信号分析与处理_杨西侠_课后答案二三五章
2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别
1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t )
2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t )
3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 )
4）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u ( t – t 0 )
-
2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图
（1）x ( t-2 )
（2）x ( t+2 )
（3）x (2t)
（4）x ( t/2 )
（5）x (-t)
（6）x (-t-2)
（7）x ( -t/2-2 )
（8）dx/dt
2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值
(1)?+∞∞
-
-)
(
t
t x
δ(t) dt = x(-t0)
(2)?+∞∞
-
-)
(
t
t x
δ(t) dt = x(t0)
x (-t-2)
(3)
?+∞∞--)(0t t δ u(t -2
t ) dt = u(
2
t )
(4)
?
+∞∞
--)(0t t δ u(t – 2t 0
) dt = u(-t 0
)
(5)
()
?+∞∞--+t
e
t
δ(t+2) dt = e 2-2
(6)
()?+∞∞
-+t t sin δ(t-
6π
) dt =
6
π
+
2
1
(7)
()()[]?
+∞∞-Ω---dt t t t e t j 0δδ
=
()?
+∞
∞
-Ω-dt t e
t
j δ–?+∞
∞
-Ω--dt t t e t j )(0δ
= 1-
t j e
Ω- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 0
2-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t)
(1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 )
x 1(t)* x 2(t) =
?
+∞
∞
---ττττ
d t u e
u a )()( =
?
-t
a d e 0
τ
τ =
)1(1
at e a
--
x 1(t)* x 2(t) =
τ
τδτδτπ
d t t u t )]1()1([)]()4[cos(---+-+Ω?
+∞
∞
-
= cos[Ω(t+1)+
4
π]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+
4
π
]u(t-1)
(3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2)
x 1(t)* x 2(t) =
?
+∞
∞
-+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([
当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0
当 0 t d τ ? = t 当 1 2 1d τ ? = 1 当 2 2 t d τ -? =3-t 当 3 (4) x 1(t) = u(t-1) , x 2(t) = sin t · u(t) x 1(t)* x 2(t) = ? +∞ ∞ ---ττττd t u u )1( )( )sin( = ? ?∞ ==0 1 -t 0 1 -t 0| cos - d sin 1)d --u(t sin ττττττ = 1- cos(t-1) 2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0 f(t) = f(-t), f(t) = f(t ±T/2) (2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = -f(t ±T/2) (3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = f(-t) (4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2) (5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2) (6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = -f(-t) 2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量 (a) 这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，因为去除直流后为奇函数。 (b) 这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。 (c) 除去直流分量后是奇函数，又f(t) = f(t±T/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。(d) 正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。 (e) 奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐） (f) 正负半波对称、奇函数、奇谐波函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。 2-7 试画出x(t) = 3cos Ω1t + 5sin2Ω1t 的复数谱图（幅度谱和相位谱） 解：a 0 = 0, a 1 = 3, b 2 = 5, c 1 = 3, c 2 = 5 |x 1| = | 2 1(a 1-jb 1)| = 2 3, |x 2| = 2 1c 2 = 2 5 φ1 = arctan (- 30) = 0, φ-1= 0 φ2 = arctan (-0 5 ) = - 2 π , φ-2= 2 π 2-8 求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数 解：这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。 b n = ?ΩT t x T 0 dt t n sin )(2 = ? Ω20 dt t n sin 2 2T E T – ? ΩT T E T 2 dt t n sin 2 2 1 1 = ? ΩΩ20 ]dt )2 T -(t n sin -t n sin [T T E = 2 02 T 0|)]2 ([n cos 2n E |t n cos 2T T t n E -Ω+Ω-ππ = )n cos -(1 cos 2n E 1)- n (cos 2ππ ππ+-n E π n E 2 ，n 为奇数，n = 1，3，5 …… = 1)- n (cos =- ππ n E 0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 …… ∴ x(t) = ] t 5sin 5 1 t 3 sin 31 t sin [ 2???+Ω+Ω+ΩπE 指数形式的傅里叶级数 0 , n = 0, ±2, ±4 …… X n = 2 1(a n -jb n ) = π n jE - , n = ±1, ±3, ±5 …… ∴ x(t) = a 0 + ∑∞ =Ω-Ω+0 )(n t jn n t jn n e X e X 2-9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数 解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量 a o = ?40 4 1T dt t T E T = 8 E + ?4 34 E 1T T dt T + ?T T dt T 43 )T t -4E(1 1 = 8E + 2E + E –)169(22 22T T T E - = 46E –43E = 4 3E a n = ?ΩT dt t T 0 n cos x(t) 2 = ?ΩΩ+T dt T 0 t jn -t jn )e (e x(t) 1 = T 1 = )2cos 1() (42 π πn n E --, n = 1, 2, … ∴ x(t) = 4 3E – ]... t 3 cos 91 t cos241 t cos [42 +Ω+Ω+Ωπ E 2-10 若已知F [x(t)] = X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换 (1) x(2t –5) (2) x(1–t) (3) x(t) · cos t 解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得 F [x( 2t - 5)] =Ω Ω25 j -e )2 ( X 21 (2) 由时移特性和尺度变换特性 F [x(at)] = )a ( X ||1Ωa F [x(t-t 0)] = 0t -j e )( X ΩΩ F [x(1–t)] = ΩΩ-j e )(- X (3) 由欧拉公式和频移特性 cos t = )e e ( 2 1 jt -j +t F [t j 0e (t)x Ω±] = X(Ω μΩ0 ) Ω0 = 1 F [x(t) · cos t] = 2 1 [ X(Ω–1) + X(Ω+1)] 2-11已知升余弦脉冲x(t) = ) 2 cos 1 (2t E π+)( ττ<<-t 求其傅里叶变换 解：x(t) = ) 2 cos 1 (2t E π+[ u( t +τ)–u( t –τ)] 求微分 )(t x ' = )]-u(t - ) u(t [ t sin 2τττ πτ π+-E )(t x '' = )]-u(t - ) u(t [ t cos 222τττ πτπ+-E )(t x '''= )]-u(t - ) u(t [ t sin 233τττπτπ+E + )]-(t - ) (t [ 222 τδτδτ π+E = (t) 22x 'τπ+ )]-(t - ) (t [ 222τδτδτ π+E 由微分特性可得： ( j Ω)3 X(Ω) = 22 )](2E )X( )[-(j τ πττΩ -Ω-+ΩΩj j e e ∴ X(Ω) = )(2sin 22222 Ω-ΩΩτ πτπE 2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换 解：(1) 由卷积定理求 x(t) = )(2 t G τ * )(2 t G τ )(2 t G τ = )]4 ()4([2τττ--+t u t u E )(2 ΩτG = )4 (22τ ττΩSa E 由时域卷积定理 X(Ω) = )(2 ΩτG )(2 ΩτG = )4 (22τ τΩSa E (2) 由微分特性求 2τE ，–2 τ< t < 0 )(t x ' = – 2τ E ，0 < t < 2 τ 0 ，| t | > 2 τ )(t x '' = 2τ E [δ( t +2τ ) +δ( t –2 τ )–2δ(t)] 由微分特性 ( j Ω)2 X(Ω) = )22 cos 2(2)2(2E 2 2 -Ω=--Ω -Ωτ ττ ττE e e j j X(Ω) = )4 (22τ τΩSa E 2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱 解：)(t G τ = E [ u( t + 2τ)–u( t –2 τ )] )(ΩτG = )2 ( ττΩSa E x(t) = τ G ( t + 2 τ)–τ G ( t –2 τ) 由时移特性和线性性 X(Ω) = )2( ττΩSa E τ2Ωj e –)2 ( τ τΩSa E τ2Ω -j e = ) 2 ( ττΩSa E j e e j j 22 2 Ω-Ω-τ·2j = 2j )2( ττΩSa E 2 sin τΩ 2-14已知三角脉冲x 1(t)的傅里叶变换为 X 1(Ω) = )4 (22ττΩSa E 试利用有关性质和定理求x 2(t) = x 1(t –2 τ ) cos Ω0t 的傅里叶变换 解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题 由时移性质 F [x 1 (t –2 τ)] = 2 j -1e )( X τ ΩΩ 由频移特性和频域卷积定理可知： F [x(t )cos Ω0t]= 2 1 [X(Ω–Ω0)+ X(Ω+Ω0)] X 2 (Ω) = F [x 1 (t –2 τ )cos Ω0t] = 2 1[ X 1 (Ω–Ω0) τ20Ω-Ω-j e + X(Ω+Ω0) τ2 0Ω+Ω-j e ] 信号分析与处理答案第 二版 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 第二章习题参考解答 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。 (1) 解当激励为时，响应为，即： 由于方程简单，可利用迭代法求解： ，， …， 由此可归纳出的表达式： 利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应： (2) 解 (a)求冲激响应 ，当时，。 特征方程，解得特征根为。所以： …(2.1.2.1) 通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)： …(2.1.2.2) 可验证满足式(2.1.2.2)，所以： (b)求阶跃响应 通解为 特解形式为，，代入原方程有，即 完全解为 通过原方程迭代之，，由此可得 解得，。所以阶跃响应为： (3) 解 (4) 解 当t>0时，原方程变为：。 …(2.1.3.1) …(2.1.3.2) 将(2.1.3.1)、式代入原方程，比较两边的系数得： 阶跃响应： 求下列离散序列的卷积和。 (1) 解用表 格法求 解 (2) 解用表 格法求 解 (3) 和 如题图2.2.3所示 解用表 格法求 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解参见右图。 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (7) ， 解参见右图： 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (8) ，解参见右图 当时： 当时： 当时： 当时： (9) ， 解 (10) ， 解 或写作： 求下列连续信号的卷积。 (1) ， 解参见右图： 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (2) 和如图2.3.2所示 解当时： 当时： 当时： 当时： 当时： (3) ， 解 (4) ， 解 (5) ， 解参见右图。当时：当时： 当时： 电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω = 当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分) 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32621=< =Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。 3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω )表示下列序列的傅里叶变换： （1） )1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([2 1 )(2n x n x n x -+= * 分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即 )()(ωj e X n x ?，)()(ωj e X n x -?- )()(ωωj m j e X e n m x --?- 解：（1）由于)()]([ω j e X n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则 )()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=-- 故ωωωωω cos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= （2）由于)()]([ω j e X n x DTFT * * =- 故)](Re[2 ) ()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+= * 3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）： 北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。 （1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？ （2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？ （3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。 （1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应； （2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数； （3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。 （1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω； （2）、求Y(t)的平均功率； （2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。 分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。 （1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度； （2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方 信号是带有信息（如语音、音乐、图象、数据等）的随时间（和空间）变化的物理或物理现象，其图象称为信号的波形。信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。 分类：根据不同分类原则，信号可分为：连续时间信号与离散时间信号；确定信号与随机信号；周期信号和非周期信号；功率信号与能量信号等等 反因果信号：若当t ≥0时，f (t )=0;当t <0时，f (t )≠0. 系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 ???????=???≠=∞=?∞ ∞ -1)()0( 0)0( )(dt t t t t δδ()()t t δδ-= ()t δ为偶对称函数 1()d 2j t t e ωδωπ ∞-∞= ?——()t δ的逆傅立叶变 换 ()()d ()() t x t t t t x t t t δε-∞ -=-?) ()()()(000t t t x t t t x -=-δδ)(| |1 )(t a at δδ= )(t δ'是奇对称函数 ) ()(, 0)(t d d t δττδττδ='='? ? ∞ -∞ ∞ -离散时间单位: 0()(), ()()(1) m n n m n n n εδδεε+∞ ==-=--∑稳定 性 ∑? +∞-∞ =∞ +∞ -∞ <∞ 第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥?? 第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 王锋 实验一：利用FFT 作快速相关估计 一、实验目的 a.掌握信号处理的一般方法，了解相关估计在信号分析与处理中的作用。 b.熟悉FFT算法程序；熟练掌握用FFT作快速相关估计的算法。 c.了解快速相关估计的谱分布的情况。 二、实验内容 a.读入实验数据[1]。 b.编写一利用FFT作相关估计的程序[2]。 c.将计算结果表示成图形的形式，给出相关谱的分布情况图。 注[1]：实验数据文件名为“Qjt.dat”。 实验数据来源：三峡前期工程 “覃家沱大桥” 实测桥梁振动数据。 实验数据采样频率：50Hz。 可从数据文件中任意截取几段数据进行分析，数据长度N 自定。 注[2]：采用Matlab 编程。 三、算法讨论及分析 算法为有偏估计，利用FFT计算相关函数 Step 1: 对原序列补N个零，得新序列x2N(n) Step2: 作FFT[x2N(n)]得到X2N(k) Step 3: 取X2N(k)的共轭，得 Step 4: 作 Step 5: 调整与的错位。 四、实验结果分析 1. 该信号可以近似为平稳信号么？ 可以近似为平稳信号，随机过程的统计特性不随样本的采样时刻而发生变化。取N=8192，分别取间隔m=500,m=700,m=1000,所得到的均值均为0.5366，方差为47369，与时间无关。 图1-1 自相关函数图 (上图表示的R0，下图为调整后的R0) 2. 该信号是否具有周期性，信噪比如何？ >> load Qjt.dat; %加载数据 N=32768; %数据长度 i=1:1:N; %提取数据 plot(i,Qjt(i)); 抛去几个极值点，从图1-2可以看出，数据具有一定的周期性，杂音比较少，说明信噪比较高。 图1-2 数据图 信号分析与处理课后习题答案 第五章快速傅里叶变换 1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问： （1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？ （2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解： 分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)； 利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ； （1） 直接DFT 计算： 复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =?=?= 复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-?=-?= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+= FFT 计算： 复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =?=???= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =?=??= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积 计算过程为如下： 第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ? 第二步：计算12()()()X k X k X k =?，共需要N 次复乘运算 所需时间为501024500.0512To N us us s =?=?= 第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T 所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =?+=?+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz 2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。 王锋 实验五：多种功率谱估计的比较 一、实验目的 a.了解功率谱估计在信号分析中的作用； b.掌握随机信号分析的基础理论，掌握参数模型描述形式下的随机信 号的功率谱的计算方法； c.掌握在计算机上产生随机信号的方法； d.了解不同的功率谱估计方法的优缺点。 二、实验准备 有三个信号源，分别代表三种随机信号（序列）。 信号源1： 123()2cos(2)2cos(2)2cos(2)()x n f n f n f n z n πππ=+++ 其中，1230.08,=0.38,0.40f f f == z(n)是一个一阶 AR 过程，满足方程： ()(1)(1)()z n a z n e n =--+ (1)0.823321a =- e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差20.1σ= 信号源2和信号源3： 都是4阶的AR 过程，它们分别是一个宽带和一个窄带过程，满足方程： ()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()x n a x n a x n a x n a x n e n =--------+ e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差2σ，参数如下： 三、实验内容 a. 描绘出这三个实验信号的真实功率谱波形。 b. 在计算机上分别产生这个三个信号，令所得到的数据长度 N= 256 。 注意：产生信号的时候注意避开起始瞬态点。例如，可以产生长度为512 的信号序列，然后取后面256 个点作为实验数据。 c. 分别用如下的谱估计方法，对三个信号序列进行谱估计。 1、经典谱估计 周期图法 自相关法 平均周期图法（Bartlett 法） Welch法（可选每段64 点，重叠32 点，用Hamming 窗）2、现代谱估计 Yule - Walker方程（自相关法） 最小二乘法 注：阶次p可在3－20之间，由自己给定。 四、实验结果分析 生成的信号源 《信号分析与处理》(第二版)-徐科军、黄云志-课后答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： Chap1. 1.4 ()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()121 2 122 12112 2 121 2 2 2y 11102 y 0.5111 y 0.5 1.513y 0 13 013 y 0.5111 0.5 1.513t t t t t x t x t x x t d x x t x x t d t d t t t x x t d t d t t t t t or t t or t t t t t t t τττ ττττ τττττττττττ+∞ -∞ ----=*=-=-≤≤???=≤≤??=-= -=+-<≤=-= -=-++<<=≤-≥≤-≥??=+-<≤??-++< ()()[] ()()()[]()()()∑∞ =? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= =??? ??<≤<≤-=1002212 2 01cos cos cos 1cos 141cos 1cos 1 5 .0202 20 (a)n n n t n n n t n n n t x n n b n n a a T t t T t T t x πππππ πππ 代入公式得： ()() ()()() ()[] ()()[]()()∑∞ =Ω-? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= ==Ω=Ω-=1002222 2 012 212cos 1cos cos 11411cos 11 5.0cos 2 (b)n n n T jn t n n t n n n t x n b n n a a n n X e n X T t x t x πππππππ得到：根据时移性质： ()() ()()()[]()()[]() ∑?∑∞ =-∞ =Ω-+=-=Ω==Ω+=102232 20 2 0201 00 3cos cos 12 21cos 12cos 41 cos 2 (c)n T n n n t n n n t x n n dt t n t x T a a t n a a t x ππ ππ偶对称， 1.12 ()()dt e t x j X t j ?+∞ ∞ -Ω-=Ω频谱密度函数： 周期序列的频谱分析： 已知周期序列在一个周期N=4内的取值为x(n)=[0 1 2 3]采用MATLAB计算该周期序列的频谱（DTFS）。 程序： %周期序列的时域波形 x=[0 1 2 3];n=0:3; N=length(x);figure(1); stem(n,x,'*'); axis([0 4 -4 4]);grid; xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('周期序列时域波形'); for k=0:1:3 dk(k+1)=(x(1)*exp(-j*k*2*pi/N*0)+x(2)*exp(-j*k*2*pi/N*1)+x(3)*exp (-j*k*2*pi/N*2)... +x(4)*exp(-j*k*2*pi/N*3))/N; realdk(k+1)=real(dk(k+1)); imagdk(k+1)=imag(dk(k+1)); magnitude(k+1)=abs(dk(k+1)); phase(k+1)=angle(dk(k+1)); end %周期序列的频谱：实部和虚部 k=0:1:3; figure(2); subplot(2,1,1); stem(k,realdk(k+1),'*'); axis([0 4 -4 4]); xlabel('k'); ylabel('Real Part of d(k)');grid; subplot(2,1,2); stem(k,imagdk(k+1),'*'); axis([0 4 -4 4]); xlabel('k'); ylabel('Imaginary Part of d(k)');grid; %周期序列的频谱：幅值和相位 figure(3); subplot(2,1,1); stem(k,magnitude(k+1),'*'); axis([0 4 -4 4]); 电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷 一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变 量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平 稳？（3分） 解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密 度函数为：f x（X；厂）（X） 当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均 匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数 （n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数 其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个 随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求 （共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分） 河南科技学院2006-2007学年第二学期期终考试 信号分析与处理试题 适用班级： 注意事项：1 在试卷的标封处填写院（系）、专业、班级、姓名和准考证号。 2 考试时间共100分。 一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分） 1．下列单元属于动态系统的是（ ） A. 电容器 B.电阻器 C.数乘器 D.加法器 2．单位阶跃函数()u t 和单位冲激函数()t δ的关系是（ ） A.()/()d t dt u t δ= B.()/()du t dt t δ= C.()()u t t δ= D.()2()u t t δ= 3．()()f t t dt δ∞-∞=?（ ） A.()f t B.()t δ C.(0)f D.(0)δ 4．单位冲激函数()t δ的()F j ω=（ ） A .0 B.-1 C.1 D.2 5．设()f t 的频谱为()F j ω，则利用傅里叶变换的频移性质，0()j t f t e ω的频谱为（ ） A.0()F j ω B.()F j ω C.0[()]F j ωω+ D.0[()]F j ωω- 6．设1()f t 的频谱为1()F j ω，2()f t 的频谱为2()F j ω，利用傅里叶变换卷积定理，12()()f t f t *的频谱为（ ） A.1()F j ω B.2()F j ω C.11()()F j F j ωω* D.11()()F j F j ωω 7．序列()n m δ-的Z 变换为（ ） A.m z B.m z - C.m D.m - 8．单边指数序列()n a u n ，当（ ）时序列收敛 A.1a < B.1a ≤ C.1a > D.1a ≥ 9．取样函数()/Sa t sint t =，则(0)Sa =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．设实函数()f t 的频谱()()()F j R jX ωωω=+，下列叙述正确的是（ ） ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 信号分析与处理课后习题答案 第五章 快速傅里叶变换 1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问： （1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？ （2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解： 分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)； 利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ； （1） 直接DFT 计算： 复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =?=?= 复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-?=-?= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+= FFT 计算： 复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =?=???= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =?=??= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积 计算过程为如下： 第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ? 第二步：计算12()()()X k X k X k =?，共需要N 次复乘运算 所需时间为501024500.0512To N us us s =?=?= 第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T 所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =?+=?+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz 2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。 信号分析与处理实验实验一时间信号的产生 班级：自动化1101班 姓名：陈宝平 学号： 成绩： 1. 实验目的 数字信号处理系统中的信号都是以离散时间形态存在的。研究离散时间信号，首先 需要产生出各种离散时间信号。使用MATLAB 软件可以方便的产生各种常见的离散时间信号，还具有强大的绘图功能，便于用户直观地处理输出结果。 通过本实验，学习用MATLAB 产生一些常见的离散时间信号，并通过MATLAB 绘图工具对产生的信号进行观察加深对常见离散信号和信号卷积和运算的理解。 2. 实验原理 离散时间信号用x(n)来表示，自变量n 必须是整数；连续时间信号用x(t)来表示。常见的时间信号如下： (1) 单位冲激序列δ(n)=???≠=0,00,1n n ; 如图(a); 单位冲激信号δ(t)=? ??≠=0,00 ,1t t ;如图(b): (a) (b) 如果δ(n)在时间轴上延迟了k 个单位，得到δ(n-k)=? ??≠=k n k n ,0,1。 (2) 单位阶跃序列u(n)=???<≥0,00,1n n ; 如图(c)：单位阶跃信号u(t)=???<≥0 ,00 ,1t t ; 如图(d): (c) (d) 如果u(n)在时间轴上延迟了k 个单位,得到u(n-k)=???<≥k n k n ,0,1。 (3) 矩形序列R N (n)=???≥<-≤≤),0(,0) 10(,1N n n N n ,矩形序列有一个重要的参数，就是序列宽度 N 。R N (n)与u(n)之间的关系为R N (n)= u(n)- u(n-N)。如图(e): 单位矩形信号R (t)=? ??≥<≤≤),0(,0) 0(,1T t t T t , R(t)=u(t)-u(t-T),如图(f): (e) (f) （4）正弦序列x(n)=Acos(ω0n+?)。只有当 2ωπ 为有理数时，正弦序列具有周期性, 如图(g): 正弦信号x(t)=Acos(?ω+t 0),如图(h); (g) (h) (5)单边实指数序列x(n)=a n u(n)，当a>0时，该序列均取正值，当a<0时，序列在正负摆动。如图分别为：x(n)=1.2n , x(n)=(-1.2)n , x(n)=0.8n , x(n)=(-0.8)n 的图。 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别 1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t ) 2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t ) 3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 ) -1 4）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0) 2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图 （1）x ( t-2 ) （2）x ( t+2 ) （3）x (2t) （4）x ( t/2 ) （5）x (-t) （6）x (-t-2) （7）x ( -t/2-2 ) （8）dx/dt 2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值 (1)?+∞ ∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)?+∞ ∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)?+∞∞ --)(0t t δ u(t - 20t ) dt = u(2 t ) (4)?+∞ ∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)() ?+∞∞ --+t e t δ(t+2) dt = e 2-2 (6)()?+∞ ∞-+t t sin δ(t-6π ) dt = 6 π + 2 1 (7) ()()[]?+∞ ∞-Ω---dt t t t e t j 0δδ =()?+∞ ∞ -Ω-dt t e t j δ–?+∞∞ -Ω--dt t t e t j )(0δ = 1-0 t j e Ω- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 0 2-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =?+∞ ∞---ττττ d t u e u a )()( = ?-t a d e 0 ττ = )1(1at e a -- x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπ d t t u t )]1()1([)]()4 [cos(---+-+Ω?+∞ ∞- = cos[Ω(t+1)+ 4 π ]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+ 4 π ]u(t-1) (3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) x 1(t)* x 2(t) = ? +∞ ∞ -+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([ 当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0信号分析与处理答案第二版完整版
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