初等数学常用公式.
数 学 公 式 初等数学常用公式
一、 代数 1．绝对值 （1）定义：,0
||,0
a a a a a ≥?=?
-
（2）性质：||||||
||||||
|
|(0)||(0)||
a a a a a
b a b b a A A a A A b b =-==≠≤?-≤≤≥
||||||
||||||a b a b a b a b ±≤+±≥-
2．指数 （1）n
m
m n
a a a
+= （2）m
m n n a a a
-= （3）()m m b ab a b =
（4
）m n
a
=（5）1m m
a a -= （6）01(0)a a =≠
3．对数
设0,0,a a >≠则 （1）log log log a a a xy x y =+ （2）log log log a
a a x
x y y
=- （3）log log b a a a b x = （4）
log log log b a b x
x a
= （5）log log 10
log 1a x a a a x a ===
4．乘法公式与因式分解
（1）2()()()x a x b x b a x ab ++=+++ （2）222()2a b a ab b ±=±+ （3）33223()33a b a a b ab b ±=±+± （4）22()()a b a b a b -=+- （5）3322()()a b a b a ab b -=±+
5.二项式定理
122
(1)(1)
(1)()2!
!
n n n n n k k
n n n n n n k a b a na b a b a b b k ------++=++
+++
+
6．两数n 次方的和与差
（1）无论n 为奇数或偶数，1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++
（3）当n 为奇数时，1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+
7．数列的和 （1）2
1
(1)11n n a q a aq aq
aq
q q
--++++=
≠- （3）2135(21)n n ++++-=
（2）1123(1)2
n n n ++++=+ （4）
22221
123(1)(21)6
n n n n +++
+=++
（5）2
3
3
3
3
(1)1232n n n +??++++=?
???
二、几何
1．圆 周长2C r π=，面积2S r π=，r 为半径。
2．扇形 面积21,2
S r αα=为扇形的圆心角，以弧度为单位，r 为半径。 3．平行四边形 面积S bh =，b 为底长，h 为高。
4．梯形 面积1()2S a b h =+，a 、b 分别为上底与下底的长，h 为高。 5．棱柱体 体积V Sh =，S 为下底面积，h 为高。
6．圆柱体 体积2V r h π=，侧面积2L rh π=，r 为底面半径，h 为高。 7．棱锥体 体积13V Sh =，S 为下底面积，h 为高。 8．圆锥体 体积21
3V r h π=，侧面积L rl π=，r 为底面半径，h 为高，l 为母线长。
9．棱台 体积
12121
()3V h S S S S =，、分别为上下底的面积，h 为高。
10．圆台
体积1
3
V h π=22（R +Rr+r ）
，侧面积()S l R r π=+，R 与r 分别为上下底半径，h 为高，l 为母线。
11．球 体积343
V r π=，表面积24L r π=， r 为球半径。 三、三角 1．度与弧度
18011180
rad rad π
π
?
?
=
=
2．平方关系 222222sin cos 11tan sec 1cot c x x x x x cs x +=+=+= 3．两角和与差的三角函数
sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=±
cos()cos cos sin sin x y x y x y ±=
tan tan tan()1tan tan x y x y x y
±±=
4．二倍角公式 sin 22sin cos ααα=
2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan ααα
=
-
5．半角公式
sin
2α
=
cos
2
α
=
sin 1cos tan
2
1cos sin α
αα
αα
-===
+
6．和差化积公式 sin sin 2sin
cos
22
x y x y
x y +-+= sin sin 2cos sin
22x y x y
x y +--= cos cos 2cos cos
22x y x y
x y +-+= cos cos 2sin sin
22
x y x y
x y +--=- 7．积化和差公式
2sin cos sin()sin()x y x y x y =++-
2cos sin sin()sin()x y x y x y =+-- 2cos cos cos()cos()x y x y x y =++- 2sin sin cos()cos()x y x y x y =--+
8．三角形边角关系 （1）正弦定理 sin sin sin a b c A B C
==
（2）余弦定理 2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C =+-=+-=+- 9．三角形面积
1
1
1
sin ,
sin ,
sin 2
2
2S bc A S ca B S ab C ===
S =()1
2
p a b c =++
四、平面解析几何 1．距离与斜率
(1)两点111(,)p x y 与222(,)p x y 之间的距离d =
(2)线段12p p 的斜率21
2121
()y y k x x x x -=≠- 2．直线的方程
（1）点斜式11()y y k x x -=- （2）斜截式y kx b =+ （3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=-- （4）截距式1x y a b
+= 3．两直线的夹角
设两直线的斜率分别为1k 和2k ，夹角为θ，则2121
tan 1k k k k θ-=+
4．点到直线的距离
点11(,)p x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =5．两条直线的位置关系
设两条直线的方程为 111:l y kx b =+ 或 1110A x B y C ++=
222:l y kx b =+ 或 2220A x B y C ++=
（1）两直线平行的充要条件 12k k =，且12b b ≠ 或
111
222
A B C A B C =≠
（2）两直线垂直的充要条件 121k k =- 或 12120A A B B += 6．直角坐标与极坐标之间的关系
cos sin tan x x y y
ρθρθρθ====
7．圆
（1）圆的标准方程
圆心在点000(,)p x y 、半径为R 的圆的方程是 22200()()x x y y R -+-= 特别的，圆心在原点、半径为R 的圆的方程是 222x y R += （2）圆的一般方程
圆的一般方程是二元二次方程 220x y Dx Ey F ++++=
其中2
2
40D E F +->圆心坐标为(,)22
D E
--
8．抛物线 方程：22y px =，焦点(,0)2
p ，准线2
p x =-
方程：22x py =，焦点(0,)2p
，准线2
p y =-
方程：2
y ax bx c =++，顶点坐标24(,)24b ac b a a --，对称轴方程：2b
x a
=-
9．椭圆
方程：22
221()x y a b a b
+=>，焦点在
x 轴上
10．双曲线 方程：22
221x y a b
-=，焦点在
x 轴上
11.等轴双曲线 方程：xy k = 12.一般二元二次方程
2222220,Ax Bxy Cy Dx Ey F B AC +++++=?=-
（1）若0?<，方程为椭圆 （2）若0?>，方程为双曲线 （3）若0?=，方程为抛物线 13.几种常见的参数方程
（1）经过点000(,)p x y ，倾角α为的直线的参数方程00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
其中，t 是直线上的点000(,)p x y 到点(,)p x y 的有向线段的数量
（2）圆心在点00(,)x y ，半径为R 的圆的参数方程00cos sin x x R t
y y R t
=+??
=+?
（3）中心在圆点，长半轴为a ，短半轴为b 的椭圆参数方程cos sin x a t
y b t =??
=?
（4）中心在圆点，实半轴为a ，虚半轴为b 的双曲线参数方程sec tan x a t
y b t
=??=?
（5）中心在圆点，对称轴为x
轴的抛物线的参数方程2
22x pt y pt
?=?=?
简易积分表
一、 含有a bx +的积分 1.1
ln dx a bx C a bx b
=+++?
2.1
()()(1)1
n n
a bx a bx dx C n n +++=
+≠+?
3.1ln xdx a bx a a bx C a bx b
=?+-+?+??+? 4.222
31
1()2()ln 2x dx a bx a a bx a a bx C a bx b
??=+-++++??+??
? 5.1ln ()dx a bx
C x a bx a x +=-++?
6.221ln ()dx b a bx
C x a bx ax a x +=-+++?
7.22
1
ln ()xdx a a bx C a bx b a bx ?
?=
+++??++?
??
8.222312ln ()x dx a a bx a a bx C a bx b a bx ??
=+-+-+??++??
? 9.22
11ln ()()dx a bx
C x a bx a a bx a x
+=-+++?
10.C =
11.C =?
12.x C =+?
13.C =
14.2C =
15.(0)(0)
C a C
a ?>=<
16.2b ax a =--
17.dx a x
=?
三、含有22a x ±的积分 18.221arctan dx x C a x
a
a
=++?
19.2222221222123()2(1)()2(1)()n n dx x n dx
x a n a x a n a x a ---=+
+-+-+??
20.221ln 2dx a x C a x a a x +??
=+??--??? 21.221ln 2dx x a C x a a x a -??=+??-+??
?
四、含有2a bx ±的积分
22.
2(0,0)dx C a b a bx
=+>>+?
23.
2dx C a bx =+-? 24.2
2
1ln 2x dx a bx C a bx b
=+++?
25.222
x dx x a dx
a bx
b b a bx =-++?
?
26.22221ln ()2x dx x C x a bx a a bx ??
=+??++??
? 27.22
22
1()x dx b dx x a bx ax a a bx =--++??
28.22222
1()2()2x dx x dx
a bx a a bx a a bx =++++?
?
29.2ln(2
a x C =?+
30.4223(25ln(88
x a x a x C =+?++
31.C =?
32.422(2ln(88
x a x
x a x C =+++?
33.
ln(x C =++
34.
C =
+
35.
C =
36.22
ln(2a x C =+
37.2
ln(x C =++
38.
1
C a =
39.
2C a x =-+
40.dx a C =+
41.ln(dx x C =+++
42.
ln x C =+
43.
C =
44.
C
45.2ln 2
a x C +
46.2223(25ln |88
x a x a x C =-++
47.C =+?
49.422(2ln |88
x a x x a x C =-+?
50.22
ln |2a x C +
51.2
ln |x C =+
52.
11
arccos C a x
=
+
53.
2C a x
=
+
54.arccos a
C x
=+
55.2
ln |dx x C x x
=-+++?
56.
arcsin
x
C a
=+ 57.
C =
+
58.
C =
59.
C =
+
60.22
arcsin 2a x C a =+
61.2arcsin 2a x C a
=+
62.4223(52arcsin 88x a x a x C a
=-+
63.C =?
65.422(2arcsin 88x a x x x a C a
=-+?
66.2arcsin
x
C a
=
-+
67.1ln ||C a =
+
68.C =
69.ln |a C =+
70.arcsin x
C a
=-+ 八、含2(0)a bx cx c +±>的积分
71.2|dx C a bx cx =++-?
72.2
22(4)|(4)
C b ac dx a bx cx C b ac ?+
=?+++>?
(0)c >的积分
73.|2cx b C =
+++
74.2ln |2cx b C =+++
75.ln |2cx b C =+++
76.C =
77.2C =
78.C c =-+
79.
()a b C =-+
80.
()a b C =+
81.
()a b C =+
82.
C =
十一、含有三角函数的积分 83.sin cos xdx x C =-+? 84.cos sin xdx x C =+? 85.tan ln cos xdx x C =-+? 86.cot lnsin xdx x C =+?
87.sec ln |sec tan |ln |tan |42x xdx x x C C π
??
=++=++
???
? 88.csc ln |csc cot |ln |tan |2
x xdx x x C C =-+=+? 89.2sec tan xdx x C =+? 90.2csc cot xdx x C =-+? 91.sec tan sec x xdx x C =+? 92.csc cot csc x xdx x C =-+?
93.21sin sin 224xdx x C π
=-+?
94.21
cos sin 224
xdx x C π=++?
95.12
sin cos 1sin sin n n
n x x n xdx xdx n n ---=-
+??
96.12
cos sin 1cos cos n n
n x x n xdx xdx n n ---=
+??
97.121cos 2sin 1sin 1cos n n n dx x n dx
x n x n x ---=-+--?
? 98.1sin 2dx x n dx
-=-+??
100.()cos()cos()sin cos 2()2()m n x m n x
mx nxdx C
m n m n m n +-=--+≠+-? 101.()sin()sin()sin sin 2()2()
m n x m n x
mx nxdx C
m n m n m n +-=-++≠+-? 102.()sin()sin()cos cos 2()2()
m n x m n x
mx nxdx C
m n m n m n +-=
++≠+-?
103.()2
2tan
tan
sin x
a b dx C a
b a b x +=+>+?
104.tan 2sin tan 2
x
a b dx C x a b x a b +=+++?
105.22)()cos 2dx x
C
a b a b x =+>+?
106.22()cos dx C a b a b x =+<+?
107.22221arctan(tan )cos sin dx b
x C a x b x ab a
=++?
108.2222
1tan ln cos sin 2tan dx b x a
C a x b x ab b x a
+=+--? 109.211
sin sin cos x axdx ax x ax C a a =-+?
110.2223122
sin cos sin cos x axdx x ax x ax ax C a a a =-+++?
111.211
cos cos sin x axdx ax x ax C a a =++?
112.2223122
cos sin cos sin x axdx x ax x ax ax C a a a
=+++?
十二、含有反三角函数的积分
113.arcsin arcsin x x dx x C a a
=?
114.22arcsin arcsin 24x x a x x dx C a a ??=-+ ???
?
115.(
32
221
arcsin arcsin 239
x x x x dx x a C a a =++?
116.arccos arccos x x dx x C a a
=?
117.22arccos arccos 24x x a x x dx C a a ??=- ???
?
118.(32
221
arccos arccos 239
x x x x dx x a C a a =-+?
119.22arctan arctan ln()2
x x a dx x a x C a a =-++? 120.221arctan ()arccos 22
x x ax
x dx a x C a a =+-
+? 121.323
2
22arctan arctan ln()366
x x x ax a x dx a x C a a =-+++?
十三、含有指数函数的积分 122.ln x a
a dx C a
=
+? 123.ax
ax
e e dx C a
=+?
124.()
22
sin cos sin ax ax
e a bx b bx e bxdx C a b -=
++? 125.()22
sin cos cos ax ax
e b bx a bx e bxdx C a b +=
++? 126.()21ax
ax
e xe dx ax C a
=-+?
127.1n ax n ax
n ax
x e n x e dx x e dx a a
-=-?? 128.2
ln (ln )mx mx
mx
xa a xa dx C m a m a =
-+? 129.1ln ln mx n n
mx
n mx a x n
x a dx x a dx m a m a
-=-?? 130.()()1222222221sin sin sin cos sin ax n ax
n
ax n n n e bx
e bxdx a bx nb bx b e bxdx a b n a b n
---=-+++??
131.()()1222222221cos cos cos sin cos ax n ax
n
ax n n n e bx
e bxdx a bx nb bx b e bxdx a b n a b n
---=-+++??
十四、含有对数函数的积分 132.ln ln xdx x x x C =-+? 133.()ln ln ln dx
x C x x
=+?
134.()1
2ln 1ln 11n
n x x
xdx x
C n n +??
=-+??++????
? 135.1ln ln ln n n n xdx x x n xdx -=-??
136.11
ln ln ln 11
m m
n
n m n x n x xdx x x xdx m m +-=-++?? 十五、定积分
137.cos sin 0nxdx nxdx ππ
ππ--==?? 138.cos sin 0mx nxdx π
π-=?
139.0cos cos m n
mx nxdx m n
π
ππ-?≠?=?
=??? 140.0sin sin m n
mx nxdx m n
π
ππ-?≠?=?=???
141.000sin sin cos cos 2
m n
mx nxdx mx nxdx m n ππ
π
?≠?
==?=???? 142.22200
1
sin
cos n
n n n n n I xdx xdx
I I n
π
π
--===
??
101342(1)253
1331()24222n n
n n I n I n n n n I n I n n ππ--?=???=??-?
--?=????=?-?
为正奇数，为正偶数，
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