]
1
0!a n a a n n
+<<
） 2．证明：lim n a a =的充分必要条件是对0ε?>，只有{}n a 的有限多项不在
(),a a εε-+中。
证明：（必要性）若lim n a a =，则0ε?>，0n N ?∈， 0n n >时有n a a ε-<，故至多有0n 项在不再(),a a εε-+中。
（充分性）对0ε?>，只有{}n a 的有限多项不在(),a a εε-+中，不妨设不在
(),a a εε-+中项为12,,k
n n n a a a ，取{}012max ,,k n n n n =（即取不在
(),a a εε-+中项脚标的最大者，故当0n n >时有n a a
ε-<，即lim n a a =。
4.证明若lim n a a =，则lim n a a =。反之不一定，举例说明。但若lim 0n a =，则有lim 0n a =
证明：由 lim n a a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有n a a ε-<， 故对0ε?>，取01n n = 0n n >时有n n a a a a ε-<-<，故lim n a a =。 反之不一定，例数列{}(1)n -。
由lim 0n a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有0n a ε-<。 故对0ε?>，取01n n = 0n n >时有00n n a a ε-=-<，故lim 0n a =
5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=
5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=
证明 若0a =，
由 lim 0n a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有
20n a ε-<
故对0ε?>，取01n n = ，当0n n >时有
0ε<
故
0==若0a ≠，则由极限的保号性得0a >。
由 lim n a a =，有对0ε?>，2n N ?∈，2n n >
时有n a a -< 故对0ε?>，取02n n = ，当0n n >时有
ε=
<
<
故
=6证明：若lim 0n a =，{}n b 有界，则lim 0n n a b = 证明：{}n b 有界，故可设n b M <
由lim 0n a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有0n n a a M
ε
-=<
故对0ε?>，取01n n = 当0n n >时有0n n n a b M a ε-≤<，故lim 0n n a b =。 7．若lim 0n n a b =是否一定有lim 0n a =或lim 0n b =。 解：否。例sin
2n n a π=，cos 2
n n b π= 8（1）设{}2k a ，{}21k a +均收敛，问{}n a 是否必然收敛。 解：否，例{}(1)n -。
（2）设{}2k a ，{}21k a +满足221lim lim k k k k a a a +→∞
→∞
==，则lim n n a a →∞
=。
证明：由2lim k k a a →∞
=，则有对0ε?>，1k N ?∈，1k k >时有2k a a ε-<
21lim k k a a +→∞
=，则有对0ε?>，2k N ?∈，2k k >时有21k a a ε+-<
故对0ε?>，取{}012m a x 221n k k =+，（注意0n 不能取{}12max k k ，，当0n n >时有n a a ε-<，故lim n n a a →∞
=。
（3）设()1l
i m 0n n n a a +→∞
-=
，{}2k a ，{}21k a -收敛，这时能否保证{}n a 一定收敛？
解：能。不妨设21lim k k a a -→∞
=，由()1lim 0n n n a a +→∞
-=有()212lim 0k k n a a +→∞
-=，故
()221212lim lim k k k k k k a a a a ++→∞
→∞
=--????()21212lim lim k k k k k a a a a ++→∞→∞
=--=
即221lim lim k k k k a a a +→∞
→∞
==，故由8（2）{}n a 一定收敛.
9证明：若单调数列{}n a 有收敛子列，则{}n a 证明：不妨设{}n a 是单调增的。设子列{}k
n a （也是单调增的）收敛于a ，
从而对0ε?>，0k N ?∈，0k k >时有
k n a a ε
-<
对0ε?>，取00k n n =，当0n n >时有n a a ε-<，故lim n n a a →∞
= 10.求极限
（1）22452lim 322
n n n n ++++
解2
2452lim 321n n n n ++++2
25244lim
2133n n n n
+
+==++ (2)
lim
解
lim
=
1
2==
(3) lim 1n ?
???
解：lim 1n ???
?
1lim 1n
????=
32
32
11lim 11n ?????++??????=????++????
（公式1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++
4
32
1
lim
11n -??
=????+???
?
32
1
1
lim
4
1==
????
++????
(4) 222
333
13(21)lim n n n n -+++
解：6)12)(1(212
22++=
+++n n n n ， 6
)14)(12(2)2(212
22++=+++n n n n
6
)
12)(1(4
)21(4)2(42222222++=+++=+++n n n n n
222222222)2(42()2(21)12(31n n n +++-+++=-+++
6
)
12)(1(46)14)(12(2++-++=n n n n n n
故222
33313(21)lim n n n n -+++ 32(21)(41)4(1)(21)
466lim 3
n n n n n n n ++++-== （5）112
lim(1)(1)(1)36(1)
n n ---
+
解 由 )1()
2)(1()1(21++-=+-
n n n n n n ，有112(1)(1)(1)36(1)
n a n n =---
+
142536(2)(1)(1)(2)2
233445(1)(1)3n n n n n n n n n n
???-+-++=
?????=
???-+ 11221
lim(1)(1)(1)lim 36(1)33
n n n n +---==+
（6）222111lim 11123n ??????
--- ??? ???????
解 由22)
1)(1(11n
n n n +-=-
，有22222222
111132435(2)(1)(1)111123234(1)2n n n n n n a n n n n ???--++?
?????=---=?????= ??? ?-??????
22211111lim 111lim 2322n n n +?
?????---== ??? ???????
（7）11
lim
123(1)n n n
--+-+- 解1
1lim 123(1)n n n --+-+- 1(1)lim 2n n n +-= 1(1)1lim 222
n n -=+=
11求下列极限（夹逼法）
(1)
解
1
1==
，故
1=
（2）见学习辅导“例12（2）” （3
） 解
≤≤
1==
1=
（4）222
12lim 12n n n n n n n n ??
+++
?++++++??
解22222
11(1)(1)
1222121
n n n n n
n n n n n n n n n n n n ++<+++<++++++++++ ，
又22
11(1)(1)
1
22lim im 21
n n n n n n n n n ++==++++，故222121lim 122
n n n n n n n n ??+++= ?++++++??
12 设令12,,,m a a a
都是非负实数，证{}12max ,,,m a a a =
解：不妨设{}112max ,,,m a a a a =
=
≤
1a ===，
故{}112max ,,,m a a a a ==
13 求lim n a （必须先证明lim n a 存在性再设），其中 （1）见学习辅导“例22” (2) 01a =,1
1
11n n n a a a --=+
+
解：有界性：221
11<+
=a ，设2 =+k k k k k a a a a a 单调性：显然001>-a a ，设01>--k k a a ，则0) 1)(1(11 1>++-= ---+k k k k k k a a a a a a 求极限：设lim n a a =，由1 111--++=n n n a a a 取极限得11a a a =++ ，解出12a += （3）见学习辅导“例25” （4）10a c =>，13(1) 3n n n a a a ++= + 解 有界性：33) 3(33)1(3011=++=<++= <++n n n n n n a a a a a a 单调性：) 3)(3() (63)1(33)1(311111----+++-=++-++= -n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ) 3()3)(3() (621231a a a a a n n n +++-==-- ) 3)(2(32 23c c c a a ++-=-，若33 求极限：设lim n a a =，由13(1) 3n n n a a a ++=+得3(1)3a a a +=+ ，故a = 15 试判断数列{}n a 的敛散性： （1）01n n n a q q ααα=+++ ，其中()1,2,,1k M k q α≤=< ； 解 1212n n n p n p n n n n p a a q q q ααα+++++++-=+++ ()1 1 1 2 111n p n n n n p q q q M q M q M q M M q q +++++-≤++++=≤-- 欲使1 1n q M q ε+<-，只需()ln 11ln q M n n ε?? -?? ??>- 故对0ε?>，取()0ln 1max 11ln q M n n ε??????-????????????=-??? ??????????? ，，当0n n >时，对p N ?∈都有 n p n a a ε+-< 即{}n a 是基本列，故收敛。 （2）1 11(1)123n n a n --=-+++ 证明: 21211(1)1232k k a k --=-+++ 1111 11234212k k ??????=-+-++- ? ? ?-?????? ()22111 02122 k k a a k k +-= ->++ 故{}2k a 是单调增的。又21111111()12345212k a k k ???? =------< ? ?-???? 故{}2k a 也是有界的，故2lim k a 存在，设为2lim k a a =。 212121k k a a k +=+ +，故212001lim lim 21k k k k a a k +→→? ?=+ ?+? ?2001lim lim 21k k k a a k →→=+=+ 由习题1.1（A ）8(2)知道{}n a 收敛。 （3 ）1n a =++ 证明:01 ,3 ε?= ，对n N ?∈，取p n =，则有 2n n a a -= 011112222n n n ε>+++=> 故{}n a 不是基本列，则{}n a 发散。 （4）cos n a n = 解 ()11cos 1cos 2sin sin 22 n n n ??+-=+ ??? 取2 01 sin 2ε?=，对n N ?∈，存在0n n >，且满足()00.120.9n k k Z π<+<∈ 故()0111 0.120.9222 n k k Z π+<++<+∈ 从而()2000111cos 1cos 2sin sin sin 222 n n n ? ?+-=+ > ? ?? 这说明{}cos n 不是基本列，故{}cos n 发散。 16 设lim n a =∞，且()01,2,n b b n ≥>= ，则lim n n a b =∞ 证明：对0M ?>，由lim n a =∞知1n N ?∈使得当1n n >时n M a b > ， 故对0M ?>，取01n n =，当0n n >时n n n a b b a M ≥>，故lim n n a b =∞ 17．求极限 （1）e e n n n n n ==++++ =++ +1) 1 211() 1211(lim )1 211lim(1 22 （2）e n n n n n n n n n n 1) 211() 211(lim )211(1lim )211lim()21lim()2(2 =+-+- =+-=+-=+++--- (3) 11lim(1)2n n +-=+11lim()2 n n n ++=+112lim()1n n n +++1111lim(1) 1 n e n +==++ (4)1lim(1)21n n + =- =习题1.1（B ） 1 O.Stolz 公式 （1）设l i m l i m 0n n a b ==，且{}n b 严格减。若11lim n n n n a a a b b ++?-?=+∞?-?-∞?，则l i m n n a a b ?? =+∞?? -∞ ? 证明：（A ）若11l i m n n n n a a a b b ++-=-，对0ε?>，则存在1n N ?∈使得当1n n >时 112 n n n n a a a b b ε ++--<-，即 ()()11122n n n n n n a b b a a a b b εε+++??? ?--<-<+- ? ????? 从而当1n n >时 ()()11122n n n n n n a b b a a a b b εε+++??? ?--<-<+- ? ???? ? ()()12121222n n n n n n a b b a a a b b εε++++++??? ?--<-<+- ? ?????· ····· ()()11122n p n p n p n p n p n p a b b a a a b b εε+-++-++-+????--<-<+- ? ???? ? 把上式不等式相加的 ()()()22n n p n n p n n p a b b a a a b b εε+++????--<-<+-* ? ????? 其对p N ?∈成立 又lim lim 0n n a b ==，故当p →∞时由()*得当1n n >时有 22n n n a b a a b εε??? ?-≤≤+ ? ????? 故对0ε?>，取01n n =，当0n n >时有 ()()n n n a b a a b εε-<<+即n n a a a b εε-< <+ 从而lim n n a a b =。 （B ）若11lim n n n n a a b b ++-=+∞-，则11lim 0n n n n b b a a ++-=-。由11lim n n n n a a b b ++-=+∞-，故对 0M >，存在0n N ∈，当0n n >时有 11n n n n a a M b b ++->-，即1 1 n n n n a a M b b ++->-， 从而存在0n N ∈，当0n n >时有()110n n n n a a M b b ++->->，即{}n a 严格递减的， 故由11lim 0n n n n b b a a ++-=-可得lim 0n n b a =，即lim n n a b =+∞ （C ）若11lim n n n n a a b b ++-=-∞-，令n n c b =-,利用（B ）可证明。 （2）{}n b 严格增，且lim n b =+∞，若1 1lim n n n n a a a b b ++?-?=+∞?-?-∞?，则lim n n a a b ?? =+∞?? -∞ ? 证明：（A ）若11lim n n n n a a a b b ++-=-，则11lim 0n n n n a a a b b ++--=-， 令1 1 n n n n n a a x a b b ---= --，即lim 0n x =，故对0ε?>，则存在1n N ?∈使得当1n n >时 2 n x ε < 由得1 1 n n n n n a a x a b b ---= --得()()11n n n n n a a x a b b --=++-（使用迭代） ()()()()21121n n n n n n n a x a b b x a b b -----=++-++-= ()() ()()1111111n n n n n n n a x a b b x a b b ++-=++-+++- ()()() 11111111n n n n n n n n n a x b b x b b a b b ++-=+-++-+- 即( )()()()11111 111n n n n n n n n n n a a x b b x b b a b b ++-=+-++-+-* ()*两边除以n b ，再同时减去a 得 11111111n n n n n n n n n n n n x b b x b b a ab a a b b b ++--++---≤+ 故当1n n >时 1111122 n n n n n n n n n n n a ab b b a ab a a b b b b εε----<+<+ 又lim n b =+∞，则存在2n N ?∈使得当2n n >时 11 2 n n n a a b b ε -< 对0ε?>，取{}012max ,n n n =使得当0n n >时 n n a a b ε-< 故lim n n a a b = （B ）若11lim n n n n a a b b ++-=+∞-，则11lim 0n n n n b b a a ++-=-。由11lim n n n n a a b b ++-=+∞-，故对 10M =>，存在0n N ∈，当0n n >时有 111n n n n a a b b ++->-，即()11n n n n a a b b ++->-* 故{}n a 严格增的，再由()*得0 n n n n a a b b ->-，从而n →+∞时，lim n a =+∞，从 而由（A ）得11lim 0n n n n b b a a ++-=-，故11lim n n n n a a b b ++-=+∞- （C ）若11lim n n n n a a b b ++-=-∞-，令n n c b =-,利用（B ）可证明。 2设lim n a a R =∈证明 （1）1lim n a a a n ++= 证明 利用O.Stolz 公式（2）只需令1n n c a a =++ ，n b n =，则 1 1 lim lim n n n n n c c a a b b ---==- 故1lim lim n n n c a a a b n ++== 。 或利用定义直接证明。 （2）讨论,,a =+∞-∞∞时(1)中的结论。 证明：利用O.Stolz 公式可得a =-∞，或a =+∞均成立。 但a =∞，不成立，例1(1)n n a n -=-，故a =∞时O.Stolz 公式也不成立。 （3）1lim 11 n n a a a =++ ，其中0n a > 证明：0n a >，由保号性可得lim 0n a a =≥ 故11lim n a a =（当lim 0n a a ==，时1 lim n a =+∞） 故11111lim lim n n a a n a a ++== ， 故1lim 11n n a a a =++ （4 ）a =，其中0n a > 证明：见附录参考答案及提示。 3 设0n a >，1 lim ,n n a a a += 证明a = 证明：设1 n n n a b a += ，故利用习题1.1（B ）2(4)可得 a = = a = ，注意到1=，可得 a === 4.设1 {}n n k k S a ==∑收敛，证明11lim 0n k k ka n ==∑ 证明：（微积分学习辅导P6例11（4）） 设lim n S s =，则有11 lim 1 n S S s n -++=- []11111 lim lim n k n n k ka nS S S n n -==-++∑ 1 1lim n n S S S n -++=- 111 lim lim 01n n S S n S s s n n -++-=-=-=- 5.若()2lim 0n n a a --=，证明lim 0n a n = 证明 令120b b ==，2n n n b a a -=-， 则2lim 0n b =，21lim 0n b +=， 利用故利用习题1.1（B ）2(1)可得 2422lim lim 0n n b b b b n +++== 又24222n n b b b a a n n +++-= ，故22 lim 0n a a n -=， 从而222222211lim lim lim lim 0222n n n a a a a a a a n n n n n --??? ?=+=+= ??????? 同理利用习题1.1（B ）2(1)可得 1321 21lim lim 01 n n b b b b n +++++==+ 又 132121111n n b b b a a n n +++++-=++ ，故211lim 01 n a a n +-=+。 易知21lim 021 n a n +=+，故 lim 0n a n =。 6.若lim ,n a a =证明1 222lim 2 n a a na a n +++= 证明 见（微积分学习辅导P6例11（2））即 令11b a =，232b b a ==，4563b b b a ===，, (1) (1) (1)1 2 2 2 2 n n n n n n n b b b a --+++==== 对{}n b 前 () 12n n +项应用题1.1（B ）2(1). 7. 证明e = 证明：见（微积分学习辅导P17例19（2））令11n n a n ?? =+ ??? ，再利用习题1.1（B ）2(4) 可证明。 8.求下列极限： （1）1321 lim 242n n - 解：注意到212221 n n n n -<+，故 2 1321132124 224 22423521n n n n n n --??????< ? ???+?????? 12342121 234522121 n n n n n -==++ ，即 13210242n n -<< 又0=，故1321 lim 0242n n -= （2）limsinsin sin n n 重 解 显然1sin 1n -<<，又sin x 在,22ππ?? - ?? ?是单增的，故()sin 1sinsin sin1n -<<，故进一步有 11sinsin sin 1sinsin sin sinsin sin1n n n n ---<< 重 重 重 显然数列11sin sin sin1n n b --= 重 是单减有界的。故1lim sin sin sin1n - 重 存在设为a ，易知 01a ≤<，注意到1sin n n b b -=，故有sin a a =，从而得0.a = 同理可得1limsinsin sin 10n --= 重 ，故limsinsin sin 0n n = 重 。 （3 ）1 lim 1)n k =∑ 解 ∑∑==++=-+ n k n k n k n k n k 1 22 1 211)11(，故 22 111 1) 2 n n n k k k k k n === ≤≤ ∑∑ 又 2 1 1 lim 24 n k k n = = ∑ ， 1 1 4 n k k = = ，故 1 1 lim1) 4 n k= = ∑ 9.设 01 1 1, n n n a a a a + ==+ ，求证1 = 证明显然0 n a>且{}n a是单调增的，若{}n a有界，则lim n a存在，故可设lim n a a=，且0 a≥，但由 1 1 n n n a a a + =+可得 1 a a a =+，这不可能，故{}n a无界，从而lim n a=+∞。 由 1 1 n n n a a a + =+可得22 12 1 2 n n n a a a + -=+，故令22 111 0, n n n b b a a ++ ==-，则有 () 1 1 22 2 1 lim lim lim22 n n n n b a a a - - =-=+= 对{}n b运用习题1.1（B）2(1)可得 1 22 11 lim lim2 n n a a b b b n n - +++ == 故 2 lim2 n a n = ，故1 =。 10.求lim n a，其中 （1） 11 1 3, 1 n n a a a + == + ； 解参照微积分学习辅导“P23例28” (2)01 n a <<,且() 1 1 1 4 n n a a + -≥ 参见微积分学习辅导P22例26 11 若数列{}n a满足：存在常数M，使得对一切n，有 21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤ 证明 （1） 数列{}n A 收敛。 （2） 数列{}n a 收敛 证明（1）因为数列{}n A 是单调增加的，且有上界，故数列{}n A 收敛。 （2）设n m >，则 n n m m m m n m a a a a a a a a -++-+-=-+---1211 n m n n m m m m A A a a a a a a -=-++-+-≤+---1211 因为{}n A 收敛，所以{}n A 是Cauchy 数列，即对0ε?>，存在1n N ∈ 当1,m n n >时m n A A ε-<。 故数列{}n a 有对0ε?>，取01n n =，当0,m n n >时m n a a ε-<，即{}n a 也是Cauchy 数列，所以{}n a 收敛。 12.证明下列不等式 （1）1 11(1)(1)n n e n n ++<<+ （1）由n n )11(+ 是单调增加且e n n =+)11lim(，所以e n n <+)1 1(； 由于e n n =++1)11lim(，若数列1)11(++n n 单调减小，则e n n >++1)1 1(。 数列1 )11(++ =n n n a 单调减小等价于数列1) 11(1 1++=n n n a 单调增加。 1 22 1 11 )21( 21)1)(1()1 (1)1(1+++++=++=????? ? ??++++<+?=+=n n n n n n a n n n n n n n n n n a 所以 数列1 )11(++ =n n n a 单调减小。 （2）利用（1）的结果，由e n n <+)11(，两边取对数得1)1 1ln(<+n n 由e n n >++1)11(，两边取对数得1)1 1ln()1(>++n n （3）根据（1）的结果，分别取n n , , 3 , 2 , 1 =有： 第二行各项相乘得：n n e n n <+! )1(，即! )1(n e n n n <+ 第三行各项相乘得：n n e n n >++! )1(1，即! )1(1n e n n n >++ 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →= lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ 大一高数基础练习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY- 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π=x 处连续； 12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+==1x =； 8 ．定积分1 1 sin )x dx -?＝________ ；0 22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则AMB = _______； 3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==，则a b ?＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2 sin 2x x arc x →+=。 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】 习题11- 函数 1．设函数2,0, ()2,0,x x x f x x +≤?=?>? ，求 （1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2） ()(0)f x f x ?-?，()(0) f x f x -?-?（0x ?>）． 【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ； （2） ()(0)f x f x ?-????????-=?? ?????-=??.0, 1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x -?-?)0(12 )2(>?-=?-?-=x x x 。■ 2．已知21 ()1f x x x =+()f x ． 【解】令x t 1=，则2111)(t t t f + +=，故2 111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法） ∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有 )sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=- 2 sin 2cos 2)(2sin sin )(21221121212x x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥ 012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ， ∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法） ∵) (0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f 学号: 院系： 高等数学竞赛(理工类)试题 姓名： ( 2006年7月6日 晚 7?00 ~ 9?００ ） 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一、单项选择题（每题4分 共2０分） 1．方程x e x =--21在),0(+∞内实根的个数为( Ｂ ）。 A. 0 B. １ Ｃ． 2 D ． 3 2. 若)(x f 在]1,0[上连续且可导，1)0()1(=-f f ,?'=1 02)]([dx x f I , 则有( C ）。 A. Ｉ = 1 B. I < 1 C. Ｉ≥1 D ． I = ０ ３．设(,)f x y 连续，且(,)(,),D f x y xy f u v dudv =+??其中D 是由 0y = 2,1y x x ==所围区域,则(,)f x y 等于( D )。 A.xy ； B. 2xy ; C. 1xy +; D. 1 8 xy +。 4. 设f 在Ω上可积，且Ω区域具有轮换对称性（即若(,,)x y z ∈Ω,则(,,),(,,)y z x z x y ∈Ω∈Ω）,则（ Ａ ）。 Ａ． (,,)(,,)(,,)f x y z dv f y z x dv f z x y dv Ω Ω Ω ==?????????； B. 1 (,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv Ω Ω=?????? 其中1Ω为Ω的0z ≥部分区域； C. (,,)0f x y z dv Ω =???; Ｄ. 以上结论均不成立。 ５． 设函数(),(),()p x q x f x 都连续，且11223()()()y c y x c y x y x =++是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解，则（ Ｂ )。 A. 123y y y +-是方程的解 Ｂ. 123,,y y y 线性无关 C ． 123,,y y y 可能线性无关，也可能线性相关。 D ． 123,,y y y 线性相关 二、填空题(每题４分 共20分) 1.设函数x x x x x x x f ++-+-+=22ln 21 2arctan )(2 22,则 =')(x f 2 。 2.设a 为常数,则 ?+∞→=a n n n dx x x 1 sin lim a 。 ξξ ξξξ1sin ][1sin 1sin a n a n dx x x a n n =-+=? +在n 和a n +之间， 于是,a a dx x x a n n n =?=?+∞→∞→ξ ξ ξ/1/1sin lim 1sin lim 3.=+?dx x x x )ln 1( x x c + 。 4. 直线1: 211 x y z L -==绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 2222(12)x y z z +=++ 。 5．设),2,1(0 =>n a n ，且数列}{n a 单调,若级数∑∞ =+1 1n n n a a , 收敛,级数∑∞ =1 n n a 是收敛还是发散? 收敛 。 三、计算与证明题（共5０分) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 习题一 一．??? √√√√ 二．A D C 三．xoy 面 (-2,3,0) -2a a b + a b - 坐标面 四．11cos ,cos 22αβγ-=== （1122 -） 五． （1）（－1，3，3） （2） （3） cos 333 αβγ=== 习题二 一．????√ 二．C D 三．1．（－4，2，－4） 2. －10, 2 3. 7 4. 4π 5. 四．152S = 五． 5，－8，2） 习题三 一．?√? 二．CDDCC 三．1．2± 2. 2223x y z ++= 3. 225y z x += 4. 3 π 四．1．由xoz 面上的曲线22z x =绕z 轴旋转得到的 2．由xoy 面上的曲线22 194 x y +=绕x 轴旋转得到的 习题四 一．?√? 二．BD 三．1．点（4 17,33--），过点（417,,033 --）平行于z 轴的直线 2．221,(0,0,3),13 x y z ?+=?=? 3． 2 (1)21y x z x ?=-?=-? 四．3sin x y z ααα?=???=???=?? 五．在xoy 平面的投影曲线2210x y x y z ?+++=?=? 在yoz 平面的投影曲线22(1)0 x y z z x ?+--=?=? 在xoz 平面的投影曲线22(1)0 x x z z y ?+--=?=? 习题五 一． DCC 二． 1. 375140x y z -+-= 2.（1，－1,3） 3. 103 4. －4, 3 三． 78120x y z +++= 四．93160x y z -+-= 五． 面方程：330y x x y =+= 或 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)?-++L dy x y dx y x )()(2222, 其中L 是由y =0, x =1, y =x 所围成区域的正向边界; 解 这里P =x 2+y 2, Q =y 2-x 2, y x y P x Q 22--=??-??, 由格林公式 ?-++L dy x y dx y x )()(2222dxdy y x dxdy y P x Q D D )(2)(+-=??-??=???? 12 32)(102010-=-=+=???dx x dy y x dx x . (2)?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线3232 32a y x =+(a >0); 解 这里x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=, 0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=??-??x x ye x x x x ye x x x x y P x Q , 由格林公式 ?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222 0)( =??-??=??dxdy y P x Q D . (3)?+-+-L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2 (π的一段弧; 解 这里x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=, 0)cos 26()6cos 2(22=--+-=??-??x y xy xy x y y P x Q . 习题一 一．??? √√√√ 二．A D C 三．xoy 面 (-2,3,0) -2a a b + a b - 坐标面 四．11cos ,cos 222αβγ-= == （11,222 -） 五． （1）（－1，3，3） （2） （3）cos αβγ= == 习题二 一．????√ 二．C D 三．1．（－4，2，－4） 2. －10, 2 3. 7 4. 4 π 5. 四．152 S = 五． 5，－8，2） 习题三 一．?√? 二．CDDCC 三．1．2± 2. 2 2 2 3x y z ++= 3. 22 5y z x += 4. 3 π 四．1．由xoz 面上的曲线2 2z x =绕z 轴旋转得到的 2．由xoy 面上的曲线22 194 x y +=绕x 轴旋转得到的 习题四 一．?√? 二．BD 三．1．点（417,33- -），过点（417,,033 --）平行于z 轴的直线 2．221 ,(0,0,3),13 x y z ?+=? =? 3． 2 (1)21 y x z x ?=-?=-? 四．3sin x y z ααα?=?? ? =?? ?=?? 五．在xoy 平面的投影曲线221 0x y x y z ?+++=?=? 在yoz 平面的投影曲线22(1)0x y z z x ?+--=?=? 在xoz 平面的投影曲线22(1)0 x x z z y ?+--=?=? 习题五 一． D CC 二． 1. 375140x y z -+-= 2.（1，－1,3） 3. 10 3 4. －4, 3 三． 78120x y z +++= 四．93160x y z -+-= 五． 面方程：330y x x y =+= 或 习题六 一． D B A C 二．1．123 010 x y z ---== 2. 111 213 x y z ---==-，参数方程：12,1,13x t y t z t =-=+=+ 3．－1 三．直线方程： 111 925 x y z ---==- 四．510x y z ++-= 第九章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数2 3 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( a ) A.0 ()d a f x x -? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --= 的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000 lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1) 34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 关于同济版高等数学下册练习题附答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 ()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且 ,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)222 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于 3 π ，且2,5a b → → ==，求(2)(3)a b a b →→→ → -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b → → → → -?+2()a b → → =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面 4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 1、试将三重积分 (),,f x y z dv Ω ???化为三次积分，其中积分区域Ω分别为： 1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。 (),,f x y z dv Ω = ??? ()1 10 ,,x xy dx dy f x y z dz -? ? ?。 2） 由曲面2 2 2 2,2z x y z x =+=-所围成的区域 (),,f x y z dv Ω = ???()2 2 2 1 21 2,,x x y dx f x y z dz --+? ?。 2、计算下列三重积分 1） 23xy z dv Ω ???，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。 解：原式1 11235612 000000111428364x xy x dx dy xy z dz dx x y dy x dx = ===????? ? 2）xzdxdydz Ω ???，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2 y x =所围成的闭区 域。 解：原式()221 1 1 1 12 7101111026 y x x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=?????? 3、利用柱面坐标计算()22 x y dv Ω +???，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成 的区域。 解：原式22 54622 2 2 3 30 00201622222123 r r r r d dr r dz r dr π θπππ????= =-=-= ???????? ??? 4、利用球面坐标计算()2 22x y z dv Ω++???，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭 区域。 解：原式2140 24sin sin 5 5 d d d d π π π π πθ?ρ?ρ??= = = ? ??? 5 、选用适当坐标计算 Ω ，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。 解：原式5 22cos 3 4 2 20 01cos sin 2cos sin 42510 d d d d π π π π ? π?πθ?ρ?ρπ?????===-=????? ?? ? 《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；高数习题集(附答案)
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