高中数学-导数解答题专项训练

高中数学-导数解答题专项训练

1、已知函数1ln(1)

()(0)x f x x x

++=

>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1

k

f x x >

+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23

(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+??+??+???++>L ．

2、设函数41)(2

+

=x x f ，)2ln(2

1

)(ex x g =，（其中e 为自然底数）； （Ⅰ）求)()(x g x f y -=（0>x ）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函数b kx x h +=)(使得)()(x h x f ≥且)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由； （Ⅲ）数列{}n a 中，11=a ，)2)((1≥=-n a g a n n ，求证：83

)(1

1

1∑=++

k k k k a a a 。 3、已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． （1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1->>e y x 时，求证：)

1ln()

1ln(++>

-y x e y

x ．

4、已知函数mx x x f ++=21ln )(．

（Ⅰ）若)(x f 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当1-=m 时,求函数)(x f 的最大值； （Ⅲ）当1=m ,且10≤<≤a b 时，证明:2)()(34<--

a b f a f ．

5、已知函数()ln f x x a x =-，1()()a

g x a R x

+=-∈． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；

（Ⅲ）若在区间[1,]( 2.71828......)e e =上不存在．．．0x ，使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围．

6、函数()ln f x ax x x b =++是奇函数，且图像在点(,())e f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）．

（1）求实数a 、b 的值；（2）若k Z ∈，且()

1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当1(,)m n m n Z >>∈时，证明：(

)

()n

m

m n nm mn >．

7、已知函数1

()ln sin g x x x θ

=

+在[)1,+∞上为增函数,且(0,)θπ∈，θ为常数，

1

()ln ()m f x mx x m R x

-=-

-∈． （1）求θ的值；（2）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调函数,求m 的取值范围； （3）设2()e

h x x

=

,若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求 m 的取值范围．

8、已知函数

()ln()x f x e a =+（a 为常数，e 是自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，

函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）若2

()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数m ex x x f x

x h -+-=2)

(ln )(2的零点的个数．

9、已知函数2

()(25)5ln ()f x ax a x x a R =-++∈．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在3x =和5x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设2

5()-2g x x x =，若对任意15(0,]2x ∈，均存在25

(0,]2

x ∈，使得12()()f x g x <，

求a 的取值范围．

10、已知函数bx x x g x x f -=

=2

2

1)(,ln )(（b 为常数）

。 （Ⅰ）函数)(x f 的图象在点（)1(,1f ）处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值； （Ⅱ）设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）若1>b ，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-成立，求b 的取值范围。

11、设函数()ln (0),() 2.f x x x x g x x =>=-+ （1）求函数()f x 在点(,())M e f e 处的切线方程；

（2）设2

()(2)()(0),F x ax a x f x a '=-++>讨论函数()F x 的单调性；

（3）设函数()()()H x f x g x =+，是否同时存在实数m 和()M m M <，使得对每一个

[,]t m M ∈，

直线y t =与曲线1()(,)y H x x e e ??

=∈????

都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．

12、设函数()(1)(0),n

f x ax x b x n =--+>为正整数，,a b 为常数．曲线()y f x =在点

(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）证明：1

()f x ne

<．

13、 已知二次函数2

()(0)f x px qx p =+≠，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项

和为,n S 点*

(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上；．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若231231

(2),22223

n n n n n c a b b b b c =

+++++=L ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）已知不等式ln(1)(0)x x x +<>成立， 求证：2*22ln 21

(,2)4(1)n

k k n n n N n k

n =--<

∈≥+∑

14、、设函数()2ln q f x px x x =--，且()2p

f e qe e

=--，其中e 是自然对数的底数． （1）求p 与q 的关系；

（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （3）设2()e

g x x

=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的 取值范围．

15、 已知函数2

11()ln()(0).22

f x x ax ax a =-++>（1）当a=2时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若对任意的2

00(1,2),[1,2],()(1),a x f x m a ∈∈>-当时都有求实数m 的取值范围。

16、已知函数2

()(0)1

x

e f x a x ax =≥-+， (1)、试讨论函数()f x 的单调区间； （2）、若不等式()f x x ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立，求a 的取值范围。

17、已知函数，2(2),0

(),()1,0

x x ax e x f x g x c nx b bx x ?->==+?≤?

，且x =()y f x =的

极值点．（1）若方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 是函数()y f x =的图象在点（2，f （2））处的切线，且直线l 与函数()y g x =）的图象

相切于点P （00,x y ），10[,]x e e -∈，求实数b 的取值范围．

1、解：（Ⅰ）由题2

1

[

ln(1)]10,()0,x x x f x x +++'>=-<故()f x 在区间(0,)+∞上是减函

数;……3分

（Ⅱ）当0x >时，()1k f x x >

+恒成立，即1

[1ln(1)]x k x x

+<

++在(0,)+∞上恒成立，

取1()[1ln(1)]x h x x x +=

++，则2

1ln(1)

()x x h x x --+=

，……… 5分 再取()1ln(1),g x x x =--+则1()10,11

x

g x x x '=-=>++故()g x 在(0,)+∞上单调递增，

而(1)ln 20,(2)1ln30,(3)22ln 20g g g =-<=-<=->，…… 7分 故()0g x =在(0,)+∞上存在唯一实数根(2,3),1ln(1)0a a a ∈--+=， 故(0,)x a ∈时，()0;(,)g x x a <∈+∞时，()0,g x >

故[]min 1

()1ln(1)1(3,4),3,a h x a a k a

+=

++=+∈≤故max 3k =…………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：1ln(1)3333

(0)ln(1)122111x x x x x x x x x

++>>?+>-=->-+++

令311

(1),ln[1(1)]223()(1)1

x n n n n n n n n =+++>-

=--++，……10分

又ln[(112)(123)(134)(1(1))]n n +??+??+???++L

ln(112)ln(123)ln(1(1))

n n =+?++?+++?+L 11111

23[(1)()()]2231n n n >--+-++-+L

13

23(1)232311

n n n n n =--=-+>-++

即：23

(112)(123)(134)(1(1))n n n e

-+??+??+???++>L ………12分

2、解（Ⅰ）0>x 时x x x x y 2142122-=-='，易知210<

1

>x 时0>'y ；所以2

1

=

x 时求)()(x g x f y -=取最小值等于0；-----4分 （Ⅱ）由题Ⅰ易知，21)21()21(==g f ，所以21

)21(=h ；

所以可设221)(k

kx x h -+=，代入

)()(x h x f ≥得04

1

22≥-+-k kx x 恒成立，

所以0)1(2

≤-=?k ，所以1=k ，x x h =)(； ----8分 此时设)2ln(21)(ex x x G -

=，则x x G 211)(-='，易知0)2

1()(=≥G x G ，即)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；

综上，存在x x h =)(符合题目要求，它恰好是)()(x g y x f y ==，图象的公切线。

（Ⅲ）先证{}n a 递减且)2(12

1

≥<

由题（Ⅱ）知x x g ≤)(，所以11)(--≤=n n n a a g a ，即{}n a 为递减数列；又11=a ，21212ln 212>+=a ，所以2

1

)21()(23=>=g a g a ，…

因为当21>k a 时总有21)21()(1=>=+g a g a k k ，所以12

1

11=<<<<<-a a a n n ΛΛ；所

以

∑=++?-n

k k k k a a a 1

11)(∑=+++?

-

k k k k k a a a a 1

112)(∑=+-=n

k k k

a a 1

21228

3241

122

1

21=-

<-=+n a a 。----12分

3、解：（1）x

ax x a x f 1

1)(-=

-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立， 函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 当0>a 时，()0f x '<得10x a <<

，()0f x '>得1

x a

>， ∴)(x f 在(1

0,)a 上递减，在(1),a

+∞上递增，即)(x f 在a

x 1

=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，

当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点……4分

（注：分类讨论少一个扣一分。）

（2）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ，∴b x

x x bx x f ≥-+?-≥ln 112)(， 令x

x

x x g ln 11)(-

+

=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)

+∞,2e 上递增， ∴2

2min 11)()(e e g x g -==，即2

1

1b e ≤-

．……8分 （3）证明：)

1ln()1ln()1ln()1ln(+>+?++>-y e x e y x e

y x y

x ， 令)

1ln()(+=x e x g x

，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，………9分

又∵)

1(ln 11)1ln()(2+??????

+-

+=

'x x x e x g x ，显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递

增． ∴01

1)(>-

>e

x h ，即0)(>'x g ，∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)

1ln()1ln(+>+y e x e y

x ，

∴当1->>e y x 时，有)

1ln()

1ln(++>

-y x e

y

x ．……12分

4、解: （Ⅰ）)21()21ln(2121ln )(->++=

++=x mx x mx x x f ,∴m x x f ++=211)('……1分

若f （x ）在),2

1

(+∞-上是增函数,则0211)('≥++=m x

x f ,即x m 211

+-

≥在),21(+∞-恒成立, 而0211

<+-

x

,故m ≥0;……2分 若f （x ）在),21(+∞-上是减函数,则0211)('≤++=m x x f ,即x

m 211

+-

≤在),21(+∞-恒成立,而0211<+-x

,故这样的m 不存在．-……3分

经检验,当m ≥0时,0211

)('>++=m x x f 对2

1->x 恒成立,

∴当m ≥0时，f （x ）在定义域上是单调增函数．……4分 （Ⅱ）当m =－1时,x x x f -+=21ln )(,则x

x

x x f 2121211)('+-

=-+=……5分 当)0,2

1

(-∈x 时,0)('>x f ,此时f （x ）为增函数,

当),0(+∞∈x 时,0)('

∴)(x f 在x = 0时取得最大值,最大值为.0)(max =x f ……7分 （Ⅲ）当m = 1时,令x x x x f x g 31

)21ln(2134)()(-+=-

=,)

21(3)1(231211)('x x x x g +-=-+=--1分 在[0,1]上总有0)('≥x g ,即)(x g 在[0,1]上递增……8分 ∴当10≤<≤a b 时,)()(b g a g >,即3

4

)()(34)(34)(>--?->-b a b f a f b b f a a f ……9分 令x x x x f x h -+=

-=)21ln(2

1

2)()(,由（Ⅱ）知它在[0,1]上递减,所以当10≤<≤a b 时,)()(b h a h <,即2)

()(2)(2)(<--?-<-b

a b f a f b b f a a f ……11分

综上所述,当m = 1,且10≤<≤a b 时,2)

()(34<--

a b f a f ……12分

5、解：（Ⅰ）1

()ln ()01x f x x x f x x x

-'=-?=

>?> ∴()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增 ∴()f x 的极小值为(1)1f = （Ⅱ）1()ln a h x x a x x +=-+

∴2(1)[(1)]

()x x a h x x +-+'=

①当1a

≤-时，()0h x '>，∴()h x 在(0,)+∞上递增

②当1a >-时，()0h x '>?1x a >+，∴()h x 在(0,1)a +上递减，在(1,)a ++∞上递增

（Ⅲ）先解区间[]1,e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立

()()()0h x f x g x ?=-<在[1,]e 上有解?当[1,]x e ∈时，min ()0h x <由（Ⅱ）知

①当1a ≤-时，()h x 在[1,]e 上递增，∴min (1)202h h a a ==+

>-时，()h x 在(0,1)a +上递减，在(1,)a ++∞上递增

6、解：（1）

)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，即

|)|ln (||ln )()(b x x ax b x x x a ++-=+--+-

所以||ln ||ln b x b x +=+-，从而0=b 此时||ln )(x x ax x f +=，||ln 1)(/

x a x f ++=…3分，

依题意32)(/

=+=a e f ，所以1=a ……4分 （2）当1>x 时，设1

ln 1)()(-+=

-=

x x x x x x f x g ，则2/

)1(ln 2)(---=x x x x g ……5分 设x x x h ln 2)(--=，则01

1)(/

>-

=x

x h ，)(x h 在) , 1(∞+上是增函数 因为03ln 1)3(<-=h ，04ln 2)4(>-=h ，所以)4 , 3(0∈?x ，使0)(0=x h ……7分

) , 1(0x x ∈时，0)(

同理)(x g 在0( , )x +∞上为增函数，从而)(x g 的最小值为000

0001

ln )(x x x x x x g =-+=

所以)4 , 3(0∈

（3）要证m

n n m mn nm )()(>，即要证n mn m m m mn n n ln ln ln ln +>+……10分， 即证m n m n m n ln )1(ln )1(->-，1

ln 1ln -<

-m m

m n n n ……11分， 设1

ln )(-=

x x x x ?，1>x 则2/

)1(ln 1)(---=x x x x ?

设

x x x g ln 1)(--=，则01

1)(/

>-=x

x g ，)(x g 在) , 1(0∞+上为增函数， 1>?x ，01ln 11)1()(=--=>g x g ，从而0)(/>x ?，)(x ?在(1 , )+∞上为增函数

因为1>>n m ，所以)()(m n ??<，1

ln 1ln -<

-m m

m n n n ， 所以m

n n

m mn nm )()(> ……14分 7、解：（1）由题意：211g (x)0x sin x

θ'=-

+≥在[)1,+∞上恒成立，即2sin 1

sin x x θθ-0≥ (0,),sin 0,xsin 10θπθθ∈∴>≥Q 故-在[)1,+∞上恒成立，

只需sin 110,sin 1sin 102

π

θθθθπθ?-≥≥∈即,只有=,结合（，），得=

．… 4分

（2）由（1）得x x

m

mx x g x f ln 2)()(--=-，22

mx 2x m (f(x)-g(x))=x -+'， 由于)()(x g x f -在其定义域内为单调函数，则2

2

mx 2x m 0mx 2x m 0-+≥-+≤或者 在[)1,+∞上恒成立，即22

2x 2x

m m 1x 1x

≥

≤++或者在[)1,+∞上恒成立， 故m 1m 0≥≤或者，综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞U ． ……9分 （3）构造函数)()()()(x h x g x f x F --=，m 2e

F(x)mx 2ln x x x

=---， 当m 0≤时，由[]x 1,e ∈得，m 2e

mx 0,2ln x 0x x

-

≤--<， 所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000f (x )g(x )h(x )->；

当m>0时，2222

m 22e mx 2x m 2e

(F(x))m x x x x -++'=+-+=，

因为[]x 1,e ∈，所以2

2e 2x 0,mx m 0,F x))>0'-≥+>所以（（在[)1,+∞上恒成立，

故F （x ）在[]x 1,e ∈上单调递增，max 2

m m 4e

F(x)me 4,me 4>0,m>e e e 1

=-----只要解得， 故m 的取值范围是2

4,1e e ??

+∞ ?-??

．…… 14分 另法：（3）222ln ,1e x x m x +>

- 令222ln (),1

e x x

F x x +=-

[]22'

22

(22)ln (242)

()0()1,,(1)x x x ex F x F x e x --+--=<∴-在上递减

8、解：（Ⅰ）)ln()(a e x f x +=是奇函数，则)ln()ln(a e a e x x

+-=+-恒成立．

∴()() 1.x

x e

a e a -++= 即211,x x ae ae a -+++=∴()0,0.x x a e e a a -++=∴=……4分

（Ⅱ）由（I ）知(),f x x =∴()sin g x x x λ=+ ∴'

()cos g x x λ=+ 又)(x g Θ在[－1，1]上单调递减，0)(≤'x g 在[－1，1]上恒成立。

∴cos x λ≤-对x ∈[－1，1]恒成立，[-cosx]min =-1,∴1λ≤-……………6分

∵2

()1g x t t λ≤++ 在[1,1]x ∈-上恒成立,即1)(2max ++≤t t x g λ……………7分

)1()(max -=g x g =1sin --λ

∴2

sin11,t t λλ--≤++即2

(1)sin110t t λ++++≥对1λ≤-恒成立

令),1(11sin )1()(2

-≤++++=λλλt t h 则??

?≥+++--≤+,

011sin 10

12

t t t …………8分

∴21sin10

t t t ≤-??-+≥? ，2sin10,t t -+≥而恒成立 1-≤∴t ．……9分 （Ⅲ）由（I ）知,2ln )(,)(2m ex x x x

x h x x f -+-=∴=函数为

∴讨论函数m ex x x

x

x h -+-=2ln )(2的零点的个数, 即讨论方程

m ex x x x

+-=2ln 2根的个数。 令m ex x x f x x x f +-==2)(,ln )(221，2

1ln 1)(x x

x f -='Θ， 当),0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴>'∈上为增函数；

当),()(,0)(,),(11+∞∴<'+∞∈e x f x f e x 在时上为减函数， ∴当e x =时，.1

)()(1max 1e

e f x f =

= 而222)()(e m e x x f -+-=， )(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当e e m e e m 1

,122

+>>

-即时，方程无解．函数)(x h 没有零点；---10分 ②当e e m e e m 1,12

2+==-即时，方程有一个根．函数)(x h 有1个零点……11分

③当e

e m e e m 1,12

2+<<-即时，方程有两个根．函数)(x h 有2个零点．…12分

9、解： 5()2(25)(0)f x ax a x x '=-++> （Ⅰ）(3)(5)f f ''=，解得1

6

a =．

（Ⅱ）(1)(25)

()ax x f x x

--'=(0)x >．

①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间5(0,)2上，()0f x '>；在区间5

(,)2

+∞上()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是5(0,)2，单调递减区间是5

(,)2

+∞． ---------5分

②当205a <<时，15

2

a >， 在区间5(0,)2和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间51(,)2a 上

()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是5(0,)2和1(,)a +∞，单调递减区间是51

(,)2a

． --------6

分

③当25a =时，2

5

4()2()5x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． -----7分 ④当25a >时，1502a <<， 在区间1(0,)a 和5(,)2+∞上，()0f x '>；在区间15

(,)2

a 上

()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和5(,)2+∞，单调递减区间是15

(,)2

a ． -----8

分

（Ⅲ）由已知，在5

(0,]2

上有max max ()()f x g x <．由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，

①当25a ≤

时，()f x 在5

(0,]2

上单调递增， 故max 52555255

()()(25)5ln 55ln 242242f x f a a a ==

-++=--+， 所以，25555ln 042a --+<，解得45(ln 1)52a >-，故452

(ln 1)525a -<≤---------10分 ②当25a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在15

(,]2

a 上单调递减，

故max 11111

()()55ln 5(ln 1)f x f a

a a a a

==--+=-+-． 由25a >可知15151ln ln 1ln 1022e a a a <<∴<<∴-<, 所以2

5

a >，max ()0f x <，-------11

分

综上所述， a 的取值范围为454

(ln

,)525

-+∞． ---------12分 10、解：（Ⅰ）因为x x f ln )(=，所以x

x f 1

)('=

，因此1)1('=f ， 所以函数)(x f 的图象在点（)1(,1f ）处的切线方程为1-=x y ，…………1' 由?????-=-=,21,12

bx x y x y 得02)1(22=++-x b x ，由08)1(42=-+=?b ，得21±-=b …………3' （Ⅱ）因为)0(2

1ln )()()(2

>-+=+=x bx x x x g x f x h ，所以x bx x b x x x h 11)('2+-=-+=，

由题意知0)('x ，设1)(2+-=bx x x u ，因为01)0(>=u ， 则只要??

???>-->04)(,

022b b

，解得2>b ，所以b 的取值范围是),2(+∞………6'

（Ⅲ）不妨设21x x >，因为函数x x f ln )(=在区间[1,2]上是增函数，所以)()(21x f x f >， 函数)(x g 图象的对称轴为b x =，且1>b 。

（i ）当2≥b 时，函数)(x g 在区间[1,2]上是减函数，所以)()(21x g x g <， 所以|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于)()()()(1221x g x g x f x f ->-， 即)()()()(2211x g x f x g x f +>+，等价于bx x x x g x f x h -+=+=2

2

1ln )()()(在区间[1,2]上是增函数，

等价于01)('≥-+=

b x x x h 在区间[1,2]上恒成立，等价于x

x b 1

+≤在区间[1,2]上恒成立， 所以2≤b ，又2≥b ，所以2=b 。……………………8'

（ii ）当21<-等价于)()()()(2211x g x f x g x f +>+， 等价于bx x x x g x f x h -+=+=2

2

1ln )()()(在区间[1,b]上是增函数， 等价于01)('≥-+=

b x x x h 在区间[1,b]上恒成立，等价于x

x b 1

+≤在区间[1,b]上恒成立， 所以2≤b ，又21<

当

212

b x x ≤<≤时，

|

)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于

1122()()()()f x g x f x g x ->-，

等价于2

1()()()ln 2

H x f x g x x x bx =-=-

+在区间[b,2]上是增函数， 等价于1'()0H x x b x =-+≥在区间[b,2]上恒成立，等价于1

b x x ≥-在区间[b,2]上恒成立，

所以32b ≥，故3

22

b ≤<，

③ 当2112x b x ≤<<≤时，由()g x 图像的对称性知，

只要|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-对于①②同时成立，那么对于③，则存在[]11,t b ∈， 使()()121212|()()||()()|f x f x f t f x g t g x ->->- =()()12g x g x -恒成立；或存在

[]2,2t b ∈，

使()()121212|()()||()()|f x f x f x f t g x g t ->->-=()()12g x g x -恒成立，因此

3

22

b ≤<， 综上，b 的取值范围是

3

22

b ≤≤………12' 11、解：（I ）'()f x ＝ln x ＋1（x ＞0），则函数f x （）在点(,())M e f e 处切线的斜率为'()f e ＝2，()f e e =，

∴所求切线方程为2y e x e －＝（－），即2y x e ＝－． （II ）2

()(2)ln 1(0),F x ax a x x x =-+++>

212(2)1'()2(2)ax a x F x ax a x x -++=-++=＝(21)(1)(0,0)x ax x a x

-->>，

令'()F x ＝0，则x ＝

12或1a ， ①当0＜a ＜2，即112a >时，令'()F x ＞0，解得0＜x ＜12或x ＞1a ；令'()F x ＜0，解得

1

2

＜x ＜1a

；

∴()F x 在（0，12），（1a ，＋∞）上单调递增，在（12，1

a ）单调递减．

②当a ＝2，即11

2

a =时，'()F x ≥0恒成立，∴()F x 在（0，＋∞）上单调递增．

③当a ＞2，即

112a <时，令'()F x ＞0，解得0＜x ＜1a 或x ＞12

； 令'()F x ＜0，解得1a ＜x ＜1

2；

∴()F x 在（0，1a ），（12，＋∞）上单调递增，在（1a ，1

2

）单调递减．

（III ）()2ln ,'()ln .H x x x x H x x =-++=，令'()H x ＝0，则x ＝1，

当x 在区间1(,)e e 内变化时，'(),()H x H x 的变化情况如下表：

x

1e

1(,1)e

1

(1,)e

e

'()H x

－ 0

+ ()H x

22e

-

递减

极小值1

递增

2

又22-

<2e Q ，∴函数()1=-+2+ln (,)H x x x x x e e ??

∈????

的值域为[1，2]． 据此可得，若1,2

m M =??=?，则对每一个[,]t m M ∈，直线y t =与曲线1()([,])y H x x e e =∈都有

公共点并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞U ，直线y t =与曲线1()([,])y H x x e e

=∈都没有公共点．

综上，存在实数1m =和2M =，使得对每一个[,]t m M ∈，直线y t =与曲线

1

()([,])y H x x e e

=∈都有公共点．

12、解：（Ⅰ）函数1

1()(1)()(1)n

n

n n n f x ax x b ax ax

f x nax n ax +-'=--+=-?=-+ (1)

分

曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=， 则(1)1,(1)01,0f f a b '=-=?== 则1

()n

n f x x x +=-

故()(1)()1n

n

f x n x x n '=-+-

+……1分 令()0f x '=得1n x n =+，当(0,

),()0,1n x f x n '∈>+当(,),()0,1n

x f x n '∈+∞<+ 故函数()f x 在(0,

)1n n +上单调递增；在(,)1

n n +∞+上单调递减…………………………1分 故

()

f x 在

(0,)

+∞上最大值为

1

()()(1)111(1)n n f n n n n +=-=++++…………………1分 （Ⅱ）证明：欲证1

()f x ne

<成立，只需证：1

1()(1)n n n f x n ne +≤<+……………1分 即证:11(),n n e n ++>即1111

ln()ln ln()1

n n n e n n n +++>?>

+……………………………1分

对于函数21

1

()ln 1(0)(),t h t t t h t t

t

-'=-+>?=

在(0,1),()0,(1,),()0,t h t t h t ''∈<∈+∞>()h t 在(0,)+∞上的最小值为(1)0,h = 故()0h t >，即1ln 1t t

>-成立，令1,n t n +=

111

ln()111n n n

n n

+>-=

++成立，故原命题成立

13解：（Ⅰ）已知二次函数2

()(0)f x px qx p =+≠，则()262f x px q x '=+=-，故

3,2p q ==-

所以2

()32f x x x =-，点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上，

则2

32,n S n n =-当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=-………2分

故数列{}n a 的通项公式：65n a n =-……………………1分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，1

(2)213

n n c a n =+=-，23123222221n n b b b b n ++++=-L ， 当1n =时，11

,2

b =

…………………………1分 当2n ≥时，23112312222221n n

n n b b b b b n --+++++=-L

2311231

22222(1)1n n b b b b n --++++=--L

两式相减得：11

122

n

n n b --=

=，…………………………… 2分 故数列{}n b 的通项公式：1*1,12

2,2,n n n b n n N

-?

=?

=??≥∈?……………1分 （Ⅲ）已知不等式ln(1)(0)x x x +<>成立，故ln 1,x x <-则ln 11

1x x x x x

-<=-………1分

所以22221(1)2n n n n

<-?<-，………………… 1分

故

222222ln 2ln 3ln 111111(1)(1)(1)2322232n n n

+++<-+-++-L L 2221111

[(1)()]223n n =--+++L 1111[(1)(

)]22334(1)n n n <--+++??+L 1111111

[(1)()]223341

n n n =---+-++-+L 211121[(1)()]2214(1)n n n n n --=---

=++ 故不等式2*22ln 21

(,2)4(1)n

k k n n n N n k

n =--<

∈≥+∑成立 14、解：（1）由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e =--=--1

()()0p q e e

?-+= 而1

0e e

+

≠，所以p 、q 的关系为p q = （2）由（1）知()2ln 2ln q p f x px x px x x x

=--=--， 2'

22

22()p px x p f x p x x x -+=+-= 令2

()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数，只需()h x 在(0,)+∞内满足：()0()0h x h x ≥≤或恒成立．

①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，'

2

2()x

f x x =-＜0， ∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意；

②当p ＞0时，2

()2h x px x p =-+，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为

1

(0,)x p

=

∈+∞， ∴min 1()h x p p =-

，只需10p p

-≥，即'

1()0,()0p h x f x ≥≥≥时， ∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意．

③当p ＜0时，2

()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为

1

(0,)x p

=

?+∞，

只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，故p ＜0适合题意． 综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或． （3）∵2()e

g x x

=

在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈，

①当0p ≤时，由（2）知()f x 在[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ?==＜2，不合题意； ②当0＜p ＜1时，由[]1

1,0x e x x

∈?-≥， 又由（2）知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，

∴1111

()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e

=--≤-

-≤--=--＜2，不合题意；

15、

（2）：由（1）可知当2a >时，12[,][0,1]x x x a ∈?+时，有()0f x <即()f x x ≥不成立，

----8分

当0a =时，(0)1,(1)1,()2

e

f f f x ==>单调递增，所以()f x x ≥在[0,1]x a ∈+上成立------9分

当(0,2)a ∈时，1

(0)1,(1)1,(1)22

a e e f f f a a a +==>+=-+， 下面证明：1

(1)12

a e f a a a ++=

≥++即证(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈

综上所述，当[0,2)a ∈时，不等式()f x x ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立-------15分

17