4—简单的线性规划、基本不等式
4—简单的线性规划、基本不等式
知识块一：求目标函数的最值
归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数.
角度一：求线性目标函数的最值
1．设x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，
3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.
2．若x ，y 满足????
?
y ≤1，x －y －1≤0，
x ＋y －1≥0，
则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________.
解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1.
答案：1
角度二：求非线性目标的最值
3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????
?
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM
斜率的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．－1
3
D ．－12
解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得
A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13
.
4．设实数x ，y 满足不等式组????
?
x ＋y ≤2y －x ≤2，
y ≥1，
则x 2＋y 2
的取值范围是( )
A ．[1,2]
B ．[1,4]
C ．[2，2]
D ．[2,4]
解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2
＋y 2
表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为
AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．
角度三：求线性规划中的参数
5．若x ，y 满足????
?
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )
A ．2
B ．－2
D ．－1
2
解析：选D 作出线性约束条件????
?
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0
的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行
域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．
当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．
当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ? ??
??－2k
，0，C (0,2)所围成的三角形区域，
当直线z ＝y －x 经过点B ? ????－2k ，0时，有最小值，即－? ??
??－2k ＝－4?k ＝－12.故选D.
6．x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值
为( )
或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
解析：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B
或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.
法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.
2．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件???
??
x ＋|y |≤1，
x ≥0，
则z ＝OA ·OP 的
最大值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选D 如图作可行域，
z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D. 3．设动点P (x ，y )在区域Ω：????
?
x ≥0，y ≥x ，
x ＋y ≤4
上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分
为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆
的面积的最大值S ＝π×? ??
??422
＝4π，故选D.
4．变量x ，y 满足约束条件????
?
y ≥－1，x －y ≥2，
3x ＋y ≤14，
若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实
数a 的取值集合是( )
A ．{－3,0}
B ．{3，－1}
C ．{0,1}
D ．{－3,0,1} 解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.故选B.
5．设x ，y 满足约束条件???
?
?
x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，
且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
解析：选B 法一：联立方程???
??
x ＋y ＝a ，
x －y ＝－1，
解得?????
x ＝a －1
2，y ＝a ＋1
2，
代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3
或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.
法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．
当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．
图(1)
由???
?
?
x －y ＝－1，x ＋y ＝－5
得交点A (－3，－2)，
则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．
z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．
当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
图(2)
由?
??
??
x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，
满足题意．
答案：4
6．设D 为不等式组????
?
x ≥0，2x －y ≤0，
x ＋y －3≤0
所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小
值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22
＋1
＝255，故最小距离为25
5. 答案：25
5
7．设x ，y 满足约束条件???
??
x ≥0，y ≥0，
x 3a ＋y 4a ≤1，
若z ＝
x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3
2
，则a 的值为________．
解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1
x ＋1
， 而
y ＋1
x ＋1
表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率， 易知a >0，
∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即? ??
??y ＋1x ＋1min ＝0－－13a －－1＝
13a ＋1＝1
4
?a ＝1. 答案：1
8．若x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2.
(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋1
2＝
0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.
所以z 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a
2＜2，解得－4＜a ＜2.
故所求a 的取值范围为(－4,2)．
知识块二：基本不等式
考点一 利用基本不等式证明不等式
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
，成立的条件：一正、二定、三相等
2．几个重要的不等式：(1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤? ??
??a ＋b 22(a ，b
∈R )．
(4)
a 2＋
b 22
≥?
??
??a ＋b 22
(a ，b ∈R )． [典题例析]
设a ，b ，c 都是正数，求证：
bc a ＋ac b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c . 证明：∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，ab c 都是正数．
∴bc a ＋ca b
≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，
ca b ＋ab
c
≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bc
a
≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2? ??
??
bc a ＋
ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，
即bc a ＋ca b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
[类题通法]
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
[演练冲关]
设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1
b
2＋ab ≥2 2.
证明：由于a ，b 均为正实数，
所以1a 2＋1
b 2≥2
1
a
2
·1b 2＝2ab
，
当且仅当1a 2＝1
b
2，即a ＝b 时等号成立，
又因为2
ab ＋ab ≥2
2
ab
·ab ＝22，
当且仅当2
ab
＝ab 时等号成立，
所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2
ab
＋ab ≥22，
当且仅当?????
1
a 2＝1
b
2，
2
ab ＝ab ，
即a ＝b ＝4
2时取等号．
考点二 利用基本不等式求最值
已知x >0，y >0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最大)
[一题多变]
[典型母题]
[题点发散1] 本例的条件不变，则?
????1＋1a ?
??
??1＋1b 的最小值为________．
解析：?
????1＋1a ?
????1＋1b ＝?
????1＋a ＋b a ?
????1＋a ＋b b ＝?
????2＋b a ·?
??
??2＋a b ＝5＋2? ??
?
?b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b
＝1
2
时，取等号． 答案：9
[题点发散2] 本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1
b
＝4，则a ＋b 的最小值为________．
解析：由1a ＋1b ＝4，得14a ＋1
4b
＝1.
∴a ＋b ＝? ????14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2
b 4a ＋a
4b
＝1. 当且仅当a ＝b ＝1
2时取等号．
答案：1
[题点发散3] 若本例条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1
b
的最小值为________．
解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋2
3b ＝1，
∴2a ＋1b ＝? ????1
3a ＋23b ? ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝3
2
时，取等号． 答案：83
[题点发散4] 本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c
的最小值为
________．
解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，
∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c
＝3＋? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ??
??c b ＋b c ≥3
＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，取等号．
答案：9
[题点发散5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4
n
的最小值为________．
解析：设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5?a 5q 2＝a 5q ＋2a 5?q 2
－q －2＝0(q ＞0)?q ＝2.
a m ·a n ＝22a 1?a 12m －1·a 12n －1＝8a 21?2
m －1·2n －1
＝8?m ＋n －2＝3?m ＋n ＝5，则1m ＋4
n ＝15? ??
??
1m ＋4n (m ＋n )＝15??????5＋? ????n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95
， 当且仅当n ＝2m ＝10
3
时等号成立．
答案：95
考点三 基本不等式的实际应用
[典题例析]
某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－
k
m ＋1
(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已
知2014年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ?k ＝2，∴x ＝3－
2
m ＋1
， 每件产品的销售价格为×8＋16x
x
(元)，
∴2014年的利润y ＝×8＋16x x
－8－16x －m
＝－??
??
?
?16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)．
(2)∵m ≥0时，
16
m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当
16
m ＋1
＝m ＋1?m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2014年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 1．已知f (x )＝x ＋1
x
－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－ ?
???
??－x ＋
1
－x
－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．
2．已知不等式(x ＋y )? ??
??1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B (x ＋y )? ??
??1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y
≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a
＋1≥3，a ≥4.
3．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
解析：选B ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤
lg a ＋lg b
2
4
＝
lg ab 2
4
＝1.
当且仅当a ＝b ＝10时取等号．
4．设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC ＝(－b,0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1
b
的最小值是( ) A ．4 C ．8 D ．9
解析：选D ∵AB ＝OB －OA ＝(a －1,1)， AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2)，
若A ，B ，C 三点共线， 则有AB ∥AC ，
∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0， ∴2a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，
∴2a ＋1b ＝? ??
??
2a ＋1b ·(2a ＋b )
＝5＋2b a
＋2a
b
≥5＋2 2b a ×2a
b
＝9，
当且仅当?????
2b a ＝2a b ，
2a ＋b ＝1，
即a ＝b ＝1
3
时等号成立．故选D.
5．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是( )A ．23＋2 B ．23－2C ．2 3 D ．2
解析：选A ∵x >1，∴x －1>0.
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1
＝
x －1
2
＋2x －1
＋3x －1＝x －1＋3x －1
＋2
≥2
x －1? ??
??
3x －1＋2＝23＋2.
当且仅当x －1＝
3
x －1
，即x ＝1＋3时，取等号． 6．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．
解析：依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.
答案：20
7．当x ＞1时，不等式x ＋
1
x －1
≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 解析：因为x ＞1，所以x －1＞0.又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1
＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以a 的最大值为3.
答案：3
8．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2
y
＝1，
又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥2
8
x ·2y
＝8xy
，
得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
则x ＋y ＝? ??
??8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x
≥10＋2
2x
y
·8y
x
＝18.
当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.