2019 2020高中数学第一章计数原理13二项式定理131二项式定理讲义新人教A版选修2 3

1．3.1 二项式定理

知识点二项式定理及其相关概念

1．二项式定理

01knkknnnnn01*1－－aaababbnb∈C＝□N＋…＋C)叫做二项式定理，＋…＋CC(二项展开式：(＋＋)nnnn02k kn})叫做二项式系数．，…，其中各项的系数□( ∈C{0,1,2n03nnkkn1*22xxxxxn∈N)C＝□．＋C(＋…＋C1＋C 特别地，(1＋＋…＋)nnnn04na按降幂排列，从第一项结构特点：(1)；(2)字母等于二项式的幂指数各项的次数都□nbn；1直到按升幂排列，从第一项起，开始，次数由次数由零逐项增逐项减1直到零，字母05n＋1项． (3)共有□2．二项展开式的通项06kkknn－abkbTa表示，即1＋项□)的二项展开式中的第C叫做二项展开式的通项，用(＋nk1＋07kknk*－anknkTb) ∈，C∈＝□N.(其中0≤，≤N nk1＋

1．注意区分项的二项式系数与系数的概念

rabn C r nr有C二项展开式的第，所有的二项式系数是仅与二项式的次数＋1项的二项式系数是nr

的取值无关，且是正数；而第项的系数则是二项式系数关的＋＋1个组合数，与1，n15x而第二项的C展开式中的第二项的二项式系数是与数字系数的积，可能为负数．如(2，＋1)541.

系数则是C·25注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．knkk－bakk项． 1项，

不要误认为是第2．要牢记C是展开式的第＋n

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

n nba)

( )展开式中共有 (1)(项．＋nn rbbaa) 展开式中第1＋项相同．(2)二项式(＋()与( ＋)nknkk－kbbaa 项．( ＋ (3)C)展开式中的第)

(是n答案(1)× (2)× (3)×

．做一做2．

1??16x??－ (1)．4项是________的二项展开式中第x??1??4??＋1 (2)为________．展开x??352yxyx的项的系数是＋________)的展开式中，含(3)二项式(．146410x(3)10

＋＋ (2)1＋＋答案(1)－560432xxxx1??rrrrrr21616－－??xTx－，·C·＝(·－解析(1)

展开式的通项公式为＝C ·1) r 16＋116

x ??103103310xTxx .

＝－＝－C 项为4560＝(－1)C ·所以第16164

111111446??????????3124324

??????????＋1.

(2)＋＋＋＋＝1＋C ＋C ＋＝1＋C

444423

xxxxx ??????????xxxx

323323

yxTyx 10.

的项的系数是含CC ＝(3)＝

545

二项式定理的正用与逆用 探究1243

fxxfxfxx 2019)，则((2019)－6(1)＋－－1)＋4(1)若例1 (1)

－(＋)＝(－1)＋4(4－ ________；的值为1??x －4

?? (2)求的展开式x ??244

xxxxff 3.)＝[(3－1)(＋)的解析式，逆用二项式定理，得1](＋＝＋[解析] (1)根据fffxfxxf 0.

(－－(2019)(，即)＝(2019)显然－())＝为偶函数，∴111??????1x －2233402341

??????xxxx ·C

－)(·)(2)解法一：(＋C －)·C ·(＝C 4444

xxx ??????222x 21??131

244

??xx . 2＋C ＋＋－＝－

42

xx 1622x ??2x 1－12????11x －2324444

????xxxxxxx 2＝8－(16－1)＝＋－321)＋解法二：24＝－(2＝ 22

xx 1616xx ????22311＋－＋. 2

xx 1622[答案] (1)0 (2)见解析

拓展提升

二项式定理的双向功能

n

ba 对即二项式定理从左到右使用是展开．展开，((1)正用：将二项式得到一个多项式，＋) 较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．n

ba 对(逆用：(2)将展开式合并成二项式＋)的形式，

即二项式定理从右到左使用是合并，于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项．

系数的规律．1??x ＋34

1]跟踪训练[?? ；(1)用二项式定理展开 x ??nn 21

.

2C ＋(2)化简1＋2C4C ＋…＋nnn 111??????1x ＋3

334122432

??????xxxx )(3＋)CC(3)解 (1)解法一：·＋

＝C(3(3)＋444

xxx ??????x 1??112244

??xx . ＋＋＝8154＋＋C108＋ 42

xxx ??x 13＋1????1x ＋3444

????x ＝(1＋＝解法二：3) 2

xxx ????14412233

xxxx ] )＋(3)＋CC)＋C(3(3＝[1＋C(3)

44442

x 1423

xxxx ) 81＝(1＋12＋＋54＋108 2

x 1212

xx . 81＋＝＋＋54＋108 2

xx nn 21 (2)1＋2C ＋4C ＋ (2)

nnnnn 20112

＝C ＋2C ＋2C ＋…＋2C nnnnnn .

＋2)＝3＝(1 探究 利用二项式定理求某些特定项2??13??x －n

已知2 的展开式中，第6

项为常数项． 例??3x ??2n 求；(1)2

x 的项的系数及二项式系数；(2)求含 (3)求展开式中所有的有理项．1??rn 12－3??－??

rrrrnrr －

??rxTx ，…，C()·(0,1,2＝(－1)＝[解]C (1)由题意

得，＝ nrn

31＋

????23x ??2n )． n 1－10??

555

??xTT ·C ＝(－， 1)∴·＝ n 156＋

??23n －10n ＝，∴10.

＝又第6项为常数项，∴0 3r 1210－??rrr

??xT ， ·C1)＝(2)由(1)知(－·

r 10

＋1

??23r 2－10r ＝令，得＝22. 3．

145??

2222

??x .

＝·C ∴的系数为(－1)· 10

??2422

x 45. C 含＝这一项的二项式系数为10

r 2－10rr .

(3)由题意得，为整数，其中0≤∈≤10，Z

3T 为有理项，∵r 1＋

r 2－10r 0为有理数，

∴10∴－2，＝ 3rr ＝－66，或10－210或－2，＝rrr 8. 或＝5或＝＝得2145??2222

??xxT ＝＝C ∴有理项为， 103

??24163??55

??T －＝－＝C ， 106

??28145??2－8－28

??xxT －. ·＝＝C 109

??2256 拓展提升kkk 的值代回通项求解，

注意，再将求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求nk )＝0,1,2，…，的取值范围(．mmk ＋1＝(1)第，直接代入通项；项：

此时建立方程；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0 有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．(3) 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．a??39x??2][跟踪训练ax－；的展开式中＝________ (1)若的系数是－84，则x??x1??－??82 ________(2)．的展开式中的常数项是3??x??(2)7

(1)1 答案

1??rrrrrrr29－9－??rraaxTx9．当N)≤9，)＝C·(－解析(1)展开式的通项为＝C)∈(0≤(－r9＋19x??3xrr 的系数，根据题意得＝32－，代入得＝3时，解得33aa1. ，解得＝C(－)＝－849 (2)展开式的通项为1??x1141??????－??rrrrrrrrr－8－88－??????rxrrrrTx≤8，8－1)－＝(－(0≤．N C＝1)(＝－CC∈) 8－r38＋818????????22233x??．

14??86－66??Trr C＝(－0，得1)＝6，则7.

令8－＝＝87??23探究整除及余数问题 310 100整除；11－1能被例3 (1)用二项式定理证明：92除所得的余数．求91被100(2)10101 1)－证明：∵11－1＝(10＋[解] (1)98101921 1)－·10

＋＝(10＋C·10＋C·10＋…＋C1010102810192＋…＋1010＋C·10＋C·10＝101062817＋…＋1)，＝100(10＋C·10＋C·10101010整除．11∴－1能被100922920929292191290，展开式中前－＝C·100C·100·9＋C·100·9－…＋C9＝(2)91(100－9)92929292 92项均能被的余数．100整除，只需求最后一项除以100912920191909292整(10∵9＝－1)＝C·10－91项均能被100C·10－·10＋1，前C·10＋…＋C92929292，919，结果为1000－＝811000除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出9281.

除可得余数为91被100故拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法： (1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．)(或与除数密切关联的数(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数 )与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面的几项就可以了．n*＋223]跟踪训练[nn整除； (1)求证3)能被64－8－9(∈N30 7的余数．3(2)求2－除以n22＋n－9

－8证明：解(1)3n＋1n－9

－＋＝(81)8nnn＋1110＋n9

－8＝CC－8＋C8＋…＋nnn11＋1＋＋nnnn21－＋110n9 88＝C＋C8＋…＋C＋C8－·8＋1－nnnn11＋＋11＋＋nnn－1112＋0.

8＋…＋＝CC8＋C8nnn11＋＋1＋2该式每一项都含因式8，故能被64整除．

－(73＝8－3＝＋1))－(2)23＝(2－109911003 7＝C＋C＋C－77＋…＋C10101010981902. ＝7×(C－)C 1010103303

＋…＋7C＋7101010，)需转化为正数(又∵余数不能为负数．

305.

7的余数为∴2－3除以

n 3＋

nxx )

的值为的展开式中共有(215－项，则自然数3( )．若114 ．．13 DA ．11 B ．12 CA 答案n 3＋

nxnxn A.

的展开式中共＝＋4项，所以11.＋ 解析因为(24－＝315)，即选2??35

x ??－)

( ．二项式 的展开式中的常数项为2 2

x ??40 40 D ．－A ．80 B ．－80 C ．B

答案 22????3

rrrrrrr

535－15－5

x ????xxT －－15，解析 二项式·2C 令＝的展开式的通项为(＝C()－1)

r 225

＋15

xx ????333

Trr B.

×2×C ＝－－5，得＝080.＝3，所以常数项为选＝(－1)54nn 221

nxxxx ) ( ， ＋C 的值可能为＋…＋

C7能被整除，则3．若C nnn

nxxn 4 ＝4＝4，＝3 B ．，A ．＝nxxn 5 ，，＝4 D ．＝＝C ．6＝5C

答案

nnn 221

xxxx C ＝(1＋)－1，分别将选项A ，B ，由解析 C ＋C ＋…＋C 代入检验知，仅有C ，D nnn

适合．5

babaab ，则)2)＋＝．＋＋2(等于，________为有理数．4(170

答案

5544332215

a ＝((＋ 解析∵(1＋2)＝1C2＋C2)＋C2)＋292，∴2)＋C(2)C(＝41＋55555

bba 70. ＋＝4129＝，，41＝29＋10210

xxx 的系数．((．求＋2)的展开式中－1)5101010102210

xxxxxxx 展开式(－2)(1)－2)＋∵ 解((＝＋＋(，本题求2)的系数，只要求＋2)108

xx 的系数．及中

rrr 82210－100

xxTrx ，因此所C 的系数为＝1180×2C ＝C 由2·2，取＝得的系数为＝，又

r 1010＋110

求系数为

180－1＝179.