2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练 利用同构解决双参数恒成立问题(含答案与解析)

专题09 利用同构解决双参数恒成立问题

[高考真题]

例1 （2020·山东·21）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+，若()1f x ≥，求a 的取值范围.

【解析】将()1f x ≥按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形： 由1()e ln ln 1x f x a x a -=-+≥移项得：1e ln ln 1x a a x -+≥?+

即ln 1e ln ln 1a x a x +-+≥+，两边同时加（1x -）得ln 1e ln 1ln a x x a x x +-++-≥+ 即()ln 1ln e ln 1ln a x x x a x e +-++-≥+

设()e x g x x =+，则()1e 0x g x '=+>，所以()g x 单增

所以ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 10x x a -+-≥

设()ln ln 1h x x x a =-+-，则1()1h x x

'=-，所以()h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增， 所以min ()(1)ln 10h x h a ==-≥，所以1a ≥.

点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．

例2 对于任意实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，求a 的取值范围.

解法一：将22ln ln 0x ae x a -+≥变形为22ln x x ae a ≥，212ln x x e a a

≥（说明：将参数移至一边）

两边同时乘x 得22ln x x x xe a a

≥（说明：目的是凑右边的结构） 即ln 22ln ln x x

a x x x xe e a a a ≥=（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#） 设()x g x xe =，则()()10x g x x e '=+>，()g x 单增

故由（#）得2ln x x a

≥，ln ln 2a x x ≥- 再令()ln 2h x x x =-，则1()2h x x '=-，易知当max 1()()ln 212

h x h ==-- 所以ln ln21a ≥--，即12a e

≥. 解法二：将22ln ln 0x ae x a -+≥变形为ln 22ln ln 0a x e x a +-+≥，即ln 22ln 2ln 2a x e a x ++≥ ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2a x x e x a x x e x +++≥+=+

设()x g x e x =+，易知()g x 单增

故2ln2ln2x a x +≥（以下同解法一，从略）.

点评：

（1） 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进

行“改头换面”，常用的方法有：ln x x e =、ln x x x xe e +=、22ln x x x x e e +=、

ln x x x e e x -+=、ln ln ln x a ax +=、ln 1ln x x e

-=，有时也需要对两边同时加、乘某式等.

（2） ln x x 与x xe 为常见同构式：ln ln ln x x x xe =，ln x x x xe e e =；ln x x +与x x e +为

常见同构式：ln ln ln x x x x e +=+，ln x x x x e e e +=+.

[强化训练]

1. 对于任意实数0x >，不等式ln 0x

e x λλ-≥恒成立，则λ的最大值是_____.

【答案】e

2. 关于x 的不等式1ln (1)x xe k x k x +≥++对任意0x >（其中0k >）恒成立，则k 的取值范围是_____.

【答案】(]0,e

3. 关于x 的不等式23(3)2ln 1x x e k x x ≥+++对任意0x >恒成立，则k 的取值

范围是_____.【答案】(],0

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