全国初中数学竞赛二次函数历届考题

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题

11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。

解：存在满足条件的二次函数。

因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。

由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得

2552a b c -+= ①

当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++

由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2， 故 2a b c ++= ②

由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分 当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥ 所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故

20

(42)4(25)0a a a a ??---≤? 即20,(31)0,

a a ??-≤? 所以13a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥， 所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故

210,(4)4(1)(51)0,a a a a -??----≤?即21,(31)0,

a a ??-≤?所以13a = 综上，141,4,25333

a b a c a ====-=

所以，存在二次函数23141333

y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132y y y ≤≤成立。 ……………15分

11（2009）．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．

解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分

设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k +=--=，当

且仅当满足如下条件

1212

0,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ???-+->??-->?≥ ………………10分

时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．

由 222(21)40,210,20,k k k k k ?--?-->??+>?

≥

解之，得 1,41,220.k k k k ????<-??<->???

≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．

………………20分 12（2010）．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x

=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3

（O 为坐标原点）.

（1）求实数a ，b ，k 的值；

（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一

点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.

解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x

=

上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x

y 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t

=+???=+??，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +?

? ???

，故 ()141132AOB t S t t

?+=?-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝2

1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2

y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=??-=-?，， 解得13.

a b =??=?， …………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO

＝42. 又BO =22，所以

2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，

则点D 的坐标为（3-，0）.

因为∠COD ＝∠BOD ＝45?，所以∠COB =90?.

（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90?，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.

延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点. （ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．

所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）

13（2011）．点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223

y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；

（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60o，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.

解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐

标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由

223y kx t y x =+???=??

，， 得 2203x kx t --=，

于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-. 于是 222323

P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD

=. 因为∠BCP =∠90BDQ =?，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .

（2） 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知

∠ABP =∠30ABQ =?，BC

，BD

，

所以 AC

2-，AD

=2

.

因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .

于是PC AC

DQ AD

=，即a b ，

所以a b +=．

由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，

于是可求得2a b ==

将b =代入223y x =，得到点Q ，12）.

再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k =

所以直线PQ 的函数解析式为1y =+. 11（2007）、已知抛物线C 1：234y x x =--+和抛物线C 2：

234y x x =--相交于A ，B 两点。点P 在抛物线C 1上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线C 2上，也位于点A 和点B 之间。

（1）求线段AB 的长； 104

（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值。 t=0时，PQ=8