动能定理讲义

课 题

动能定理

教 学 内 容

一、上次课错题讲解 二、知识点梳理

1．定义

物体由于运动而具有的能。 2．表达式

E k ＝12

mv 2。 3．物理意义

动能是状态量，是标量。(填“矢量”或“标量”) 4．单位

动能的单位是焦耳。

1．动能的相对性

由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性，大小与参考系的选取有关，中学物理中，一般选取地面为参考系。

2．动能的变化

物体末动能与初动能之差。 即ΔE k ＝12mv 22－12

mv 2

1。

说明：(1)表达式中v 1、v 2均指瞬时速度。

(2)ΔE k >0，表示物体的动能增大；ΔE k <0，表示物体的动能减小。 (3)同一物体速度的变化量相同，但动能的变化量不相同。

1．一个小球从高处自由落下。则球在下落过程中的动能( ) A ．与它下落的距离成正比

B．与它下落距离的平方成正比C．与它运动的时间成正比D．与它运动时间的平方成正比

解析：选AD 由动能定理mgh＝1

2

mv2可知A正确；又因为h＝

1

2

gt2，代入上式得：

1

2

mg2t2＝

1

2

mv2，

所以D正确。

动能定理

1．内容

力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2．表达式

W＝1

2

mv2

2

－

1

2

mv2

1

。

3．物理意义

合外力的功是物体动能变化的量度。

4．适用条件

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。

(1)动能定理公式中等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：

①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。

②单位关系：国际单位都是焦耳。

③因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因。

(2)动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。

(3)动能定理中涉及的物理量有F、x、m、v、W、E k等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理。

(4)高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系。

2．(2013·莆田一中段考)在光滑的水平地面上，一个质量为m的物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，经过时间t后，获得动能为E k；如果要使物体由静止开始运动相同的时间t后获得的动能为2E k，可以采取( )

A．质量不变，力变为2F

B．力不变，质量变为原来的一半

C．力不变，质量变为2m

D．将质量和力都变为原来的2倍

解析：选BD 由动能定理有E k＝Fx，由运动学公式及牛顿第二定律有x＝1

2

at2，a＝

F

m

，所以E k

＝F2t2

2m

，故B、D正确。

应用动能定理求变力的功

[命题分析] 求变力的功是高考中常涉及到的一类问题，用动能定理求变力的功又是最常用的

一种方法，高考中可单独进行考查，也可作为大题中的一问进行考查。

[例1] (2012·玉溪模拟)如图5－2－1所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )

图5－2－1

A．小车克服重力所做的功是mgh

B．合外力对小车做的功是1

2 mv2

C．推力对小车做的功是1

2

mv2＋mgh

D．阻力对小车做的功是1

2

mv2＋mgh－Fx

[解析] 小车克服重力做功W＝mgh，A正确；由动能定理，小车受到的合力做的功等于小车动

能的增量，W合＝ΔE k＝1

2

mv2，B正确；由动能定理，W

合

＝W推＋W重＋W阻＝

1

2

mv2，所以推力做的功W

推

＝1

2

mv2－W

阻

－W重＝

1

2

mv2＋mgh－W

阻

，C错误；阻力对小车做的功W阻＝

1

2

mv2－W

推

－W重＝

1

2

mv2＋mgh－

Fx，D正确。

[答案] ABD

———————————————————

应用动能定理求变力做功时应注意的问题,

所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔE k。

合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能。

若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功，可以设克服该力做功为W，则表达式中应用－W；也可以设变力的功为W，则字母W本身含有负号。

——————————————————————————————————————

[变式训练]

1.如图5－2－2所示，电梯质量为M，地板上放置一质量为m的物体。钢索拉电梯由静止开始向上加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则( )

图5－2－2

A．地板对物体的支持力做的功等于1

2 mv2

B．地板对物体的支持力做的功等于mgH

C．钢索的拉力做的功等于1

2

Mv2＋MgH

D．合力对电梯M做的功等于1

2 Mv2

解析：选D 对物体m应用动能定理WF N－mgH＝1

2

mv2，故WF

N

＝mgH＋

1

2

mv2，A、B均错；以电梯

和物体整体为研究对象应用动能定理，钢索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋1

2

(M＋m)v2，故C错误；由

动能定理知，合力对电梯M做的功应等于电梯动能的变化1

2

Mv2，故D正确。

动能定理的综合应用

[命题分析] 动能定理在高考中常被单独考查，也常与牛顿运动定律、电场等知识综合考查，有时在压轴题中还会被考查到。

[例2] 如图5－2－3所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一

水平线上的P点处有一个光滑的细钉。已知OP＝L

2

，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现

小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。则：

图5－2－3

(1)小球到达B点时的速率？

(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？

(3)若初速度v0＝3gL，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

[思维流程]

第一步：抓信息关键点

关键点信息获取

(1)P点处有一光滑的细钉细线到达P点后，小球绕P点做圆周运动

(2)小球恰能到达B点小球在B点时，细线张力为零，向心力由重力提供

第二步：找解题突破口

(1)小球在B点的速度可根据“重力提供向心力”得出，若不计空气阻力，可对过程“A→B”应用动能定理求出初速度。

(2)若考虑空气阻力，根据由A→B动能的变化利用动能定理求出空气阻力做的功。

第三步：条理作答

[解析] (1)小球恰能到达最高点B ，由牛顿第二定律得mg ＝m v 2

B L

2

，得v B ＝

gL 2

。

(2)小球从A →B 由动能定理得：

－mg (L ＋L 2)＝12mv 2B －12mv 2

可求出v 0＝

7gL

2

。 (3)有阻力时，小球从A →B 由动能定理有：

－mg (L ＋L 2)－WF f ＝12mv 2B －12mv 2

解得WF f ＝

11

4

mgL 。 [答案] (1) gL 2

(2)

7gL 2 (3)11

4

mgL [变式训练]

2．某滑沙场，如图5－2－4所示，某旅游者乘滑沙橇从A 点由静止开始滑下，最后停在水平沙面上的C 点，设滑沙橇和沙面间的动摩擦因数处处相同，斜面和水平面连接处可认为是圆滑的，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙橇上不动，若测得AC 间水平距离为x ，A 点高为h ，求滑沙橇与沙面间的动摩擦因数μ。

图5－2－4

解析：设斜面与水平面所成的夹角为θ，滑沙者和滑沙橇总质量为m ，则滑沙者和滑沙橇从A 点到最低点，

重力做功W G ＝mgh ，

摩擦力做功WF f ＝－μmg cos θ·

h sin θ

滑沙者在水平面上运动时，只有滑动摩擦力做功

WF f ′＝－μmg (x －

h tan θ

)。

方法一：“隔离”过程，分段研究，设最低点物体的速度为v ，由A 点到最低点根据动能定理

得：

W G ＋WF f＝

1

2

mv2－0

在水平面上运动时，同理有：

WF

f ′＝0－

1

2

mv2，解得：μ＝

h

x

。

方法二：从A到C全过程由动能定理得：W

G

＋WF f＋WF f′＝0

解得μ＝h x 。

答案：h x

[方法总结]

动能定理综合应用问题的规范解答：

(1)基本步骤：

①选取研究对象，明确它的运动过程；

②分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：

③明确研究对象在过程的始末状态的动能E k1和E k2；

④列出动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解。

(2)注意事项：

①动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统。

②动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式。当题目中涉及位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理。

③若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑。

三、同步训练

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得6分，选错或不答的得0分．)

1．(2012·杭州模拟)人用手托着质量为m的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离l

后，速度为v (物体与手始终相对静止)，物体与手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为( )

A ．mgl

B ．0

C ．μmgl

D.12

mv 2 【解析】 因人用手托着物体沿水平方向运动，故只有人对物体做功，由动能定理可得：W

人

＝1

2

mv 2；故A 、B 错误，D 正确；因物体与手掌间存在静摩擦力，其大小不一定为μmg ，故C 不对． 【答案】 D

2．如图5－2－10所示，在高1.5 m 的光滑平台上有一个质量为2 kg 的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g ＝10 m/s 2)( )

图5－2－10

A ．10 J

B ．15 J

C ．20 J

D ．25 J

【解析】 由h ＝1

2

gt 2和v y ＝gt 得：

v y ＝30 m/s ，落地时，tan 60°＝v y

v 0可得：

v 0＝

v y

tan 60°

＝10 m/s.

小球刚被弹出时所获得的动能来源于弹簧弹力做功，由动能定律知：W ＝12mv 2

0，弹簧弹力做的功

源自弹簧弹性势能，故E p ＝W ＝1

2

mv 20＝10 J.

【答案】 A

图5－2－11

3．(2013·阳江模拟)如图5－2－11所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )

A ．mgh －1

2mv 2

B.1

2

mv 2－mgh C ．－mgh

D ．－(mgh ＋1

2

mv 2)

【解析】 由A 到C 的过程运用动能定理可得： －mgh ＋W ＝0－1

2

mv 2，

所以W ＝mgh －1

2mv 2，故A 正确．

【答案】 A

4．(2013·杭州模拟)如图5－2－12所示，图线表示作用在某物体上的合外力随时间变化的关系，若物体开始时是静止的，那么( )

图5－2－12

A ．从t ＝0开始，5 s 内物体的动能变化量为零

B ．在前5 s 内只有第1 s 末物体的动能最大

C ．在前5 s 内只有第5 s 末物体的速率最大

D ．前3 s 内合外力对物体做的功为零

【解析】 由图象可知0～1 s 的合外力的大小是1～5 s 的合外力的大小的2倍，所以加速度大小的关系也是2∶1，物体的运动状态可描述为0～1 s 物体做匀加速运动到速度最大，3 s 末减速到零，5 s 末反向加速到最大，因此5 s 内动能变化量不为零，故选项A 错；第1 s 末和第5 s 末物体的动能和速率一样大，所以选项B 、C 都不对；3 s 末减速到零，所以前3 s 内合外力对物体做的功为零，所以正确选项为D.

【答案】 D

图5－2－13

5．(2013·丹东模拟)如图5－2－13所示，水平传送带长为s ，以速度v 始终保持匀速运动，把质量为m 的货物放到A 点，货物与皮带间的动摩擦因数为μ，当货物从A 点运动到B 点的过程中，摩擦力对货物做的功不可能( )

A ．等于12mv 2

B ．小于12mv 2

C ．大于μmgs

D ．小于μmgs

【解析】 货物在传送带上相对地面的运动可能先加速后匀速，也可能一直加速而货物的最终速度小于v ，根据动能定理知摩擦力对货物做的功可能等于12mv 2，可能小于1

2mv 2，可能等于μmgs ，

可能小于μmgs ，故选C.

【答案】 C

二、双项选择题(本大题共5小题，每小题8分，共40分．全部选对的得8分，只选1个且正确的得4分，有选错或不答的得0分．)

6．起重机将物体由静止举高h 时，物体的速度为v ，下列各种说法中正确的是(不计空气阻力)( )

A ．拉力对物体所做的功等于物体动能和势能的增量

B ．拉力对物体所做的功等于物体动能的增量

C ．拉力对物体所做的功等于物体势能的增量

D ．物体克服重力所做的功等于物体势能的增量

【解析】 根据动能定理W F －W G ＝mv 2/2，W G ＝mgh ，所以W F ＝mv 2/2＋mgh ，A 正确，B 、C 错误；物体克服重力所做的功，等于物体重力势能的增量，D 正确．

【答案】 AD

图5－2－14

7．(2013·长沙模拟)如图5－2－14所示，斜面AB 和水平面BC 是由同一板材上截下的两段，在B 处用小圆弧连接．将小铁块(可视为质点)从A 处由静止释放后，它沿斜面向下滑行，进入平面，

最终静止于P处．若从该板材上再截下一段，搁置在A、P之间，构成一个新的斜面，再将小铁块放回A处，并轻推一下使之具有初速度v0，沿新斜面向下滑动．关于此情况下小铁块的运动情况的描述正确的是( )

A．小铁块一定能够到达P点

B．小铁块的初速度必须足够大才能到达P点

C．小铁块能否到达P点与小铁块的质量无关

D．以上说法均不对

【解析】如图所示，设AB＝x1，BP＝x2，AP＝x3，动摩擦因数为μ，由动能定理得：mgx1sin α－μmgx1cos α－μmgx2＝0，可得：mgx1sin α＝μmg×(x1cos α＋x2)，设小铁块沿AP滑到P

点的速度为v P，由动能定理得：mgx3sin β－μmgx3cos β＝1

2

mv2

P

－

1

2

mv2

，因x1sin α＝x3sin β，

x

1

cos α＋x2＝x3cos β，故得：v P＝v0，即小铁块可以沿AP滑到P点，与质量无关，故A、C正确．【答案】AC

8．(2012·惠州模拟)物体沿直线运动的v-t关系如图5－2－15所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则( )

图5－2－15

A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W

B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W

C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W

D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W

【解析】由题图知，第1秒末速度、第3秒末速度、第7秒末速度大小关系：v1＝v3＝v7，由

题知W＝1

2

mv2

1

－0，则由动能定理知第1秒末到第3秒末合外力做功W2＝

1

2

mv2

3

－

1

2

mv2

1

＝0，故A错．第

3秒末到第5秒末合外力做功W3＝0－1

2

mv2

3

＝－W，故B错．第5秒末到第7秒末合外力做功W4＝

1

2

mv2

7

－0＝W，故C正确．第3秒末到第4秒末合外力做功W5＝1

2

mv2

4

－

1

2

mv2

3

；因v4＝

1

2

v

3

，所以W5＝－0.75 W．故

D正确．

【答案】CD

图5－2－16

9．(2013·青岛模拟)如图5－2－16所示，一轻弹簧直立于水平地面上，质量为m的小球从距离弹簧上端B点h高处的A点自由下落，在C点小球速度达到最大．x0表示B、C两点之间的距离；E

k

表示小球在C点处的动能．若改变高度h，则下列表示x0随h变化的图象和E k随h变化的图象中正确的是( )

【解析】由题意“在C点处小球速度达到最大”，可知C点是平衡位置，小球受到的重力与

弹力平衡，该位置与h无关，B项正确；根据动能定理有mg(h＋x0)－E p＝1

2

mv2

C

＝E k，其中x0与弹性

势能E p为常数，可判断出C项正确．

【答案】BC

图5－2－17

10．如图5－2－17所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m 的物体，物体与转台间用长L的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则( )

A．由于惯性和摩擦力，物体将以O为圆心、L为半径做变速圆周运动，直到停止

B．若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为μmg2πL

C．若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功

D ．物体在转台上运动L ω2

2μg π

圈后，停止运动

【解析】 制动转台后，物体在绳子约束作用下做圆周运动，速率在减小，运动一周滑动摩擦力做功为W f ＝－μmg 2πL ，绳子的拉力对物体不做功，由动能定理可知：－N μmg 2πL ＝0－1

2

mv 2，

又v ＝ωL ，联立得物体在转台上转动的圈数为N ＝L ω2

4μg π

，A 、B 正确，C 、D 错．

【答案】 AB

三、非选择题(本题共2小题，共30分．要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)

11．(14分)(2012·湛江模拟)如图5－2－18所示，用汽车通过定滑轮拉动水平平台上的货物，若货物的质量为m ，与平台间的动摩擦因数为μ，汽车从静止开始把货物从A 拉到B 的过程中，汽车从O 到达C 点处时速度为v ，若平台的高度为h ，滑轮的大小和摩擦不计，求这一过程中汽车对货物做的功．

图5－2－18

【解析】 对货物由动能定理得

W －μmgl ＝1

2

mv 2B －0① 货物的位移l ＝

h sin 30°

－h ＝h ②

在C 点时对汽车速度进行分解得货物的速度

v B ＝v ·cos 30°＝

32

v 由①②③解得W ＝μmgh ＋3

8mv 2.

【答案】 μmgh ＋3

8

mv 2

图5－2－19

12．(16分)(2012·石家庄模拟)质量m ＝1 kg 的物体，在水平拉力F (拉力方向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4 m 时，拉力F 停止作用，运动到位移是8 m 时物体停止，运动过程中E k -x 的图象如图5－2－19所示．(g 取10 m/s 2)求：

(1)物体的初速度多大？

(2)物体和水平面间的动摩擦因数为多大？ (3)拉力F 的大小．

【解析】 (1)从图象可知初动能E k0＝2 J ， E k0＝12

mv 2

，v ＝2 m/s.

(2)在位移为4 m 处物体的动能为E k ＝10 J ，在位移为8 m 处物体的动能为零，这段过程中物体克服摩擦力做功．

设摩擦力为F f ，则 －F f x 2＝0－E k

F f ＝E k x 2＝10

4 N ＝2.

5 N

因F f ＝μmg 故μ＝F f mg ＝

2.5

10

＝0.25.

(3)物体从开始到移动4 m 这段过程中，受拉力F 和摩擦力F f 的作用，合力为F －F f ，根据动能定理有

(F －F f )·x 1＝E k －E k0

故得F ＝E k －E k0x 1＋F f ＝(10－24＋2.5) N ＝4.5 N.

【答案】 (1)2 m/s (2)0.25 (3)4.5 N