高一数学第一学期讲义10基本函数
讲义十：函数的基本性质——奇偶性
(一)、基本概念及知识体系：
教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点：熟练判别函数的奇偶性。
教学难点：理解奇偶性。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：什么叫增函数、减函数？
★2.指岀f(x)=2x2-1的单调区间及单调性。一变题：2X2-1∣的单调区间
★ 3.对于f(x)=X?f(x)=χ2?f(χ)=χ3?f(χ)=χ",分别比较f(x)与f (―X)O
二、讲授新课：
1.教学奇函数、偶函数的概念：
①给出两组图象：f(x) = x> /(X) = - f(χ) = χ? f (X) = X2 /(X)=IxI?
发现各组图象的共同特征一探究函数解析式在函数值方而的特征
②定义偶函数:一般地，对于函数/(X)定义域内的任意一个X,都有f(-x) = f(x),那么函数/Cr)叫偶函数(even function).
③探究：仿照偶函数的立义给出奇函数(Odd function)的定义.
(如果对于函数泄义域内的任意一个X,都有f(-χ) = -f(χ)),那么函数/(X)叫奇函数。
④讨论：左义域特点？与单调性立义的区别？图象特点？(泄义域关于原点对称：整体性)
⑤练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。
2.教学奇偶性判别：
?例1：判别下列函数的奇偶性：
f (x) = ' f(x) = VP? f (x) =—4x fl+5x'、f (x) = Vx ÷-r ' f(x)=2x^4+3°
X i
★判别下列函数的奇偶性：
f (x) — x÷l + x—1 f(x) =丄、f(x)=x+ 丄、f (x) ——、f (x) =χ2, x∈［-2, 3］
L A- 1 + χ-
③小结奇偶性判别方法：先考察泄义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-X)的关系。一思考：f(χ)=O的奇偶性？
3.教学奇偶性与单调性综合的问题：
★例3：已知f(x)是奇函数，且在(0,+8)上是减函数，问f(x)的(-8,0)上的单调性。
②找一例子说明判别结果(特例法)一按左义求单涮性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。(小结：设一转化一单调应用一奇偶应用一结论)
③变题：已知f(x)是偶函数，且在［a,b］上是减函数，试判断f(x)在［-b,-a］上的单调性，并给岀证明。
三、巩固练习：
1.设f(x)=ax7+bx÷5,已知f(-7)=-17,求f (7)的值。(答案为27)
2.已知仏)是奇函数，弘)是偶函数，且f(x)-δ(x)=-Lτ,求仏)、S
3.已知函数f(x),对任意实数x、y?都有f (x+y)=f(x)+f(y),试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)
4. ___________________________________________________________________ 已知f(x)是奇函数，且在［3, 7］是增函数且最大值为4,那么f(x)在［-7, -3］上是( __________ )
函数，且最—值是_________ 。
四、巩固提髙练习：
★【题1】▲①已知函数y = f(2x + ?)是偶函数，则一立是函数y = f(2x)图象的对称轴的
B、X = O
直线是()A、X = --
2
▲②函数y=f (χ)与y=g (χ)的图象如所示：
则函数y=f(x) ? g(x)的图象可能为()
【★题2】设泄义于［-2, 2］上的偶函数在区间［0? 2］上单调递
增,
(l-m)
（解.? ［★题3】①设函数/(x)是R上的偶函数，且当x∈［0, +8)时，/(x)=SinX÷√,求岀函数/(x) 的表达式；②已知/(x)是R上的奇函数，且当x∈ (-8, 0)时，有/(χ)=2x+cosx,求出函数/(x) 的表达式 【★题4】已知函数/(X)的龙义域为R,且满足/ (x+2) =-/(X)： ①求证：f (X )是周期函数；②设/(X )为奇函数，且OWXWI 时/(X )求/(X )= -1 y 的所有X 之值 解、周期为4,在一个周期上的根为x=-l,则所有的根为x=4n-l; (n ∈z) 【★题5】设a 为实数，函数/(X )= X 2+ x-a +1 ( x ∈R) ①讨论函数f (X )的奇偶性；②求函数f (X )的最小值 ★【题6】(2006年辽宁文科T2)设/(x)是R 上的任意函数，下列叙述正确的是() A 、/(Λ)∕(-Λ-)是奇函数； B 、/(x)∣∕(-x)∣ 是奇函数； C 、/(x) + ∕(-x)是偶函数： D 、f(x)-f(-x)是偶函数 ?解：A 中：F(X) = f(x)f(-x)贝IJ F(-x) = /(-Λ-)/(X) = F(A),即 函数 F(X) = /(Λ-)∕(-A-)为偶函数：B 中：F(X) =/(x)∣∕(-x)∣, Γ(-x) = ∕(-x)∣∕(Λ)∣此时 F(X)与F(-x)的关系不能确圧，即函数FM = f(x)?f(~x)?的奇偶性不确定；C 中： F(X) =/(Λ?)-∕(-X ) , F(-x) = /(-X )-/(Λ) = -F(X),即函 数 F(X) = f(x) - f(-x)为奇函数：D 中 F(X) = f(x) + f(-x), F(-Λ) = /(-X )+ f(x) = FM ,即函数 F(X) = /(X) + f(~x)为 偶函数，故选择答案C 。 ★【题7】①已知函数y√(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0, 1］ 上的图象如所示为线段AB ，求出它在区间［1, 2］上的表达式 ②已知定义于［-π, π］上的函数/ (x). g (X )分别是偶函数、奇函数， f (X ) 且它们在［0,兀］上的图象如图所示，则不等式2-τL V<0的解集是 g ?x) (答案： ( Zr 、 Z TC -T O)U ?πυ -2Λ +b 【★题8］ (2006年重庆文科T21题? 12分)已知泄义域为R 的函数/(X)= —是奇 2 +a 2 1 y A (0, 2) ?B (I , D ■ -l ■ -1 β 1 2 函数。(I)求αb的值:(II)若对任意的re/?,不等式/(r-2r) + ∕(2r-∕r)< O恒成 立，求k的取值范用： Z? — 1 i-2r 解：(【)因为/(x)是奇函数，所以/(x)=0,即—— = O=>∕7 = 1Λ/(X) = ——-又a+2 a+2 1—2 1-- 由f (1)二-f (-1)知一=——^6/ = 2.: (II)解法一：由(【)知α+4a+? 1-2r 1 1 = = "^ + 2r M,易知八力在(YQ,+9)上为减函数。又因/(Q是奇函数, 从而不等式：f(r-2t) + f(2r-k) < O等价于 f(r-2t)<-f(2r-k) = f伙一2r),因/(χ)为减函数，由上式推得： r-2t>k-2t1.即对一切r∈∕?有：3t2-2t-k>0,分离变量可得k<-￡ 五、备选例题： -1 13 ★ ?例题1、已知函数f(x)~ 在区间b,b］上的最小值为％,最大值为2b,求出适合 条件的区间b, b］ ?解：(见教案P56面题1) ［1, 3］或［-2-√17 ,苹］ ★例题2、已知函数f(x)的定义域为R,且对于任意的X和y,都有f(x+y)=fω+f(y),又当x>0 时，f(x) ?解：(见教案P56面题2)最大值为6,最小值为-6 ★例题3、已知函数f(x)是泄义于(0, +8)上的增函数，且f §)二f(x)-f(y), ⑴、求出f⑴之值；(2).若f⑹丸解不等式f (x+3)+f? ≤2解：(见教案P63而题2)