常微分方程学习活动4 第二章基本定理的综合练习 全解

常微分方程学习活动4

第二章 基本定理的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题 1. 方程

)sin(d d 22y x y x

y

+=的任一非零解 不能 与x 轴相交． 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 充分 条件． 3. 方程y '+ y sin x = e x 的任一解的存在区间必是 (-∞,+∞) ． 4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 开区间 ．

5．方程

22d d y x x y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 6．方程y x x y

cos sin d d ?=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．

7．方程y x x y

sin d d 2+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．

8．方程1d d +=y x

y

满足解的存在唯一性定理条件的区域是 }0),{(2>∈=y R y x D ，

（或不含x 轴的上半平面） ． 9．方程

2

21)1(d d y x y y x y ++-=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 全平面 ． 10．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．

二、计算题

1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？ （1）2

2y x y +='

解 （1) 因为22

(,)f x y x y =+及(,)2y f x y y '=在整个xoy 平面上连续, 且满足存在

唯一性定理条件, 所以在整个xoy 平面上, 初值解存在且唯一.

（2）y x y sin +='

因为(,)sin f x y x y =+及(,)cos y f x y y '=在整个xoy 平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个xoy 平面上, 初值解存在且唯一.

2．讨论方程

3

1

2

3d d y x y =在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过)0,0(的一切解． 解 因为方程1

33(,)2

f x y y =在整个xoy 平面上连续, 2

3

1(,)2y f x y y '=除x 轴外, 在整个xoy 平面上有界, 所以除x 轴外在整个xoy 平面上都满足定理2.1的条件. 而后分离变量

并积分可求出方程的通解为32

(),,y x c x c =±-> 其中0.c ≥ 另外容易验证0y =是方程的特解. 因此通过(0,0)的解有无穷多个, 分别是:

33

220,0,0;

; .(),(),x c x c y y y x c x c x c x c

≤≤????===????->-->??

3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解． （1）

x y x

y -=d d

因为(,)f x y =

y x ≥上连续

, (,)y f x y '=

当y x =时无界, 所以

如果存在奇解只能是y x =, 但y x =不是方程的解, 故方程无奇解. （2）

y x x x

y

2d d 2+±-=

因为(,)f x y x =-在2

2

x y ≤-的区域上连续

, (,)y f x y '=当

22x y =-时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是2.2x y =- 显然2

2

x y =-是方程的

解, 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解2

1.2

y cx c =±+

由此可见对于x 轴上点(0,0), 存在通过该点的两个解: 22x y =-及0.y = 故2

2

x y =-是奇解. (如图2-2

所示)

三、证明题

1．试证明：对于任意的0x 及满足条件10<

21)

1(d d y x y y x y ++-=的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．

证明 首先1y =和0y =是方程在(,)-∞+∞的解. 易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件. 现在考虑过初值00(,)x y (001y <<)的解, 根据唯一性, 该解不能穿过直线1y =和0y =. 因此只有可能向左右两侧延展, 从而该初值解应在

(,)-∞+∞上存在.

2．设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(d d y x f x

y

=的任一解)(x y ?=在区间),(∞+-∞上有定义．

证明 不妨设2

|(,)|,(,).f x y M x y R

200:()l y y M x x =--.

设过点00(,)x y 的初值解为()y y x =. 因为0|()|y x M '<, 故在0x 的某一右邻域内,积分曲线()y y x =位于1l 之下, 2l 之上.

下证曲线0(),y y x x x =>不能与直线1l 相交. 若不然, 10x x ?>使得

1010()(),y x y M x x =+-且0001()(),(,)y x y M x x x x x <+-∈, 但由拉格郎日中值定理,

01(,)x x ξ?∈, 使得1010

()()

()y x y x y M x x ξ-'=

=-. 矛盾. 此矛盾证明曲线0(),y y x x x =>不

能与直线1l 相交. 同理可证, 当0x x >时, 它也不能与2l 相交. 故当 0x x >时解曲线

()y y x =位于直线1l , 2l 之间.

同理可证, 当0x x <时, 解曲线()y y x =也位于直线1l , 2l 之间. 由延展定理,

()y y x =的存在区间为(,)-∞∞。

3．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程

y x x

y

sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然1±=y 是方程的两个常数解．

任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10

)()(d d y y f x

y

?=中，已知)(y f ，)(x ?'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±?．求证：对任意0x 和10

证明 由已知条件可知，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 Λ,2,1,0,

±±==k k y π．

对平面内任一点),(00y x ，若πk y =0，则过该点的解是πk y =，显然是在),(∞+-∞上有定义．

若πk y ≠0,则))1(,(0ππ+∈k k y ,记过该点的解为)(x y y =，那么一方面解

)(x y y =可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域

k y k x y x (,),({<<π+∞<<∞- })1π+内)(x y 不能上、下穿过解π)1(+=k y 和

πk y =，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为),(∞+-∞．

5．假设方程

),(d d y x f x

y

=在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且)(1x y ，)(2x y 是定义在区间I 上的两个解．求证：若)(01x y <)(02x y ，I x ∈0，则在区间I 上必有)(1x y <

)(2x y 成立．

证明 仅证0x x ≥方向，（反之亦然）．

假设存在0x x ≥，使得)(1x y >)(2x y （)(1x y =)(2x y 不可能出现，否则与解惟一矛盾）． 令)(x y =)(1x y -)(2x y ，那么

)(0x y =)(01x y -)(02x y < 0， )(x y =)(1x y -)(2x y > 0

由连续函数介值定理，存在),(0*

x x x ∈，使得

)(*x y =)(*

1x y -)(*

2x y = 0 即 )(*

1x y =)(*

2x y

这与解惟一矛盾

6．设)(x y 是方程

0)(d d )(d d 2

2=++y x q x y

x P x

y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有

0d d 0

≠=x x x

y

．

证明 由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件． 设)(x y 是方程的一个非零解，假如它满足 0)(0=x y ，

0d d 0

==x x x

y ，

由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有0)(≡x y ，这与)(x y 是非零解矛盾．

7．设)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，求证：对任意的),(0∞+-∞∈x ，10

)()1(d d 2y f y x

y

-= 满足初值条件00)(y x y =的解必在),(∞+-∞上存在．

证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理． 又 1±=y 是该方程的两个常数解．

现取),(0∞+-∞∈x ，10

),(∞+-∞．

8．证明：一阶微分方程

1

sin d d 22++=y x y x y 的任一解的存在区间必是(,)-∞+∞．

证明 方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又,0,1,2,,y k k π==±±L 是方程的常数解．

对平面上任取的00(,)x y

若0y k π=则对应的是常数解y k π=其存在区间显然是(,)-∞+∞

若0(,(1)y k k ππ∈+)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越

y k π=和(1)y k π=+，于是解的存在区间必是(,)-∞+∞．

四、应用题

1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在y x ,轴上的截距之和为1．

解 首先, 由解析几何知识可知, 满足 1a b += 的直线

1x y

a b

+= 都是所求曲线.

设 (x , y ) 为所求曲线上的点，(X , Y )为其切线上的点, 则过 (x , y ) 的切线方程为

()Y y y X x '-=-.

显然有 ,,y

a x

b y xy y

'=-

=-' 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 1y

x y xy y '-

+-='

. 解出y, 得到克莱洛方程

1

y y xy y '

'=+

'-, 通解为 , 1.1

C

y Cx C C =+

≠- 所以 2

110(1)

C y Cx C x C ?

=+?-???-=-?? , 即

211(1)C y Cx C x C ?

=+?-?

??=

-??

为所求曲线方程.

2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数a ．

解 设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为

()Y y y X x '-=-.

显然有 ,,y

a x

b y xy y '=-

=-'

此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 22

211()y xy a y ??'+-= ?

'??

, 即2

22

()y x y xy a y ??'--= ?'??. 解出y 得

y xy '=

故曲线的方程为

3

22

.(1)y cx a x c ?

=±??

?=??+?

m

消去c 即的曲线方程为 2

223

3

3

x y a +=.