高中数学导数与积分题型大总结

导数的应用

1．函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性

注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R 内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。

(2)求函数单调区间的步骤 ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x 的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值

(1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②极大值与极小值判断

3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；

④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值

(1)如果f(x)在［a,b ］上的最大值（或最小值）是在(a ，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a ，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a ，b ］的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a ，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 7. 注意事项

（1）函数图像看增减，导数图像看正负。（2）极大值不一定比极小值大。

高阶导数的求法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 一般用来寻找解题方法。【例题解析】

考点1 导数的概念【例1】．

()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是．【例2】.设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P ,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1) C .(1,+∞) D. [1,+∞) 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线：若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 【例3】.已知函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求2

4a b -的最大值；（II ）当2

48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函

数

()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧）

，求函数()f x 的表达

式．

解答过程：（I ）因为函数

3211

()32

f x x ax bx

=++在区间

[11)-，

，

(13]

，内分别有一个极值点，所以

2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <）

，则2

214x x a b -=-，且2104x x <

-≤．于是

2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值

是16．（II ）解法一：由

(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a

=++--，因为切线

在点

(1(A f x ，处

过

()

y f x =的图象，所以

()()[(1)]

32g x f x a b x a =-++--在

1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()

g x 的极值点．而

()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2

133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点

(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当1

1m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()

1222a a h x x x ???

?=++-+ ? ????

?，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11

m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

h =?++=，所以2a =-，又由2

48a

b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．【例4.】若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++= 【例5】．过坐标原点且与x 2

-4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( )

A .y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =3

【例6】已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+=①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，

012212

1=+++a x x 若△=0)1(244=+?-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时2

1-=a ，1C 和2C 有

且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3 导数的应用1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式. 典型例题

【例7】.函数)(x f 定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内图象如图，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个【例8】设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x

=及2x =时取得极值．

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2

()f x c

<成立，

求c 的取值范

围．

解答过程：（Ⅰ）

2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即

6630241230a b a b ++=??

++=?

，

．解得

a =-，

b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

32()29128f x x x x c

=-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．

则当[]03x ∈，

时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2

()f x c <恒成立，所以 298c c +<，

解得

1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，．

【例9】函数y x x =+-+243的值域是_____________. 解答过程：由24030

x x +≥+≥??

?得，

x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2.y x x x x x x '=

+-++?+124

123

23242243

，

又2324282324

x x x x x +-+=

++++，∴当x ≥-2时，y '>0，

∴函数y x x =

+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.

【例10】已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．

（1）当0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

)

(x f y '=O

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围． [解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值.

（Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2

x x θ==.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当

cos 0θ>时，随

x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表： x

(,0)-∞

0 cos (0,

)2θ

cos 2

θ cos (

,)2

+∞ '()f x + 0 - 0 + ()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

因此，函数()f x 在cos 2

x θ=处取得极小值c o s f ()2

θ，且3

c o s 13()c o s 2

16f θθθ

=-+

.要使

c o s ()02f θ>，必有

213cos (cos )044θθ-->，可得30cos 2θ<<.由于30cos 2θ≤≤，故3116226

ππππθθ<<<<

或.

错误！未找到引用源。当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

cos (,

)2θ-∞

cos 2

θ cos (

,0)2θ

(0,)+∞

'()f x +

0 -

0 +

()f x

极大值

极小值

因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16

f θ=若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小

值不会大于零.综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)6226ππππ?.（错误！未找到

引用源。）解：由（错误！未找到引用源。）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤ 或

211

21cos 2

a a a θ

-<-≥由（错误！未找到引用源。），参数时311(,)(,)6226

ππππθ∈?时，

30cos 2θ<<

.要使不等式121cos 2

a θ-≥关于参数θ恒成立，必有3214a -≥，即43

8a +≤.综上，解得0a ≤或

a +≤<. 所以a 的取值范围是43(,0)[,1)8

+-∞?.

【例11】．设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间. [解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

1(1,)a

(,)a +∞ '()f x

—

()f x

极小值

从上表可知：当1(1,)x a ∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a -上单调递减.当1(,)x a ∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a +∞上单

调递增.综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减，函数()f x 在

(,)a

+∞上单调递增. 【例12】．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上

()'0f x >，在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）

上递增，在(1,2)上递减，因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++由'''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5，得320,1240,

5,a b c a b c a b c ++=??++=?

?++=?

解得2,9,12.a b c ==-= 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+又'2()32,f x ax bx c =++所以

3,,232

m a b m c m =

=-=32|3()

2,32m f x x mx mx =-+由(1)5f =，即325,32m m m -+=得6,m =所以2,9,12a b c ==-= 【例13】．设3=x 是函数()()

()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；

（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ??? ??+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.

[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2

＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－x

,由f `(3)=0，得－[32＋(a －2)3＋b －a ]e

3－3

＝0，即得b ＝－3－2a ，

则 f `(x)＝[x 2

＋(a －2)x －3－2a －a ]e

3－x

＝－[x 2

＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x

＝－(x －3)(x ＋a+1)e

3－x

.令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a

－1，由于x ＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a ≠－4.当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.当a >－4时，x 2<3＝x 1，则

在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，而f (0)＝－（2a ＋3）e 3

<0，f (4)＝（2a ＋13）e －1

>0，f (3)＝a ＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3

，a ＋6].又225()()4

x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的

值域是[a 2＋425，（a 2＋425）e 4]，由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（21-a ）2

≥0，所以只须仅须

（a 2

＋4

25）－（a ＋6）<1且a >0，解得0

【例14】已知函数

321

()(2)13