信号空间分析

信号空间分析基础知识

一、线性空间的基础知识

线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。通俗地说，在一个集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集就成为一个线性空间。

1.1 数域的定义

[定义1.1] 设F是一个包含0和1的一个数集，如果F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F中的数，那么称F为数域。

[例1.1]全体实数集R、全体复数集C、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集R+，全体整体集Z等都不是数域。

1.2 线性空间的定义

[定义1.2] 设V是一非空集，F是数域。对V中任意两个元α、β，定义一个加法运算，记为“+”：α+β∈V；定义一个数乘运算：kα∈V，k∈F。如果这两种运算满足以下规则：

①对任意α、β∈V，有α+β＝β+α；

②对任意α、β、γ∈V，有(α+β)+γ＝α+(β+γ)；

③存在０∈V，使得对任意α∈V，都有α+０＝α，这个元“０”称为V的零元；

④对任意α∈V，存在－α∈V，使得α+(－α)＝０，这个元“－α”称为V的负元；

⑤对任意的k∈F和任意α、β∈V，有k(α+β)＝kα+kβ；

⑥对任意α∈V和任意的k,l∈F，有(k+l)α=kα+lα；

⑦对任意α∈V和任意的k,l∈F，有k(lα)=(kl)α；

⑧F中存在数1,使得对任意α∈V，有1α＝α；

那么称V为F上的线性空间（或向量空间），记为V(F)；V中的元称为向量。定义的加法运算和数乘运算称为V的线性运算。

注：不管V中的元具体是什么，当F为实数域R时称V 为实线性空间，当F为复数域C时称它为复线性空间。

[例1.2] 全体实n维向量组成的集，对于通常意义的向量加法和数乘向量运算，构成一个实线性空间，记为R n。

[例1.3] 由F中的数形成的m×n矩阵全体，对于通常定义的矩阵加法和数乘矩阵，构成F上的线性空间，记为F m×n。

[例1.4]区间[a,b]上的连续函数的全体，对于通常意义的函数加法和数乘函数，构成线性空间，记之为C[a,b]。

[例1.5] 实数域R上的多项式全体，按通常意义上的多项式加法及数与多项式乘法，构成实线性空间，记为P(t)。

注：（多项式定义）设a i∈F，0≤i≤m，t为变量，则p(t)=a0t m+ a1t m-1 + …… +a m-1t+a m称为F上的一个多项式。当a0≠0时，p(t)称为m次多项式，a0t m称为p(t)的首项。系数全为0的多项式称为零多项式，记为0。零多项式是唯一不定义次数的多项式，它与零次多项式是不同的。

1.3 线性空间的性质

①零元是唯一的。

②对任意α∈V，它的负元是唯一的，从而可以定义V 中两个元α、β的减法为α－β＝α+(－β)。

③对任意α∈V，有0α＝０，(－1)α＝－α；对任意的k∈F，有k０＝０。

1.4 线性空间的维数和基

[定义1.3] 若α1,α2,…,αm∈V(F)，k1, k2,…, k m∈F，则

11221...m

m m i i i k k k k βαααα==+++=∑ 是V (F )的元，称β为α1, α2,…, αm 的一个线性组合，或称β可由α1, α2,…, αm 线性表出。

[定义1.4] V 中的向量组{α1, α2,…, αm } (m ≥1) 称为线性相关的，如果存在为一组不全为零的数k 1, k 2,…, k m ，使

10m i

i i k α==∑。

若仅当k 1= k 2=…= k m =0时上式才成立，则称此向量组是线性无关的。

[推论1.1] 当m ≥2时，向量组{α1, α2,…, αm }线性相关的充分必要条件是，其中至少有一个向量αi (1≤i ≤m )可由组中其余向量线性表出。

[定义1.5] 如果在线性空间V 中能够找到无线多个线性无关的向量，则称V 为无限维的；而若在V 中只能找到有限多个线性无关的向量，则称V 是有限维的，并且把最大线性无关向量的个数称为V 的维数，记为dim V 。dim V =n 的线性空间称为n 维线性空间，记为V n 。

[定义1.6] V n 中给定顺序的n 个线性无关向量α1, α2,…,

αn 所组成的向量组称为V n 的一个基，记为β＝{α1, α2,…, αn }。V n 中的向量αi (1≤i ≤n )称为第i 个基向量。

[定理1.1] 设β是V n 的一个基，则V n 中的任一向量ξ都可由β唯一地线性表出。

这个定理表明，在V n 中取定一个基，那么对任意ξ∈V n ，存在唯一的一组数x 1, x 2,…, x n ，使，

1n

i i i x ξα==∑ 用矩阵记号，可表示成：

[]1212

......n n x x x ξααα????

??=??????

x ＝[x 1 x 2 … x n ]T 称为ξ在基β下的坐标向量（或称坐标），x i (1≤i ≤n )称为ξ在下β的第i 个坐标。

[例1.6] 在p 2(t )中取基β＝{1,t ,t 2}，则多项式p (t )=2t 2-t +2在β下的坐标向量是[1 -1 2]T ，因为

22212111(1)2112t t t t t t ???????+=+??+?=?????????

1.5 线性空间的子空间

[定义1.8] 设W 是线性空间V 的一个非空子集，如果W 关于V 中的线性运算也构成线性空间，则称W 为V 的子空间，记为W V ?。

[定义1.9] 设α1, α2,…, αr (r ≥1)是V 的r 个向量，它们所有可能的线性组合所组成的集合

121span{,,...,}{|}r

r i i i k αααααα===∑ 是V 的一个子空间，称为由α1, α2,…, αr 张成的子空间。

1.6 内积

[定义1.10] 设V 是R 上的实线性空间，如果对任意的α、β∈V ，都有一个实数〈α，β〉与之对应，并具有下列性质：

①对称性：〈α，β〉＝〈β，α〉；

②可加性：〈α+β，γ〉＝〈α，γ〉+〈β，γ〉；

③齐次性：〈k α，β〉＝k 〈α，β〉，k ∈R ；

④正定性：〈α，α〉≥0，当且仅当α＝０时才有；

则称〈α，β〉为α与β的内积。定义了内积的实线性空间V 称为Euclid 空间，简称欧氏空间。

[例1.7] 在R n 中，定义

1,n

T

i i i x y x y x y =??==∑ 容易验证它满足内积定义中的四条性质，所以是内积。这样，R n 就成为欧氏空间，仍记为R n 。

[例1.8] 在P n (t )中定义

1

0(),()()()p t q t tp t q t dt ??=∫ 容易验证它是内积。在定义了这个内积之后，P n (t )成为一个欧氏空间。

[例1.9] 在C [a ,b ]中，对任意两个函数f (x )，g (x )，规定

(),()()()b

a f x g x f x g x dx ??=∫ 它是内积，从而C [a ,

b ]成为欧氏空间，仍记为C [a ,b ]。

[定义1.11] 设α∈V

为α的长度，记为|α|。长度为1的向量称为单位向量。

这样定义的向量长度具有通常的长度性质：

①|k α|＝|k |·|α|；

②|α|＝0当且仅当α＝０；

③对于任一α≠０，有

11αααα

=?=

即αα

是单位向量。这种对一非零向量除以这个向量的长度成为单位向量的方法称为向量的单位化。

1.7 向量范数

向量范数是描述向量“大小”的一种度量，具有比向量长度更广泛的概念。

[定义1.12] 设V 是数域F 上的线性空间，对V 中任一向量α，都有一个实数||α||与这对应，且满足下列三个条件：

①正定性：||α||≥0，当且仅当时才有||α||＝0；

②齐次性：||k α||＝||k ||?||α||，k ∈F ；

③三角不等式：||α+β||≤||α||+||β||；

则称||α||为α的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。

[例1.10] 在C n 上，对于任一向量x ＝[x 1 x 2 … x n ]T ，x 的

长度x =就是的一种范数，称为欧氏范数，常称为2-范数。

[例1.11] 定义在区间[a ,b ]上的实信号的全体构成的线性空间S 中，任一信号x (t )

的范数为x =

。由该范

数的定义可知，||x||2表示该信号的能量。

[定义1.12] 定义在区间[a,b]上的实信号的全体构成的线性空间S中，两信号x(t)和y(t)之间的距离定义为

=?=

[(),()]

d x t y t x y

1.8 标准正交基

[定义1.13] 欧氏空间V中的两个向量α，β称为是正交的，如果有〈α，β〉＝0，并记为α⊥β。

[定理1.2] 设{α1,α2,…,αm} (m≥2)是欧氏空间V中一组两两正交的非零向量，则它们必是线性无关的。

这个定理表明，在n维欧氏空间V n中，两两正交的非零向量个数不会多于n个，而n个两两正交的非零向量就成为V n的一个基。

[定义1.14] 在欧氏空间V n中，有顺序的n个向量所组成的正交向量组称为一个正交基。由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

[推论1.2] 设{ε1,ε2,…,εn}是欧氏空间V n的一个标准正交基，则有

1,,1,2,...,0i j ij i j i j n i j

εεδ=???===?≠? 反之，若向量组{ε1, ε2,…, εn }满足上式，则它是一个标准正交基。

[定理1.3] 欧氏空间中必有标准正交基。

证明：设{α1, α2,…, αn }是V n 的一个基，用下述的方法可以得到一个标准正交基： 第一步：取11111,||

ββαεβ== 第二步：在子空间span{α1, α2}中找一个向量β2，使β2⊥ε1。为此可令β2＝α2+ b 21ε1，其中b 21由β2⊥ε1定出。

由于α1, α2线性无关，从而ε1, α2线性无关，故β2≠0。 故有212211121210,,,b b βεαεεαε=??=?+?=??+

所以2121,b αε=???，因而有

22221122,,||ββααεεεβ=???=　

第三步：现假设已经求出了ε1, ε2,…, εk -1，它们是两两正交的单位向量，接下来要找εk 。在子空间中span{α1, α2,…,

αk }= span{ε1, ε2,…, εk -1, αk }找一个向量βk ，

使βk ⊥εi (1≤i ≤k -1)。为此令

1

1k k k kj j j b βαε?==+∑

由于{ε1, ε2,…, εk -1, αk }线性无关，故βk ≠0。而由βk ⊥εi ，

有

1

10,,,k k i k kj j i k i kj j b b βεαεεαε?==??=?+?=??+∑ 故i ,(11)kj k b i k αε=???≤≤?

因此有

1

1,,||k k k k k j j k j k ββααεεεβ?==???=∑ 根据归纳法原理，按此方法可以作出两两正交的单位向量组，它即是V n 的一个标准正交基。

这种把一个基化为标准正交基的方法称为Schmidt 标准化方法。

[例1.12] 已知R 3中的一个基是

1231221,0,2011x x x ????????????????===???????????????????????

? 用这个基求R 3的一个标准正交基。

解：取y 1=x 1=[1 1 0]T

，单位化后得]1110T ε=

。 令y 2=x 2+ b 21ε1，由212121,,0y x b εε??=??+=

得21b =。

因而有[

]]2212111111T T y x ε=?=?=

?，

同理可得

3313T T y x ε=??=， 于是，R 3的一个标准正交基是

1231/1/1/1/,1/,1/01/2/εεε??????????????==?=????????????????????????????

二、信号空间的定义和运算

2.1 信号空间的定义

信号空间就是由信号（实波形、码序列、多电平脉冲序列等）构成的线性空间，它具有如下特点：

①可以在实数域R 上定义距离、范数（模）；

②可以进行线性运算和内积运算；

③可以讨论它们的收敛性；

④可以用统一的方法分析和研究不同的信号（如把编码与调制统一优化）。

2.2 常用信号空间的运算

2.3 信号的几何表示（矢量表示）

设信号空间C [a ,b ]的一个基为{g 1(t ), g 2(t ), … , g n (t )}，我们运用Schmidt-Gram 正交化方法构造一个标准正交基{f 1(t ), f 2(t ), … , f n (t )}。

第一个标准正交信号为2111()|()|b

a f t g t dt ε==∫； 第二个标准正交信号由g 2(t )来构架，首先计算f 1(t )在g 2(t )上的投影c 12 f 1(t )，即

1212()()b

a c f t g t dt =∫ 然后从f 2(t )中减去c 12 f 1(t )，并归一化，得到

2'2121()()()f t g t c f t =?

2''222()

()|()|b

a f t f t f t dt ε==∫ 依照这种方法，第k 个标准正交信号为

1

'

1

'

'2

()()()

()()

()

()|()|

k

k

k

k ik k

i

b

ik i k

a

b

k k a

f t

g t c f t

c f t g t dt

f t

f t f t dt

ε

?

=

=?

=

==

∑

∫

∫

继续下去，直到所有信号都标准正交化，即可信号空间C[a,b]得到一组标准正交基。

一旦构建了标准正交基，则信号空间C[a,b]中的任何信号s(t)都可表示为这个标准正交基的线性组合，即

1

()()

n

i i

i

s t s f t

=

=∑

即s(t)可以表示成矢量12

[...]

n

s s s

s=

r

；或者等效表示为N维信号空间中的一个点，其坐标为{s1, s2, … , s n}。因此，信号空间C[a,b]中的任何信号都可以用几何方式表示成由标准正交函数集{f1(t), f2(t), … , f n(t)}构架的信号空间中的一个点。

三、信号星座的概念

3.1 信号星座的概念

带通调制波形s(t)都是由{ cosω0t, sinω0t}作基矢量构成的线性空间（2D信号空间）中的一个矢量

000()()cos[()]

()cos ()sin i q s t a t t t m t t m t t ωθωω=+=?

如下图示：

a (t )、θ(t )或m i (t )、m q (t )都是可以独立变化的低通过程，都可以受到调制携带信息。

当这些量都只取有限的离散值时，s (t )在2D 信号空间中就只有可数的有限位置，其表达式为：

000()cos()

()cos ()sin i i i q s t a t m t t m t t ωθωω=+=+

()cos ()sin i i i q i i m t a m t a θθ==，

(1)s s i T t iT ?≤≤其中：

在每一个信元符号持续时间内，s (t )的位置完全由(a i ,θi )

或(m i,m q)所确定，s(t)在2D空间中的每一个可能位置就构成s(t)的一种“状态”，即由一定的(a i,θi)或(m i,m q)的组合所确定的是s(t) 的一种“状态”。由2D信号空间的坐标――信号分量(a i,θi)或(m i,m q)所确定的信号s(t)在2D空间的位置（即信号矢量s(t)的端点）就称为s(t)的一个“信号点”。

调制信号s(t)所有可能的信号状态（信号点）的全体在2D 信号空间中构成的点阵（信号点分布图），称为“信号星座”。

信号星座就是所有可能的信号点在2D空间的分布图形，呈现了所有可能的信号状态。因此，通过星座来分析调制信号传输系统的性能将带来很大的方便，也更直观。

2D 信号空间中信号点的总数目称为星座的规模。由于带通传输信号的带宽只取决于基带脉冲波形和码元间隔T S，而与(a i,θi)或(m i,m q)的取值无关，因此，星座的规模越大，则信号状态越多，在相同的传输带宽要求下，信号的传信率越高，即单位时间内传输的信息量越大。

当平均功率一定时，状态数M ↑→相邻信号点d ↓→维持P e 一定时，SNR ↑。

从星座结构出发研究带通系统传输性能时，可以研究的命题有：

①带通传输系统的性能与星座结构有何关系？以此来提供设计信号和接收处理的依据。

②扩大星座规模可以提高传输有效性，但星座不能无限扩大。在一定状态数的要求下，当平均功率有限时，如何构成最佳的星座结构，以达到最大的可靠性。

3.2 几种调制信号的信号空间表示

1、多进制振幅调制MASK 信号

MASK 调制信号波形可以按等效基带表示为：

0()()cos 2(1,2,....,,0)m m s s t A g t f t m M t T π==≤≤　

式中，{A m ，1≤m ≤M }表示Ｍ个可能的幅度，与Ｍ个符号

一一对应，一般Ｍ＝2k 。

MASK 信号的矢量表示为：

020

()()

()()cos 21,2,...,()s m m m T g s t s f t f t t f t s A m M g t dt πε=====∫其中： 因此，MASK 信号可以用一维信号空间表示，如下图示：

MASK 信号间的距离（欧氏距离）为：

2、MPSK 信号

MPSK 调制信号波形可以按等效基带表示为：

0002()()cos 2(1)22()cos (1)cos 2()sin (1)sin 2(1,2,....,,0)

m s s t g t f t m M g t m f t g t m f t M M

m M t T ππππππ??=+?????

=???=≤≤

MPSK 信号的矢量表示为：

[]

12210201212()()()

()()cos 2()()sin 21)

1)

,1,2,...,m m m m m m m m s t s f t s f t f t t f t

f t t f t

s m s m s s s m M

ππ=+===??==uu r

１其中：

因此，PSK 信号可以在二维空间中表示出来，如下图所示：