全国高考理科解析几何高考题汇编#(精选.)
2015-2017高考解析几何汇编
017(一)10.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C
交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16
B .14
C .12
D .10
2017(一)20.(12分)已知椭圆C :22
22=1x y a b
+(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1,
,P 4(1)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程; (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.
2017(二)9.若双曲线:C 22221x y a b
-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所截得
的弦长为2,则C 的离心率为
A .2
B
C
D .
3
2017(二)20.(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2
212
x y +=上,过M 作x 轴的垂线,
垂足为N ,点P 满足NP =u u u r u u u r
. (1)求点P 的轨迹方程;
(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ?=u u u r u u u r
.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的
左焦点F .
2017(三)10.已知椭圆C :22
221x y a b +=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2
为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为
A
.
B
.
C
.3
D .13
2017(三)20.(12分)已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;
(2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程.
2017(天津)(5)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F
.若经过F 和
(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
(A )22144x y -
= (B )22188x y -=(C )22148x y -=(D )22
184x y -=
2017(天津)(19)(本小题满分14分)设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,
离心率为
12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线的距离为1
2
. (I )求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II )设上两点P ,Q 关于轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与轴相交于点D .若APD △
的面积为
2
AP 的方程.
2016(二)(11)已知F1,F2是双曲线E的左,右焦点,点M在E上,M F1与轴垂直,sin,则E的离心率为(A)(B)(C)(D)2 2016(二)(20)(本小题满分12分)
已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M 两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当t=4,时,求△AMN的面积;(II)当时,求k的取值范围.
2016(北京)19.(本小题14分)已知椭圆C:()
,,,,的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N.
求证:为定值.
2016(一)(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=C的焦点到准线的距离为
22
22
1
+=
x y
a b
a b
>>(,0)
A a (0,)
B b(0,0)
O OAB
?
P C PA y x
BM
AN?
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 2016(一)20. (本小题满分12分)
设圆
222150
x y x
++-=的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D
两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明EA EB
+
为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
2016(三)(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点,A,B分别为
C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
(A)1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)
3
4
2016(三)(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:22
y x
=的焦点为F,平行于x轴的两条直线12,l l分别交C于A,B两点,交C 的准线于P,Q两点.
(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(II)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
2015(二)(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,?ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为
(A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2
2015(二)20.(本小题满分12分)
已知椭圆C :2229(0)x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M 。
(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;
(2)若l 过点(,)3
m m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由。
2015(一)(5)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :2
212
x y -=上的一点,F 1、F 2是C 上的两个焦点,
若1MF u u u u r ?2MF u u u u r
<0,则y 0的取值范围是
(A )(-3,3
) (B )(-
6,6)(C )(3-,3) (D )() 2015(一)(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy 中,曲线C :y =2
4
x 与直线y kx a =+(a >0)交与M ,N 两点,
(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由。
2015(陕西)14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则p= .
22(0)y px p =>221x y -=
2015(陕西)20.(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到
经过两点,的直线的距离为.(I )求椭圆的离心率;(II )如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方
程.
2017(一)10.【答案】A
:E 22
221x y a b
+=0a b >>c O (),0c ()0,b 1
2
c E AB :
M ()()22
5212
x y ++-=E A B E
2017(一)20.试题分析:(1)根据3P ,4P 两点关于y 轴对称,由椭圆的对称性可知C 经过3P ,
4P 两点.另外由
2222
1113
4a b a b
+>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C 的方程;(2)先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,再设直线l 的方程,当l 与x 轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l :y kx m
=+(1m ≠),将y kx m =+代入2
214
x y +=,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x 1+x 2,x 1x 2,进而表
示出12k k +,根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系,从而判断出直线恒过定点. 试题解析:(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点. 又由
2222
1113
4a b a b
+>+知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上. 因此2
221
1,131,4b a
b ?=????+=??解得2
24,1.a b ?=??=??
故C 的方程为2
214
x y +=.
(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,
如果l 与x 轴垂直,设l :x =t ,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为(t
,
(t
,).
则121k k +=
-=-,得2t =,不符合题设. 从而可设l :y kx m =+(1m ≠).将y kx m =+代入2
214
x y +=得
222(41)8440k x kmx m +++-=.
由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2841
km
k -+,x 1x 2=224441m k -+.
而121212
11
y y k k x x --+=
+
121211
kx m kx m x x +-+-=
+
121212
2(1)()
kx x m x x x x +-+=
.
由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即222448(21)(1)04141
m km
k m k k --+?+-?=++.
解得1
2
m k +=-
. 当且仅当1m >-时,0?>,于是l :12m y x m +=-+,即1
1(2)2
m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1-).
2017(二)9试题分析:由几何关系可得,双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为
0bx ay ±=,圆心()2,0
到渐近线距离为d =,则点()2,0到直线0bx ay +=的距
离为2b
d c
=
=
= 即2224()3c a c -=,整理可得22
4c a =
,双曲线的离心率2e ===.故选A .
2017(二)20.(12分)
2017(三) 10.A 2017(三)20.解
(1)设
()()
1122
2 A x,y,B x,y,l:x my
=+
由
2
2
2
x my
y x
=+
?
?
=
?可得212
240则4
y my,y y
--==-
又
()2
22
12
12
1212
==故=
224
y y
y y
x,x,x x
=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
12
12
-4
==-1
4
y y
x x
g
所以OA⊥OB
故坐标原点O 在圆M 上. (2)由(1)可得
()2121212+=2+=++4=24
y y m,x x m y y m +
故圆心M 的坐标为
()
2+2,m m ,圆M 的半径
r =
由于圆M 过点P (4,-2),因此0AP BP =u u u r u u u r
g ,故()()()()121244220
x x y y --+++= 即
()()121212124+2200
x x x x y y y y -++++=
由(1)可得1212=-4,=4
y y x x ,
所以2
210m m --=,解得
11或2m m ==-
.
当m=1时,直线l 的方程为x -y -2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆
M ,圆M 的
方程为(
)()2
2
3110
x y -+-=
当
12m =-
时,直线l 的方程为240x y +-=,圆心M 的坐标为91,-42?? ?
??,圆M
的半径为,
圆M 的方程为2
2
9185++4216x y ????-= ? ??
??? 2017(天津)(5)【答案】B
【解析】由题意得22
4,14,188
x y a b c a b c ==-?===-=- ,选B. 2017(天津)(19)【答案】 (1)22
413
y x +=, 2
4y x =.(
2)330x +-=
,或330x --=. 【解析】(Ⅰ)解:设F 的坐标为(,0)c -.依题意,12c a =,2
p
a =,12a c -=,解得1a =,12c =,
2p =,于是2223
4
b a
c =-=.
所以,椭圆的方程为
2
2
4
1
3
y
x+=,抛物线的方程为24
y x
=.
所以,直线AP的方程为330
x-=,或330
x--=.
2016(二)(11)【答案】A
2016(二)20.(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求直线的方程,再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ)设,,将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去,用表示,从而表示,同理用表示,再由求.
试题解析:(I)设,则由题意知,当时,的方程为,. 由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或,所以.
因此的面积.
(II )由题意,,.
将直线的方程代入得.
由得,故.
由题设,直线的方程为,故同理可得,
由得,即.
当时上式不成立,
因此.等价于,
即.由此得
,或,解得.
因此的取值范围是
.
2016(北京)【答案】(1);(2)详见解析.
2
214
x y +=
(2)由(Ⅰ)知,,
)1,0(),0,2(B A
2016(一)(10)B 2016(一)20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为,,故, 所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以. 由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
().
||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13
42
2=+y x 0≠y
(Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,. 所以. 过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以
.故四边形的面积 . 可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12. 综上,四边形面积的取值范围为.
2016(三)(11)A 2016(三)(20)解:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则
l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N ???
??=+-=134
)1(22y x x k y 01248)34(2222=-+-+k x k x k 3482221+=+k k x x 3412
42
221+-=k k x x 3
4)
1(12||1||2
2212
++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1
--=x k y A m 1
22+k 13
44)1
2
(42||222
22
++=+-=k k k PQ MPNQ 3
41
112||||212++==
k PQ MN S l x MPNQ )38,12[l x 1=x 3||=MN 8||=PQ MPNQ MPNQ )38,12[
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
. 所以FQ AR ∥. ......5分 (Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ,
则2
,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=
??. 由题设可得
2
21211b
a x a
b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y
b a . 而
y b
a =+2
,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 2015(二)【答案】D
2015(二)
2015(一)(5)2015(一)(20)【答案】(Ⅰ)0y a --=0y a ++=(Ⅱ)存在 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求出M ,N 的坐标,再利用导数求出M ,N .(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程,设出M ,N 的坐标和
P 点坐标,利用设而不求思想,将直线PM ,PN 的斜率之和用a 表示出来,利用直线PM ,PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系,从而找出适合条件的P 点坐标.
试题解析:(Ⅰ)由题设可得)M a ,()N a -,或()M a -,)N a .
∵1
2
y x '=,故24x y =在x =,C 在,)a 处的切线方程为
y a x -=-
,即0y a --=.
故2
4x y =在x
=-处的到数值为
C
在(,)a -处的切线方程为
y a x -=+
0y a ++=.
故所求切线方程为0y a --=
0y a ++=. ……5分 (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:
设P (0,b )为复合题意得点,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线PM ,PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-.
∴121212y b y b k k x x --+=
+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()
k a b a
+. 当b a =-时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意. ……12分
考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 2015(s 陕西)【答案】
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(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则