第3章_离散信源(1)题与答案
设有一离散无记忆信源，其概率空间为
???
?
??=====??????8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X 该信源发出的信息序列为(202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210)。求：
(1) 此消息的自信息量是多少
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少
解： (1)
此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此消息发出的概率是：
6
2514814183??
?
?????? ?????? ??=p
此消息的信息量是：bit p I 811.87log =-= (2)
此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==
某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知信源的概率空间为
????
??=??????4/34/110
)(X P X
(1) 求信息符号的平均熵；
(2) 由100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。
解： (1)
bit x p x p X H i
i i 811.043log 4341log 41
)(log )()(=??? ??+-=-=∑
(2)
bit m x p x I x p m
i i m m
m i 585.15.414
3
log
)(log )(4
34341)(100
100100
100100+=-=-==?
?
? ?????? ??=---
(3)
bit X H X H 1.81811.0100)(100)(100=?==
某信源的消息符号集的概率分布和二进制代码如题表所列。
题表
(1) 求信息的符号熵；
(2) 求每个消息符号所需要的平均二进制码的个数或平均代码长度。进而用这一结果求码序列中的一个二进制码的熵；
(3) 当消息是由符号序列组成时，各符号之间若相互独立，求其对应的二进制码序列中出现0和1的无条件概率0p 和1p ，求相邻码间的条件概率1/0p 、0/1p 、1/1p 、0/0p 。
解： (1)
bit x p x p X H i
i i 75.181log 8181log 8141log 4121log 21
)(log )()(=??? ??+++-=-=∑
(2)
bit X H L
X H N X H l x p l E L N i
i i i 1)(1
)(1)(75.138
1
381241121)()(===
=?+?+?+?=
==∑
(3)
设消息序列长为N ，则0u 、1u 、2u 、3u 的个数分别为8/ ,8/ ,4/ ,2/N N N N 个。
则0的个数为8708181412N
N N N N =
?+?+?+? 而1的个数为8
738281402N
N N N N =?+?+?+?
因而5.010==p p
212
141/ 21212121/212
12121/ 21
2141
/1111/11010
/10000/01101
/0====?===?
=
====p p p p p p p p p p p p
设有一个信源，它产生0，1序列的信息。该信源在任意时间而且不论以前发生过什么消息符号，均按P(0) = ，P(1) = 的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的； (2) 试计算H(X 2), H(X 3/X 1X 2)及H ∞；
(3) 试计算H(X 4)并写出X 4信源中可能有的所有符号。
解： (1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……” (2)
bit
X H X X X X H H bit x p x p X H X X X H bit
X H X H N N N N i
i i 971.0)().../(lim 971.0)6.0log 6.04.0log 4.0()(log )()()/( 942.1)6.0log 6.04.0log 4.0(2)(2)(12132132====+-=-===+?-==-∞
>-∞∑
(3)
1111
111011011100101110101001100001110110010101000011001000010000的所有符号： 884.3)6.0log 6.04.0log 4.0(4)(4)(44X bit X H X H =+?-==
有一马尔可夫信源，已知转移概率为3/2)/(11=S S p ，3/1)/(12=S S p ，1)/(21=S S p ，
0)/(22=S S p 。试画出状态转移图，并求出信源熵。
解：
bit
S S p S S p S p H S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S S p S p S S p S p S p S S p S p S S p S p S p i
j
i j i j i 689.0 31log 314332log 3
2
43 )
/(log )/()(4/1)(4
/3)(1
)()()
(31)()(31)()()(32)()
/()()/()()()/()()/()()(2
121121221112122222121111=?
?? ???+?-=-=??
?==????
?
=+=???
???
?
=+=??
?+=+=∑∑∞ 黑白传真机的信息元只有黑色和白色两种X ={黑，白}，一般气象图上黑色出现的概率为P(黑) = ，白色出现的概率为P(白) = ，黑白消息前后没有关联，其转移概率为P(白/白) = ，P(黑
/白) = ，P(白/黑) = ，P(黑/黑) = 。求该一阶马尔可夫信源的不确定性H(X/X)，并画出该信源的状态转移图。
解：
2/3
bit
S S p S S p S p H S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S S p S p S S p S p S p S S p S p S S p S p S p i
j
i j i j i 553.0 9.0log 9.0321.0log 1.0322.0log 2.0318.0log 8.031 )
/(log )/()(3
/2)(3/1)(1)()()(2)()(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(21211212221112122222121111=?
?
?
???+?+?+?-=-=??
?==??
?=+=??
?+=+=??
?+=+=∑∑∞
设信源产生A, B, C 三种符号2/1)/(=B B p ，4/1)/()/(==B C p B A p ，8/5)/(=A A p ，
4/1)/(=A B p ，8/1)/(=A C p ，8/5)/(=C C p ，4/1)/(=C B p ，8/1)/(=C A p 。试计算冗余
度。
解：
??
?
?
?
?
???
++=++=++=)(85)(41)(81)()(41)(21)(41)()(81)(41)(85)(C B A C C B
A B C B A A s p s p
s p s p s p s p s p s p s p s p s p s p p(黑/黑)=0.8
S 1
S 2
p(白/白)=0.9
138.03
log 366
.111 366.1 85log 853141log 413181log 8131 41
log
413121log 213141log 4131 81log
813141log 413185log 8
5
31 )
/(log )/()(3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()(03
3
3
=-=-
==?
?
?
?+?+?+?+?+?+????+?+?-=-=???
??===??
?=++==∞∞∑∑∑H H R bit p e e p e e p e p H s p s p s p s p s p s p s p s p s p i
j
k
i j i j i C
B A
C B A C B A
一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X 的符号集为{0, 1, 2}。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H ∞。
解： (1)
??
?
?
?
?
???
+=+=+=)(43)(31)()(41)(32)()(4
1)(43)(323122311
s p s p s p s p s p s p s p s p s p
???
??===?????==11/4)(11/3)(11/4)()(4
3)()()(3
211231s p s p s p s p s p s p s p
(2)
bit
e e p e e p e p H i
j
k
i j i j i 840.0 43log 4311441log 41114 31
log
3111332log 32113 41log
4111443log 4
3
114 )
/(log )/()(333
=?
?
?
?+?+?+?+????+?-=-=∑∑∑∞