定积分复习题

定积分复习题 1、求下列定积分

（1）dx x x )cos sin 2(2

0+?π

2、dx b ax x M 2

311)(+-?=-，b a ,为何值时，M 最小。

3、 已知0))(13(10=++?dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ?的取值范围。

4、求抛物线

x y =2与直线032=--y x 所围成的图形的面积。

5、求由抛物线52x

y =

，12

-=x y 所围成图形的面积。

6、由抛物线

342-+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的面积。

7、曲线C ：12322

3+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。

8、抛物线

bx ax y +=2在第一象限内与直线4=+y x 相切。此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 。求使S 达到最大值的a ，b 值，并求max S 。

课外练习：

1. 将和式的极限)0(321lim 1>+++++∞→p n n p p p p p n 表示成定积分（ ）

A. dx x 110?

B. dx x p 10?

C. dx x p )1(10?

D. dx n x p )(10?

2. 下列等于1的积分是（ ）

A. xdx 1

? B. dx x )1(10

+? C. dx 110

? D. dx 21

10

?

3.

=-?dx x 4210（ ）

A. 321

B. 322

C. 323

D. 325

4. 已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）

A. 320gt

B. 20gt

C. 220gt

D. 620

gt

5. 曲线

]

23

,0[,cos π∈=x x y 与坐标所围成的面积（ ） A. 4 B. 2 C. 25

D. 3

6. =+?-dx e e x

x )(10（ ）

A.

e e 1

+

B. e 2

C. e 2

D. e e 1- 7. 求由1,2,===y x e y x

围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间

为（ ）

A. ],0[2

e B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]

8. 由直线1,+-==x y x y ，及x 轴围成平面图形的面积为（ ） A. dy y y ])1[(10

--? B. dx x x ])1[(210

-+-?

C. dy y y ])1[(210--?

D. dx x x )]1([1

0+--?

9. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（ ）

A. 0.18

B. 0.26

C. 0.12

D. 0.28

10. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）

A. dx x ρ3

2? B. dx x ρ)2(21+? C. dx x ρ10? D. dx x ρ)1(32+?

11. 将和式)

212

111(lim n n n n +++++∞→ 表示为定积分 。 12. 曲线1,0,2

===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 。 13. 由x y cos =及x 轴围成的介于0与π2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为

。

14. 计算下列定积分的值。

（1）

dx x x )4(231-?-

（2）

dx x 5

21)1(-? （3）dx x x )sin (2

0+?π

（4）

xdx

222

cos π

π-?

15. 求曲线x x x y 22

3

++-=与x 轴所围成的图形的面积。

16. 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。 （1）求)(x f y =的表达式；

（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；

（3）若直线t x -=（10<

【试题答案】

1. B

2. C

3. C

4. C

5. D

6. D

7. B

8. C

9. A 10. A 11.

dx x 11

10

+? 12. dx x )1(2

10-? 13. dx x cos 20π?

14.（1）

3132

2

31

|)32()4(---=-?x x dx x x 320]3)1()1(2[)3332(32

32=

-----?= （2）4

32324343|)12273()127()4)(3(x x x dx x x dx x x +-=+-?=--?=61-

（3）2

02

20|)cos 2()sin (π

π

x x dx x x -=+?1

8)10(]2cos 2)2([22+=---=πππ

（4）

dx x xdx 2

2cos 1cos 22

222

+?=?-

-π

π

ππ22sin 41222

22ππ

ππ

π=+=

--x x

15. 解：首先求出函数x x x y 22

3++-=的零点：2,0,1321==-=x x x ，又易判断出在（－1，0）内，图形在x 轴下方，在（0，2）内，图形在x 轴上方，

所以所求面积为

1237

)2()2(2

3202301=

++-?+++-?-=-dx x x x dx x x x A

16. 解：（1）设c bx ax x f ++=2

)(，则b ax x f +='2)(

又已知22)(+='x x f ∴ 2,1==b a ∴

c x x x f ++=2)(2

又方程0)(=x f 有两个相等实根 ∴ 判别式044=-=?c ，即1=c 故

12)(2

++=x x x f （2）依题意，有所求面积

31|)31()12(0

1

23201=++=++?=--x x x dx x x （3）依题意，有

dx x x dx x x t t )12()12(2

021++?=++?--- ∴ 0

23123|)31(|)31(t

t x x x x x x ---++=++

t t t t t t +-=+-+-232331

3131，0166223=-+-t t t

∴ 1)1(23-=-t ，于是

3

21

1-=t

定积分复习题（教师版）

1、求下列定积分

（1）dx x x )cos sin 2(2

0+?π

xdx xdx cos sin 22

020π

π?+?=

3)01()10(2|sin |cos 22020=-+--=+-=π

πx

（2）

dx

x 122

0-?

∵

?????≤≤-≤≤-=-=10121112

2

2

x x x x x y ∴

dx x dx x dx x )1()1(12

21

210220-?+-?=-?

2)

131()238()311(|)3(|)3(21

3103=---+-=-+-=x x x x

2、dx b ax x M 2

311)(+-?=-，b a ,为何值时，M 最小。

解：

dx b ax x b ax x M ])(2)[(2

32311+-+-?=- 17582)53(32)

31

5271(2|)31

5271(2)2(2222210

232572

224610=+-=++-=++-=++-?=b a b a a x b x a ax x dx

b x a ax x

∴ 0,53==b a 时，

1758min =

M 3、 已知0))(13(10=++?dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ?的取值范围。

解：dx b x ax ))(13(1

0++?

dx b x ab ax ])13(3[2

10

+++?=0)13(21

=+++=b ab a

即01)(23=+++b a ab

设t b a =? ∴

21

3+-

=+t b a b a ,为方程

021

32=+++

t x t x 两根

044)13(2≥-+=?t t ∴

91≤

t 或1≥t ∴ )

,1[]91

,(+∞?-∞∈?b a

4、求抛物线x y =2

与直线032=--y x 所围成的图形的面积。

解：由??

?=--=0322y x x

y ∴ A （1，－1）B （9，3）

dx x x dx x x S )]3(21[)]([9

1

10--?+--?=332=

5、求由抛物线

52x

y =

，12

-=x y 所围成图形的面积。

解：)0,1(),21,45(),21,45(1

522P B A x y x

y -?????

?-==

32]15[245

145

=

--?

=?dx x dx x S

6、由抛物线342

-+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的

面积。

解：34:-=x y l A 切，62:+-=x y l B

切 ∴ P （3,23

）

dx

x x x dx x x x S )]34()62[()]34()34[(2

32

32230

-+--+-?+-+---?=

49=

7、曲线C ：12322

3

+--=x x x y ，点)

0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。

解：设切点),(000y x P ，则

26602

0--='x x y 切线l ：))(266(]1232[0020

020

3

x x x x x x x y ---=+---过P （0,21

）

∴ ]

21[]266[]1232[002

002030x x x x x x -?--=+---

0)364(02

00=+-x x x

∴ 1,000==y x A （0，1）

∵ )0(21:--=-x y l 切 ∴ 012=-+y x

∴ ?????-==

????-=+--=22321123223y x x y x x x y B （2,23

-）

∴

3227)23(3223

=

-?=dx x x S

8、抛物线bx ax y +=2

在第一象限内与直线4=+y x 相切。此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 。求使S 达到最大值的a ，b 值，并求m ax S 。

解：依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为a b x x /,021-==，

所以3

2

2061)(b a dx bx ax S a

b =

+?=-

（1）

又直线4=+y x 与抛物线bx ax y +=2

相切，即它们有唯一的公共点

由方程组

???+==+bx ax y y x 24 得04)1(2

=-++x b ax ，其判别式必须为0，即016)1(2

=++a b

于是2)

1(161+-=b a ，代入（1）式得：

52

43)1(3)3(128)(),0()1(6128)(+-='>+=b b b b S b b b b S 令0)(='b S ；在0>b 时得唯一驻点3=b ，且当30<'b S ；当3>b 时，

0)(<'b S 。故在3=b 时，)(b S 取得极大值，也是最大值，即3,1=-=b a 时，S 取得最

大值，且

29

max =

S

【模拟试题】

1. 将和式的极限)0(321lim 1>+++++∞→p n n p p p p p n 表示成定积分（ ）

A. dx x 110?

B. dx x p 10?

C. dx x p )1(10?

D. dx n x p )(10?

2. 下列等于1的积分是（ ）

A. xdx 1

? B. dx x )1(10

+? C. dx 110

? D. dx 21

10

?

3.

=-?dx x 4210（ ）

A. 321

B. 322

C. 323

D. 325

4. 已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）

A. 320gt

B. 20gt

C. 220gt

D. 620

gt

5. 曲线

]

23

,0[,cos π∈=x x y 与坐标所围成的面积（ ） A. 4 B. 2 C. 25

D. 3

6. =+?-dx e e x

x )(10（ ）

A.

e e 1

+

B. e 2

C. e 2

D. e e 1- 7. 求由1,2,===y x e y x

围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间

为（ ）

A. ],0[2

e B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]

8. 由直线1,+-==x y x y ，及x 轴围成平面图形的面积为（ ） A. dy y y ])1[(10

--? B. dx x x ])1[(210

-+-?

C. dy y y ])1[(210--?

D. dx x x )]1([1

0+--?

9. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（ ）

A. 0.18

B. 0.26

C. 0.12

D. 0.28

10. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）

A. dx x ρ3

2? B. dx x ρ)2(21+? C. dx x ρ10? D. dx x ρ)1(32+?

11. 将和式)

212

111(lim n n n n +++++∞→ 表示为定积分 。 12. 曲线1,0,2

===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 。 13. 由x y cos =及x 轴围成的介于0与π2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为

。

14. 计算下列定积分的值。

（1）

dx x x )4(231-?-

（2）

dx x 5

21)1(-? （3）dx x x )sin (2

0+?π

（4）

xdx

222

cos π

π-?

15. 求曲线x x x y 22

3

++-=与x 轴所围成的图形的面积。

16. 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。 （1）求)(x f y =的表达式；

（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；

（3）若直线t x -=（10<

【试题答案】

1. B

2. C

3. C

4. C

5. D

6. D

7. B

8. C

9. A 10. A 11.

dx x 11

10

+? 12. dx x )1(2

10-? 13. dx x cos 20π?

14.（1）

3132

2

31

|)32()4(---=-?x x dx x x 320]3)1()1(2[)3332(32

32=

-----?= （2）4

32324343|)12273()127()4)(3(x x x dx x x dx x x +-=+-?=--?=61-

（3）2

02

20|)cos 2()sin (π

π

x x dx x x -=+?1

8)10(]2cos 2)2([22+=---=πππ

（4）

dx x xdx 2

2cos 1cos 22

222

+?=?-

-π

π

ππ22sin 41222

22ππ

ππ

π=+=

--x x

15. 解：首先求出函数x x x y 22

3++-=的零点：2,0,1321==-=x x x ，又易判断出在（－1，0）内，图形在x 轴下方，在（0，2）内，图形在x 轴上方，

所以所求面积为

1237

)2()2(2

3202301=

++-?+++-?-=-dx x x x dx x x x A

16. 解：（1）设c bx ax x f ++=2

)(，则b ax x f +='2)(

又已知22)(+='x x f ∴ 2,1==b a ∴

c x x x f ++=2)(2

又方程0)(=x f 有两个相等实根 ∴ 判别式044=-=?c ，即1=c 故

12)(2

++=x x x f （2）依题意，有所求面积

31|)31()12(0

1

23201=++=++?=--x x x dx x x （3）依题意，有

dx x x dx x x t t )12()12(2

021++?=++?--- ∴ 0

23123|)31(|)31(t

t x x x x x x ---++=++

t t t t t t +-=+-+-232331

3131，0166223=-+-t t t

∴ 1)1(23-=-t ，于是

3

21

1-=t