人教版高中数学高二-必修五第二章《数列》过关检测卷

章末过关检测卷(二)

第二章数列

(测试时间：120分钟评价分值：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有穷数列{1，23，26，29，…}，那么23n＋6的项数是()

A．3n＋7B．3n＋6

C．n＋3D．n＋2

1．解析：此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n＋6，为等差数列，且首项a n＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，则3n＋6＝0＋(x－1)×3?x＝n＋3.

答案：C

2．已知数列{a n}中a1＝1且满足a n＋1＝a n＋2n，n∈N*，则a n＝() A．n2＋n＋1B．n2－n＋1

C．n2－2n＋2D．2n2－2n＋1

2．B

3．(2014·广东六校联考)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－2n，则a2＋a18＝()

A．36 B．35 C．34 D．33

3．解析：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，故a2＋a18＝34.

答案：C

4．(2014·黑龙江佳木斯一中三调)数列{a n}定义如下：a1＝1，当n≥2

时，a n ＝?

??1＋an 2（n 为偶数），

1a n －1（n 为奇数），若a n ＝14，则n 的值等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

4．解析：因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12

，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14

，所以a 9＝14

，n ＝9，故选C . 答案：C

5．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．8－4 2

5．解析：在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，

∴a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25

＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2

＝(22)2＝8，故选C .

答案：C

6．(2014·辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )

A ．d ＜0

B ．d ＞0

C ．a 1d ＜0

D ．a 1d ＞0

6．解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，∴2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n

－1)d，又由于{2a1a n}为递减数列，所以2a1a n

2a1a n＋1

＝2－a1d＞1＝20，∴a1d＜0，故选C.

答案：C

7．已知数列{a n}的前n项和S n＝a n－1(a是不为0的常数)，则数列{a n}()

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或是等差数列或是等比数列

D．既不是等差数列也不是等比数列

7．C

8．(2014·吉林普通中学摸底)已知数列{a n}，a n＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是()

A．(－∞，6) B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3]

8．解析：数列{a n}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是

递减数列，则－λ

2·（－2）

≤1，即λ≤4.

答案：B

9．在数列{a n}中，a1＝1，a n＞0，a2n＋1＝a2n＋4，则a n＝() A．4n－3B．2n－1

C.4n－3

D.2n－1

9．C

10．下列四个命题：

①若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；

②若{a n}为等差数列，且常数c>0且c≠1，则数列{can}为等比数列；

③若{a n}为等比数列，则数列{a4n}为等比数列；

④非零常数列既是等差数列，又是等比数列．

其中，真命题的个数是()

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．解析：对于①当a、b、c都为零时，命题不成立；②③④成立．答案：C

11．等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝() A．21 B．42 C．63 D．84

11．解析：设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故选B.

答案：B

12．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2－n＋(1－t)，则“t＝1”是“数列{a n}为等差数列”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

12．C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．在等差数列{a n}中，a1＝3，公差d＝－2，则a1＋a3＋a5＋…＋a99

＝ ________．

13．－4 750

14．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋……＋ln a 20＝________．

14．解析：由题意知a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5，

因此a 1·a 2…a 20＝(a 1a 20)·(a 2·a 12)…(a 10a 11)＝(a 10a 11)10＝(e 5)10＝e 50，

因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2…a 20)＝ln e 50＝50.

答案：50

15．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝__________.

15．解析：∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，

∴a 1＝1，a 3＝4，

则公比q ＝2，因此S 6＝1×（1－26）1－2

＝63. 答案：63

16．已知函数f (x )＝x 2

＋2bx 过点(1，2)，若数列??????1f （n ）的前n 项和为S n ，则S 2 015的值是________．

16．解析：∵函数f (x )＝x 2＋2bx 过点(1，2)，

∴1＋2b ＝2，解得b ＝12

. ∴f (x )＝x 2＋x .

∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1

. ∴S n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ?????1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1

. ∴S 2 015＝2 0152 016

. 答案：2 0152 016

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5.

(1)求{a n }的通项公式a n ；

(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .

17．解析：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得：

???a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5.

∴???a 1＝－20，d ＝5.

∴a n ＝5n －25(n ∈N *)．

(2)由(1)a n ＝5n －25，

∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30，

∴b n ＝10n －30(n ∈N *)．

18．(本小题满分12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项；

(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .

18．解析：(1)由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d

， 解得d ＝1，d ＝0(舍去)．

故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N *)．

(2)由(1)知2a n ＝2n ，

由等比数列前n 项和公式得

S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2（1－2n ）1－2

＝2n ＋1－2. 19．(本小题满分12分)(2013·大纲全国卷)等差数列{a n }前n 项和为S n .

已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．

19．解析：设{a n }的公差为d .

由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.

由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4.

又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，

故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．

若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，

此时S n ＝0，不合题意；

若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，

解得d ＝0或d ＝2.

因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．

20．(本小题满分12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明????

??a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2

＋…＋1a n ＜32. 20．分析：本题第(1)问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证

明，之后利用等比数列求出其通项公式；对第(2)问，可先由第(1)问求出1a n

，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式．

证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ????a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12

＝3，所以????

??a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3，所以a n ＋12＝32·3n －1，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12

(n ∈N *)． (2)证明：由(1)知：a n ＝3n －12

，所以1a n ＝23n －1， 因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32?

????1－13n ＜32， 所以1a 1＋1a 2

＋…＋1a n ＜32.

21．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．

21．解析：(1)当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2

＝n 2. (2)当a ≠1时，

S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1，

aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ，两式相减，有： (1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n

＝1＋2a （1－a n －1）1－a

－(2n －1)a n ， 此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n

1－a

. 综上，S n ＝???n 2，a ＝1，

2a （1－a n －1

）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1. 22．(本小题满分10分)(2014·大纲全国卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n . 22．解析：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数，

又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103

≤d ≤

－52

.因此d ＝－3. 数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n (n ∈N *)．

(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13? ??

???110－3n －113－3n . 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13???? ??

??17－110＋

????? ????14－17＋…＋? ?????110－3n －113－3n ＝13? ?????110－3n －110＝n 10（10－3n ）

.