初三一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结

考点一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

考点三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III 当△<0时，一元二次方程没有实数根

考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a

b x x -=+21，a

c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点五、一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了

一元二次方程易错题

一、选择题

1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）

A 、1

B 、2

C 、1或2

D 、0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）

A ．45250x +=

B ．245(1)50x +=

C ．250(1)45x -=

D ．45(12)50x +=

3、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b a a b

+的值是（ ）

A ．22n + 22n --

B ．22n -+

C ．22n -

D ．

4、 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b)x 2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）

A ．没有实数根

B ．可能有且只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根 5、已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）

A ．－5 B.5 C.-9 D.9

6、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

A ．ab

B ．a b

C ．a b +

D ．a b -

7、112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ）

A ．121-<<-x

B ．011<<-x

C ．101<

D ．211<

8、关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且

22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）

A ．1

B ．12

C ．13

D ．25

9、中江县2011年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片

向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据

题意，列出方程为( )

A 、2450)1(=-x x

B 、2450)1(=+x x

C 、2450)1(2=+x x

D 、24502

)1(=-x x 10、若关于x 的一元二次方程

()0122=-+-k x x k 的一个根为1，则k 的值为 ( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．0或1

11、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）

A ．2006

B ．2007

C ．2008

D ．2009

12、对于一元二次方程ax 2+bx+c=O(a≠0)，下列说法：

①若a+c=0，方程ax 2+bx+c=O 必有实数根；

②若b2+4ac<0，则方程ax 2+bx+c=O 一定有实数根；

③若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=O 一定有两个不等实数根；

④若方程ax 2+bx+c=O 有两个实数根，则方程cx 2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( )

A ．①② B．①③ C．②③ D．①③④

二、填空题

1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ．

2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x －3=0的两个根，

2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ．

3、方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．

4、已知关于x 的一元二次方程

)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222

-+-b a ab 的值为__________． 5、在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，则△ABC 的周长为__________．

6、已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．

设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，则K 的值为__________．

7、已知m 、n 是方程2200320040x x -+=的两根，则

2(20042005)n n -+与2(20042005)m m -+的积是 .

三、简答题

1、已知x 是一元二次方程

0132=-+x x 的实数根，求代数式：

??? ??--+÷--2526332x x x x x 的值．

2、已知关于x 的一元二次方程

()22210x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x 。

（1）求实数m 的取值范围；

（2）当22120x x -=时，求m 的值。 （友情提示：若1x 、2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠两根，则有

12b x x a +=-，

12c x x a =）

3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x 。

（1）衣用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；

（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x 的值；

4、若关于x 的一元二次方程

012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、． 求实数k 的取值范围；

设

k t β

α+=，求t 的最小值．