勾股定理培优专题

一、本节基础知识

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

巩固练习：

1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．

2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、

15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)

4．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝_________；

5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是________三角形．

6．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、

a、a＋2为边的三角形的面积为________．

7．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)两直线平行，同位角相等．

(2)若a＞b，则a2＞b．

二、经典例题、针对训练、延伸训练

考点一证明三角形是直角三角形

例1、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.

针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2

+b 2

+c 2

+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.

2(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且

EC=41

BC ，求证：

∠EFA=90?.

3、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90?，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2

=AC 2

+BD 2

考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，

求△ABC 的周长。

针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD 的面积.

3.已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2

+CD 2

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用

例1.阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4

，试判断△ABC 的形状.

解：∵a 2c 2

－b 2c 2

=a 4

－b 4

，(A)∴c 2

(a 2

－b 2

)=(a 2

+b 2

)(a 2

－b 2

)，(B)∴c 2

=a 2

+b 2

，（C)∴△ABC 是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足222c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！

(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是

=a ______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较2

_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是

=a ______mm ； =b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较2

22_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)； (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是: ；。

⑷对你猜想22a b +与2

c 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

(1)

(2)

B A

(3)

例3.如图，南北向MN 为我国的领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意.反走私艇A 通知反走私艇B:A 和C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里.反走私艇B 测得距离C 艇是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

针对训练：1观察下列各式：32

＋42

＝52

；82

＋62

＝102

；152

＋82

＝172

；242

＋102

＝262

…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

2、如图所示，有一块塑料模板ABCD ，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)并在AD 上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时

的

长

；

若

不

能

，

请

说

明

理

由

3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.

延伸训练：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

总结提高：

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1∶2∶3

B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5

D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=4

AD ，试判断△EFC 的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18

－2－7

6.已知△ABC 的三边分别为k 2

－1，2k ，k 2

+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.

7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1

是直角三角形吗？为什么？

8、.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

9、若△ABC 的三边长为a 、b 、c ，根据下列条件判断△ABC 的形状。（1）

a 2+

b 2+

c 2+200=12a +16b +20c (2) a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0

10．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求

CD 的长．

11．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形

ABCD 的面积．

14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且,4

CB CE 求证：AF ⊥FE ．

15．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)若a2＝b2，则a＝b．

(2)如果△ABC≌△A'B'C'，那么BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'．

(3)全等三角形的三组对应角相等．