工程优化目标函数的几种极值求解方法c编程.docx

目标函数极值求解的几种方法

题目：分别用最速下降法，牛顿法，共辘梯度法，拟牛顿法求函数/ = （^-1）2 +5（兀2 -5）2 +（心一1）2 +5（兀4 一5）2的最小值，初始点自拟。

一维搜索法：

迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点兀⑷后需要按某种规则确定一个方向d⑷，再从兀⑷岀发，沿方向d⑹在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到X⑷的后继点兀如），重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。

一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。这里采用的是第一类试探法屮的黄金分割法。实现过程如下：

（1）置初始区间［40］及精度要求L>0,计算试探点人和"，计算函数值/（人）和/（Ai）,计算公式是：人二⑷+0.382（勺-绚），M =4+0.618（$-?）。令k二1。

（2）若如-蘇“则停止计算。否则，当/（几）>/（弘）吋，转步骤（3）；当 /（以）5/仏）时，转步骤⑷o

（3）置昭1=4,优+1=勺，入+严儿,儿+i 如+0?6180如一％丄计算函数值八心,转⑸。

（4）置= a k, b k+i = A , A+i =以,

入+1 二+ °?382仇+| - 务和），

计算

函数值/（入」，转⑸。

最速下降法实现原理描述：在求日标函数极小值问题时，总希望从一点出发，选择一个日标函数值下降最快的方向，以利于尽快达到极小点，正是基于这样一种愿望提出的最速下降法，并且经过一系列理论推导研究可知，负梯度方向为最

速下降方向。

最速下降法的迭代公式是兀如）=无“）+牝⑷，其中卅）是从用出发的搜索方

向,这里取在点M处最速下降方向，即d⑷=-V/（/ ）oA,是从用出发沿方向少）进行的一维搜索步长,满足卅）+ 刑））=min .f（兀⑷+加⑹）。

实现步骤如下：

（1）给定初点兀⑴wR",允许误差￡>0,置k=l。

（2）计算搜索方向〃）=-▽/（#）,若⑷|"，则停止计算；否则，从用出发,

沿方向〃⑹进行的一维搜索,求入，使/（兀⑷+心〃⑷卜min/（兀⑷+加⑷）。

久no

（3）兀（曲）=兀伙）+心〃⑷，置k二k+1返冋步骤（2）。

牛顿法

牛顿法迭代公式：代丄朋+入少），少）是在点严）处的牛顿方向，〃

⑷⑷）」号6⑷），心是从*）出发沿牛顿方向〃⑷进行搜索的最优步长。

（1）给定初点X（1） G R n ,允许误差￡〉0,置k二1。

（2）计算严=巧（十），若||g⑹卜￡，则停止计算；否则，转⑶。

（3）计算^=-V2f（x（k））~l g^从M出发，沿方向d⑹进行的一维搜索，求心，使/（兀⑷+入d⑷）二min/G⑷+加⑷），*如）=*）+入d⑹，置k二k+1返回步骤⑵。

共辄梯度法

若d⑴，〃⑵，…,〃⑹是疋屮k个方向，它们两两关于A共辘，即满足泸TAd⑴= O,iHj;i,j = \,…，k,称这组方向为A的k个共辘方向。共辘梯度法的基本思想

是把共觇性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共觇方

向，并沿这组方向进行搜索，求岀目标函数的极小点，根据共辘方向的基本性质

这种方法具有二次终止性。

实现步骤如下:

⑴ 给定初点x｛］）eR n ,允许误差￡>0；

（2）若酚（刊卜￡,则停止计算；否则，转⑶；

（3）置〃⑴二-中6⑴），k=lo

（4）作一维搜索，求入，满足/卅）+ 2皿⑷）=哦1/岸）+加⑹）；

（5）令少）*）+ 2肿,求g（Z=Vf（兀仙））。

⑹ 若||gE）|"，则停止计算；否则，转⑺；

⑺若k=n,则令兀（】）=兀決）,转⑶;否则，转8）；

令〃（如）=-&（如）+0皿⑷，其中仅置k=k+l,转⑷。

程序

#include

#include

#include

#define N 100

double F(double x[],double p[],double xi[],double ba[],int n,double t) {

double f=0;

int i;

for(i=0;i

return f;

}

double HJFC(double xf],double pf],double xif],double ba[],int n)

{

double a二0,b二10,xl,x2,fl,f2,e=0.0001,y;

x2=a+0.618*(b-a);

f2 二F(x,p,xi,ba,n,x2);

xl=a+0.382*(b-a);

fl=F(x,p,xi,ba,n,xl);

while(fabs(b-a)>e)

if(fl

{

b=x2;x2=xl;f2=fl;

xl=a+0.382*(b-a);

f 1 二F(x,p,xi,ba,n,x 1);

}

else if(fl==f2)

{

a=xl ;b=x2;

x2=a+0.618*(b-a);

f2二F(x,p,xi,ba,n,x2);

xl=a+0.382*(b-a);

fl =F(x,p,xi,ba,n,x 1);

)

else

{

a=xl;xl=x2;fl=f2;

x2=a+0.618*(b-a);

f2=F(x,p,xi,ba,n,x2);

}

}

y 二0.5*(b+a);

return y;

}

void zuisu(doiible x[],double xi[],double ba[],int n) { int i,k=l;

double sum,eps,arph,g[N],p[N];

eps=0.00()001;

sum=0;

for(i=0;i

{

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]);

p[i]=-g[i]； sum=sum+p[i] *p[i];

1

i=0;

while(sqrt(sum)>eps&&i

{

sum=0;

arph二HJFC(x,p,xi,ba,n);

for(i=0;i

x[i]=x[i]+arph*p[i];

g[i]=2*xili]*(x[i]-ba[ij);

p[i]=-g[i]；

sum=sum+pfi]*pfi];

}

printf(“第％(1 次迭代:\n\n\k); printfC*步长lambda=%f\n*',arph); for(i=0;i

printf(,,x[%d]=%f\t,,,i,x[i]); printf("\n\n M); k++;

}

printf(H最后结果为：\n”)；

for(i=0;i

printf(”x[%d]=%hn“,i,x[i]);

1

void gonge(double xLJ,double xi[J,double ba[],int n) {

int k=l,i;

double suml,sum2,eps,bita,arph,g[N],p[N];

eps=0.000001;

sum 1=0;

for(i=0;i

{

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]);

suml+二g[i]*g[i];

}

while((sqrt(sum 1 )>eps)&&(k

{

if(k==l)

{

for(i=0;i

p[i]=-g[i]；

bita=0;

}

else

{

bita=suml/sum2;

for(i=0;i

p[i]=-g[i]+bita*p[i];

}

arph=HJFC(x,p,xi,ba,n);

sum 1=0;

sum2=0;

fdr(i=O;i

x[i]=x[i]+arph*p[i];

gfn+i]=g[i];

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]); suml+=g[i]*g[i]; sum2+=g[n+i]*g[n+i];

}

printf(”第％d 次迭代:\n\n H,k); printfC*步长lambda=%f\t",arph); printf("bita=%f\t\n",bita);

for(i=0;i

printf(H x[%d]=%f\t n,i,x[i]);

printf(n\n\n n);

k++;

} printf("最后结果为：\n");

for(i=0;i

printf(n x[%d]=%f\n u,i,x[i]);

}

void niudun(double x[],double xi[],double ba[],int n) {

int k=l,i,j;

double sum,eps,arph,g[N],p[Nl,h[N][Nl;

eps=0.000001;

sum=0;

for(i=0;i

{

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]); sum+=g[il*g[i];

}

printf(”过程\n\rT); while((sqrt(sum)>eps)&&(k

{

fdr(i=0;i

for(j=0;j

else

h[il[j]=O;

for(i=0;i

p[i]=0；

for(i=0;i

for(j=0;j< n;j++)

p[i]=p[i]+h[i][j]*g[j];

arph=HJFC(x,p,xi,ba,n);

sum=O;

for(i=0;i

{

x[i]=x[i]+arph*p[i]; g[i]=2*xili]*(x[i]-ba[ij); sum+=g[i]*g[i];

}

printf(”第％d 次迭代：\n\n”,k); printf("步长lambda=%f\n",arph); for(i=0;i

printf(,,x[%d]=%f\t,,,i,x[i]); printf(,,\n\n H);

k++;

} printf("最后结果为:\n M);

for(i=0;i

printf(,,x[%d]=%f\n,,,i,x[i]);

}

void main()

{

int i,n;

double x[N],xifN],ba[N];

printf(“请输入函数的元数:“)；

scanf(” ％d“,&n);

printf(”请输入函数的系数:“); for(i=0;i

printf(”请输入ba[i]的值:“);

for(i=0;i

printf(”请输入初始值:\n”); for(i=0;i

/* printfC'最速下降法迭代过程:\n”)；

zuisu(x,xi,ba,n);*/

/* printfC牛顿法迭代过程:\n”)；

niudun(x,xi,ba,n);*/

printfC*共轨梯度法迭代过程:\n“)； gonge(x,xi,ba,n);