经济数学基础讲义 第7章 多元函数微分学

第4章 多元函数微分学

4.2.1 二元函数的概念

多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．

一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等． 例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v

它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域：

{}

0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数：

),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数．

例4 求函数222y x a z --=

的定义域．

解：02

22≥--y x a ，定义域为{

}

2

22),(a y x y x D ≤+=

例5 求y

y x z )

ln(+=

的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有

?

?

?>+>00

y x y {}0,0),(>+>=y x y y x D

4.3 ——4.4偏导数

二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数

x

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

（注意到：y 取值不变，恒为0y ）

记作：

)

,(00y x x z

??或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数：

y

y x f y y x f y ?-?+→?)

,(),(lim

00000

例如：y x z 3sin 2

=

y x y x f y

z

y 3cos 3),(2='=?? 3

3cos 3)0,1()

0,1(2)0,1(=='=??y x f y z

y

求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x 求偏导，一个是对y 求偏导.对x 求偏导时，应把y 看作常数.这样z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y 求偏导也类似. 注意：

一元函数)(x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续.

多元函数),(y x f z =在),(00y x 可导和在),(00y x 连续，二者不能互推. 全微分

),(y x f z =称

y y

z x x z y y

z x x z z d d d ??+??=???+???=

为函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分.

例1: 求y x y x f z 3sin ),(2

==在点)0,1(处关于x 的偏导数.

解： 将y 看作常数，

y x x

z 3sin 2=??，03sin 2)0,1()0,1(==??y x x z 例2: 求x

y

y x z +

=2

在点)1,1(-处的全微分. 解： 112)2()

1,1(2

)1,1(-=+-=-=??--x y xy x z ，2)1()1,1(2

)1,1(=+=??--x x y z 因此，y x z d 2d d +-= 4.5 复合函数与隐函数微分法

复合函数求导法

设),(v u f z =，而),(y x u u =，),(y x v v =，则

x

v

v z x u u z x z ????+????=??， y v v z y u u z y z ????+????=??

例1: )sin(e

y x z xy

+=.

解法1：（利用复合求导公式）设xy u =，y x v +=，则v z u sin e =

x

v v z x u u z x z ????+????=??1)cos e ()sin e (?+?=v y v u u )cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= v z u sin e =，xy u =，y x v +=

y

v v z y u u z y z ????+????=??1)cos e ()sin e (?+?=v x v u u )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++= 解法2：（直接求）

x

y x y x x x z xy

xy ?+?++??=??))

(sin(e )sin()e ()cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= 同理，

=??y

z

)cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++ 例2:),(y x xy f z +=，求

y

z x z ????,． 解:设y x v xy u +==,,则),(v u f z =，

x

v

v z x u u z x z ????+

????=??1?'+?'=v u f y f v u f f y '+'= y

v v z y u u z y z ????+????=??1?'+?'=v u f x f v u f f x '+'= 例3 ),(2

xy x f z =，求

解: 设2

,xy v x u ==,则),(v u f z =，

x

v

v z x u u z x z ????+

????=??21y f f v u ?'+?'= v u f y f '+'=2v f xy '=2

例4 )sin ,3(2

x x f z =，求

dx

dz ． 注意：f 是二元函数：),(v u f ， x v x u sin ,32== 而z 是关于v u ,的二元函数，最终是关于x 的一元函数．

x

v

v z x u u z x z d d d d d d ??+

??=x f x f v u cos 6?'+?'= 例5 )(3

2

y x f z =，求

y

z x z ????,．

注意：f 是一元函数，而z 是关于y x ,的二元函数．

32),(y x u u f z ==，

32xy f x

u

f x z ?'=???'=??，223y x f y u f y z ?'=???'=?? 例6 方程)0(0),(222≥=-+=y a y x y x F 其图形为上半圆周，相应的函数为

2

2

)(x a x y y -==。显然，2

222d d x a x x

y --=y x

-= 另一种观点：0222=-+a y x ，0)(2

22≡-+a x y x

022:d d

='+y y x x

，y x y -='

例7 设函数)(x y y =由方程02e ln =-+xy

y y x 所确定，求 )(x y '

解: 无法由已知方程解出)(x y ．但此)(x y 应满足 02e

)()(ln )

(≡-+x xy x y x y x

xy y y

y x y x e ln :d d '+'+0)(='++y x y ye xy 由此解出:y 'xy

xy xy

xy y x y y y y e

e e ln 23+++-='， 4.6 二元函数的极值 二元函数的极值

多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．

若对),(00y x 附近的),(y x 均有),(),(00y x f y x f <，则称),(00y x 是),(y x f 的极小点，),(00y x f 是极小值．若

，则称是的极大点，是极大值．

极大值点、极小值点统称为极值点．极大值、极小值统称为极值． 极值存在的必要条件

若一元函数)(x f y =在0x 处可导，且0x 是极值点，则0)(0='x f 若二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可导，且),(00y x 是极值点，则

0),(00='y x f x ，0),(00='y x f y

二元函数最大值、最小值

若),(y x f z =在闭区域D 内连续，则),(y x f z =在D 内必有最大值和最小值．

若),(y x f z =在D 内可导，且在D 内有唯一驻点),(00y x ，则),(y x f z =在该驻点

),(00y x 处的值就是最大值或最小值．

下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤： （1）根据题意，建立函数关系； （2）求驻点；

如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）．

例2 用铁皮做一个体积为V 的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？ 解：设长、宽分别为y x ,，则高为

xy

V

，表面积为 xy V

y xy V x

xy S 22++=x

V y V xy 22++= 022

=-='x

V y S x

，022=-='y V x S y 解得3

2V y x ==，此时高为2

23

V

xy V =

答：当长、宽、高分别为32V 、3

2V 、

2

23

V

时，无盖箱子用料最省． 4.6.3 条件极值

在例2中，给定体积V ，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh 在条件xyh=V 下的最小值． 拉格朗日乘数法

求函数),,(z y x f 在条件0),,(=z y x φ下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法： 令拉格朗日函数：),,(),,(z y x z y x f F λφ+= 求),,(),,(z y x z y x f F λφ+=的（无条件）极值：

,0,0,0=??=??=??z

F

y F x F

0),,(==??z y x F

φλ

解此方程组．

用拉格朗日乘数法解例2：

求原题即为求yh xh xy S 22++=在条件V xyh =下的最小值． 令)(22V xyh yh xh xy L -+++=λ

,022,02,02=++=??=++=??=++=??xy y x h

L

xh h x y L

yh h y x L

λλλ V xyh = 由此可得：

λ-=+=+=+xy

y

x xh h x yh h y 2222 解得h y x 2== 由此可得：

λ-=+=+=+xy

y

x xh h x yh h y 2222 解得h y x 2==

再由V xyh =，解得3

22V h y x ===