射洪中学2019-2020年高一上期半期考试 数学试题(含解析)
射洪中学2019-2020年高一上期半期考试
数学试题
一、选择题：（每小题5分，共60分．）
1.已知集合{}
(2)(1)0A x x x =-+则A =（ ）
A. {}12x x -<<
B. }{|12x x x -或
C. {}12x x -≤≤
D. }{|12x x x ≤-≥或
【答案】B 【详解】A ＝{x |（x ﹣2）（x +1）＞0}＝{x |x ＞2或x ＜﹣1}， 故选：B ．
2.下列函数在(0,)+∞上是减函数的是（ ） A. 2
1y x =+ B. 2log y x =
C. 1
y x
=
D. 1y x =+
【答案】C
【详解】二次函数y ＝x 2+1在（0，+∞）上为增函数； 对数函数2log y x =在（0，+∞）上为增函数； 反比例函数y 1
x
=
在（0，+∞）上为减函数； 一次函数y ＝x+1在（0，+∞）上为增函数，； ∴C 正确．故选：C ．
3.函数()
lg 31x f x +=的定义域是（ ） A. 1,13??- ??? B. 1,3??-+∞ ???
C. 11,33??- ???
D. 1,3??-∞- ???
【答案】A
【详解】要使函数有意义，需要10310
x x ->??+>?，解得1
13-< 所以函数的定义域为1 (,1)3 -，故选A. 4.已知函数23(0)()log (0) x x f x x x ?≤=?>? ，那么1 [()]4f f 的值为（ ） A. 9 B. 1 9 C. 9- D. 19 - 【答案】B 【详解】∵104 ＞，∴22211244f log log -??===- ? ??2， 而﹣2＜0，∴f （﹣2）＝3﹣21 9 =． ∴11 49 f f ????= ???????． 故选：B ． 5.若函数()f x 为R 上的 奇函数，当0x ≥时， 2 ()2f x x x =-，则(1)f -的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【详解】解：∵当x ≥0时，f （x ）＝x 2 ﹣2x ． ∴f （1）＝12﹣2×1＝﹣1 ∵f （x ）为R 上的奇函数， ∴f （﹣1）＝﹣f （1）＝1． 故选：D 6.函数2x y a +=（0a >且1a ≠）的图象经过的定点坐标是（ ） A. ()2,1- B. ()2,1 C. ()0,1 D. ()2,0- 【答案】A 【详解】令x +2＝0，解得x ＝﹣2， 此时y ＝a 0＝1，故得（﹣2，1） 此点与底数a 的取值无关， 故函数y ＝a x +2 （a ＞0，且a ≠1）的图象必经过定点（﹣2，1） 故选：A ． 7.已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b << C. b c a << D. a c b << 【答案】D 【详解】解：由对数和指数的性质可知， 0.10 1.302log 0.3022100.20.21a b c a c b =<=>=<=<=∴< 故选D ． 8.已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ） A. ()32f x x =- B. ()23f x x =- C. ()32f x x =- D. ()3f x x = 【答案】C 【详解】f （x +1）＝3x +1＝3（x +1）﹣2；∴f （x ）＝3x ﹣2．故选：C ． 9.已知01a <<，则函数x y a =和()2 1y a x =-在同一坐标系中的图象只可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 试题分析:根据题意，由01a <<，函数x y a =在R 上为减函数，可排除选项A 、C ，又110a -<-<，则函数2 (1)y a x =-的图象是开口向下.故选D. 10.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C. [﹣1，﹣3] D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【详解】根据题意，偶函数f x （）在[0+∞，）单调递增，且22f =-（ ）， 可得f x f x =（）（）， 若12f x -≥-（），即有12f x f -≥（）（）， 可得12x -≥， 解可得：13x x ≤-≥或， 即的取值范围是1][3-∞-?+∞（，，）； 故选B ． 11.已知函数() 2 13()log f x x ax a =--在1,2??-∞- ? ? ?上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A. [)1 -+∞， B. (]1-∞-， C. 112??-????， D. 112?? -???? ， 【答案】C 【详解】已知函数() 213 ()log f x x ax a =--在1,2??-∞- ?? ? 上是增函数，13 log y t =单调递减，则t ＝x 2 ﹣ax -a 在,2a ??-∞ ???单调递减，又t ＝x 2 ﹣ax -a>0在1,2??-∞- ???恒成立，故12210 42 a a a ?≥-????+-≥?? 解得112a -≤≤ 故选：C 12.若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()y f x =的图像上；②P ，Q 关于原点对称，则称P ，Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对P ，Q 与Q ，P 看作同一对“友好点对”）.已知函数 log (01),(04) ()3(40)a x a a x f x x x >≠<≤?=?+-≤ 且若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a 的取值范围是 （ ） A. 1 (,1)(1,)4?+∞ B. (0,1)(1,)?+∞ C. (1,14 ) D. (0,1) 【答案】A 【详解】当﹣4≤x ＜0时，函数y ＝|x +3|关于原点对称的函数为﹣y ＝|﹣x +3|，即y ＝﹣|x ﹣3|，（0＜x ≤4）， 若此函数的“友好点对”有且只有一对， 则等价为函数f （x ）＝log a x ，（x ＞0）与y ＝﹣|x ﹣3|，（0＜x ≤4），只有一个交点， 作出两个函数的图象如图： 若a ＞1，则f （x ）＝log a x ，（x ＞0）与y ＝﹣|x ﹣3|，（0＜x ≤4），只有一个交点，满足条件， 当x ＝4时，y ＝﹣|4﹣3|＝﹣1， 若0＜a ＜1，要使两个函数只有一个交点， 则满足f （4）＜﹣1，即log a 4＜﹣1，得14 ＜a ＜1， 综上1 4＜a ＜1或a ＞1，即实数a 的取值范围是()1114???+∞ ??? ， ，， 故选：A ． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.已知集合{}3,4,44A m =-，集合{ }2 3,B m =，若B A ?，则实数m ＝ ___ 【答案】 -2 【详解】因为集合{}{ }2 3,4,44,3,A m B m =-=，且B A ?， 所以24m =或244m m =-，截得2m =±或2m =， 当2m =-时，集合{}{}3,4,12,3,4A B =-=，满足题意； 当2m =时，集合{}3,4,4A =，不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可知，2m =-. 14.函数4 2 y x = -在区间[]3,6上的值域是______. 【答案】[]1,4 【详解】4 2 y x = -在区间[]3,6单调递减，则当6x =时，min 1;y = 当3x =时，max 4;y = 故值域为[]1,4 故答案为：[]1,4 15.函数 2 13 log (23)y x x =+-的单调增区间为 ． 【答案】()--3∞， 【解析】： ，3x <-或1x >， 在3x <-时递减，在1x >时递增，又 13 log y u =单调递减，所以原函数的单调减区间是(,3)-∞-． 16.已知常数0a >，函数()22x x f x ax =+的图象经过点65P p ，?? ???，15Q q ??- ???，．若236p q pq +=，则 a =______． 【答案】6【详解】函数f （x ）=22x x ax +的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）． 则：2261 12255p q p q ap aq +=-=++， 整理得：2 2222222p q p q p q p q p q aq ap aq ap a pq +++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2 =36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内． 17.计算：(1)) 32 2 4 3 116821281-- ????-+- - ? ??? ?? (2)22551 lg log (log 16)(2log 10log 0.25)1000 +++ 【详解】（1）原式=() 3 2 33 227192 41441388-?? -+-=-+-= ??? （2）原式＝﹣3+log 24( ) 2 5100.25log +? ＝﹣3+22 55log + ＝﹣1+2 ＝1． 18.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，且当0x >时，2 ()1f x x =- （1）用定义法证明()f x 在()0,∞+ 上是减函数； （2）求函数()f x 的解析式. 【详解】（1）当x ＞0时，f （x ）2 x = -1， 在（0，+∞）上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2， f （x 1）﹣f （x 2）＝（12x -1）﹣（22x -1）()211212 222x x x x x x -=-=， ∵0＜x 1＜x 2， ∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0， ∴f （x ）在（0，+∞）上是减函数． （2）∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f （x ）2 x =-1 ∴当x ＜0时，f （x ）2 1f x x =-=- -． 故函数()f x 的解析式为2 1,0()21,0x x f x x x ?->??=??-- 19.设全集U =R ，已知集合()1 A =+∞，，集合[]12 B =， . （1）求U C A ； （2）若{}|21C x a x a =≤≤-且C B ?,求实数a 的取值范围. 【详解】（1）U C A =∞（-,1] （2）由（1）知，[]12B = ， ，又∵C ?B ； ①当2a ﹣1＜a ，即a ＜1时，C ＝?，成立； ①当2a ﹣1≥a ，即a ≥1时， 1212 a a ≥?? -≤?解得1≤a 3 2≤， 综上所述，a ∈（﹣∞，3 2 ]． 20.设函数22()log (4)log (2)f x x x =?, 1 416 x ≤≤． （1）若2log t x =,求t 取值范围； （2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值. 试题解析：（1）[]21 4,log 4,16 2x t x ≤≤∴=∈-Q . （2）由（1）可得()()()()()2222log 4log 22log 1log f x x x x x =?=++2 2 3132+24 t t t ??=++=- ???， 32t ∴=-，可得23log 2x =-，解得322=4 x -=时，()min 14f x =-，当2t =即4x =时，()max 12f x =. 21.已知1 ()()21 x f x a a R =- ∈+是奇函数. （1）求a 的值； （2）试判断函数()f x 的单调性（不需证明）； （3）若对任意的1 [,2]4 m ∈,不等式222[(log )](log )0f m f k m ++<恒成立，求实数k 的取值范围. 【详解】（1）由题意：()1 21 x f x a =- +是定义域为R 的奇函数， ∴f （0）＝0即0 1 021a -=+， ∴a ＝12 ． 当a ＝12时，()1121221221x x x f x -=-=++（） ， ()()() ()211221********* x x x x x x f x f x ------===-=-+++（）， 故a ＝ 1 2 满足题意； （2）单调递增函数； （3）由（2）得 222[(log )](log )0f m f k m ++<等价于22[(log )]f m <﹣2(log )f k m + 即2 22(log )log k m m <-- 令[]2log 2,1m t ∈-=∴t 2 +t+k <0对任意t ∈[]2,1-恒成立， 则-k >t 2 +t=2 1124 t ??+- ??? ,解得：-k >2即k <-2． 22.已知函数3 ()log 3 -=+m x f x x ，（0m >且1m ≠） （1）当m =2时，解不等式()1f x >； （2）若0＜m ＜1，是否存在0βα>>，使()f x 在[,]αβ的值域为[log (1),log (1)]m m m m βα--？若存在， 求出此时m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）当m =2时，23log 13x x ->+，则323x x ->+，得9+03 x x <+则不等式解集为()9,3-- （2）()3log lo 613g 3m m x f x x x ? ?- ?+?-=+?=，613 t x =-+单调递增， 故当0＜m ＜1，()3log lo 613g 3m m x f x x x ? ?- ?+?-=+? =单调递减， 若()f x 在[,]αβ的值域为[log (1),log (1)]m m m m β α--，则()[,]3,αβ?+∞且()()log (1), log (1),m m f m f m ααββ?=-??=-?? 即()log (1)m m x f x -=在()3,+∞上有两个不等的根，即(1)3 3 m x x x --=+在()3,+∞上有两个不等的根，又令()30,x μ=-∈+∞ ()()(1)()362112 83x x m x μμμμμ -+++= ==++- 又12 88μμ + +≥ ，当且仅当3x μ==+1 y m = 与128y μμ=++有两个 不同交点，则180m m >+<< 故存在0m <<