2008年南开大学802高等代数考研真题【圣才出品】

2008年南开大学802高等代数考研真题

一、计算题（每题12分，共60分，请写出必要的计算步骤） 1．设n 阶实矩阵A ＝（a ij ）n ×n 满足条件 （1）a ij ＞0，i ＝1，2，…，n ； （2）a ij ＜0，i ≠j ； （3）

10n

i ik

a ==∑

，k ＝1，2，···，n 。

试求A 的秩r （A ）。

2．设A ＝（a ij ）n ×n 为数域P 上的n 阶方阵，定义P n ×n 上的线性变换T 使T （X ）＝AX ，X ∈P n ×n ，试求T 的迹和行列式。

3．设P 为数域，c 0，c 1，…，c n －1∈P ，令

01210

00010000

10000

1

n c c A c c --?? ?- ? ?

=- ? ? ?-?

?

试求A 的最小多项式。

4．设V 为数域P 上的3维线性空间，已知V 上线性变换T 在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为

102012001-??

?- ? ?-??

试求V 的一组基使得T 在该基下的矩阵为

122054065-?? ?- ? ?-??

5．设n 阶实矩阵P 满足P 1＝P 2，试求出P 的所有可能的特征值。

二、（20分）设A 1，A 2，…，A m 为n 阶方阵，且r （A 1A 2…A m ）＝r （A m ）。证明：对任何1≤j ，k ≤m ，齐次线性方程组A j A j ＋1…A m X ＝0与A k A k ＋1…A m X ＝0同解。

三、（20分）设S ，T 都是半正定实对称n 阶方阵，证明：det （S ＋T ）≥（detS ＋detT ）/2。

四、（15分）设A ，A －I n 都是n 阶实对称正定矩阵，证明：I n －A －1也是正定矩阵。

五、（15分）设f （x ，y ）为线性空间V 上的非退化双线性函数，证明：对于任何g ∈V*，存在唯一的α∈V ，使得g （β）＝f （α，β），?β∈V 。

六、（10分）设T 为欧几里得空间V 上的线性变换，满足条件

?x ，y ∈V ，（Tx ，y ）＝－（x ，Ty ）或（Tx ，y ）＝（x ，Ty ）至少有一个成立。

证明：T或为对称变换或为反对称变换。

七、（10分）设A，B为n阶复方阵，C＝AB－BA，证明：如果C与A可交换，则C 为幂零矩阵。