等离子体的描述方法

等离子体的动力论和流体描述

等离子体既然是与电磁场做相互作用，首先看电磁场对等离子体的影响。我们对带电粒子的单粒子运动的理论已经有了一些认识，但对于等离子体是如何影响电磁场的，还需要有所了解。从Maxwell方程组可以看到，主要是电荷分布和电流分布（以及边界条件）决定了电磁场。而电荷分布与等离子体各个带电成分的密度分布有关。如果没有新的复合和电离过程，密度分布满足连续性方程。

对流体进行描述，考察各个物理量随着时间的变化，常用的是欧拉法，即考察固定的地点上物理量随时间的变化，另外一种方法是拉格朗日法，是考察固定的物质上的物理量随时间的变化。因为物质是移动的，因此不但随时间变化，也随空间变化。我们分别就这两种方法，考察等离子体的连续性方程。

连续性方程

假设等离子体没有产生（电离）、没有消失（复合），一块等离子体的数量会保持不变。

()0d n V dt

?= 这里是随体微分，即拉格朗日法描述流体。为了了解体积元的变化，先看看流体中一段长度元的变化。

21

=-l r r

经过时间t ?之后，新的位置为 ()2

1221121()()()()t t t t

'''=-=+?--?=+-?=+???l r r r v r r v r l v r v r l l v 即d dt =??l l v ，应用这个结果，考

察一个小体积元V x y z ?=???，因而，

d x dt x

??=??x v ，取x 分量，x v d x x dt x ??=??，因此， ()()()0d dn d x d y d z n V V n y z x z x y dt dt dt dt dt dn n V dt

????=?+??+??+??=+???=v 电流分布不但与等离子体各个带电成分的密度分布有关，而且与它们的运动速度有关。动力论的描述使用分布函数f(t, x , v )，不但包含密度信息，也包含了带电粒子的速度信息。这是在相空间中的密度分布，类似r

于普通的密度分布，不过空间变为6维。为了便于想象，我们考虑一维的运动，这样，分布函数的相空间就是2维的（x ，v ），可以直观的画出。

分布函数(,,)f t x v 描述等离子体的状态，其中,x v 分别看作独立的变量。

从分布函数可以求出密度分布，即将所考察区域内的所有速度的粒子统计得到。其他宏观物理量也可以用类似方法求得。

(,)(,,)v n t f t d =?x x v v 错误!未找到引用源。 一般来说，宏观物理量可以通过计算速度的加权平均获得：

1(,)(,,)(,)v

t f t d n t ψ=ψ?x x v v x 错误!未找到引用源。 最常见的分布是Maxwllian 分布： 322

02exp()2M T mv f n m T π??=- ???

动力论方程

相空间的连续性方程是动力论方程。如果等离子体中的带电粒子没有新生或者复合，其数量在相空间

中守恒，即得关于分布函数f 在6维相空间中的守恒型方程： ()()0f d d f f t dt dt

???+?+?=???x v x v 错误!未找到引用源。

结合具体的等离子体粒子的运动过程，有实际的关系 (),(,)(,)d d q t t dt

dt m

==+?x v v E x v B x 错误!未找到引用源。 考虑到,x v 分别看作独立的变量，且上(0.4)式的

加速度中，虽然含有速度v ，但仍有()0???=?v B v ，

因此方程(0.3)化为 ()(,)(,)c f f q f f t t t m t ??????+?++?= ???????v E x v B x x v 错误!未找到引用源。

其中方程右端代表碰撞引起的等离子体分布函数的变化。由于碰撞是带电粒子相互靠近时发生的，上(0.5)式左边的电磁场如果使用较大尺度的平均的量，就要将代表等离子体粒子附近的电磁场引起的碰撞效应归结到方程右端的碰撞项中。

矩方程

由动力论方程，可以推导宏观物理量所满足的方程。设()ψv 仅是速度的函数，对方程(0.5)做积分()v

d ψ?v v ，得 ()()()c v

f n n n d t m t ???ψ?ψ+?ψ-?=ψ?????F v v x v 错误!未找到引用源。

其中用到在无穷远处分布函数为0的假设。

（1）取1ψ=，得连续性方程 ()0n n t ??+?=??u x

错误!未找到引用源。

因为碰撞前后虽然速度改变，但位置不变，因此全速度空间积分之后，碰撞项的积分贡献为0。

（2）取ψ=v ，得种类为α的带电粒子的运动方程： 1()()()n n n n t m m m αααααααααβααβαββαααανμ≠

??+?+-=--??∑P F u u u u u x 错误!未找到引用源。

这里，=u v 是流体速度，()()nm =--P v u v u 是压力张量，αβν是碰撞频率，m m m m αβαβαβ

μ=+是约化质量，计

算碰撞项的积分时，考虑每次碰撞引起的动量变化相当于质量为μ的质点，速度（v α-v β）方向（θ）转变了

90°，但由于碰撞转向的经度角（?）是随机的，大量事例统计平均之后平均速度为0，得到式中的动量变化。上式可以简化为 ()()

d n m n q dt n ααααααααβααβαββα

νμ≠?=-?++??--∑u P E u B x u u 错误!未找到引用源。

（3）取i j v v ψ=，为了简化起见，忽略碰撞项，得到压力满足的方程为（这里 c = v - u ，在绝热近似下可以忽略热运动3次项的平均）

()()()0i j ij i j j i i j ij i j i jk j ik k k nmu u P n Fv F v t

nmu u P mn c c u P u P ?+-+????+?++++= ????∑u c e x 错误!未找到引用源。对于i = j 情况并对三维进行求和，可得能量方程

221313()()02222nmu nT nmu nT nq t ????++?+++?-?= ?????

u q u P E u x （其中磁场效应为0：()()0i i i

q v q ?=??=∑v B v B v ），化简之后的形式为

()213()022d n mu T nq dt ?++?+?-?=?q u P E u x

回过来考虑一般情况下的压力变化，则

(

) ()()

()()0

i j ij i j

ij i j j i

i j j i i j j i

u u P u u

nm mn P u u t t

n F u n F u nq c c

????

++?+?+?+?????

---?+?=

u u e P e P

x x

c B c B

(

)

()()0

j ij

i

j i ij

j

i

j i j i j i

i j j i i j j i

du P

du

nm u nm u P

dt dt t

u

u

u u

n F u n F u nq c c

??

+++?

??

?

???

+??+??+??+??

????

---?+?=

u

x

e P e P e P e P

x x x x

c B c B

利用受力方程简化消去，可得

()()0

ij j

i

ij j i

i j j i

dP u

u

P

dt

nq c c

?

?

?

+?+??+??

???

-?+?=

u e P e P

x x x

c B c B

一般不考虑磁场对垂直方向压力项的均匀化作用影响，可忽略上式左边最后一项。特殊情况下，不考虑磁场的影响（磁场作用是使垂直方向上压力均匀化），压力张量的交叉项取为0，则对角项

20

ii ii i

ii

i

dP P u

d

P

dt dt x

ρ

ρ

?

-+=

?或

11

20

ii i

ii i

dP u

d

P dt dt x

ρ

ρ

?

-+=

?在各向同性的D维情况下，则

20

D dP D d

P dt dt

ρ

ρ

-+??=

u

因而

2()0,d D P dt D γργ-+==

在考虑3维情况，有平行方向压力和两个相同的垂直方向压力，这时

250P P d dt ρ⊥??= ? ???

P 加上垂直方向有（磁矩是绝热不变量）

0P nT W d d d d dt B dt mnB dt mB mdt

μρ⊥⊥⊥??????==== ? ? ??????? 构成双绝热方程。结合这两个方程，可以单独求出关于平行方向压力的方程为

230P B d dt ρ??= ? ???

P 这个方程可以从冻结方程()()d dt ρρ

=??B B u 取平行分量，即(ln )u d B dt x ρ?=?P P

，带入也可得上式。

单一成分的带电粒子流体的方程组（包括双流体模型） 连续性方程

()0n n t ??+?=??v x

受力方程

()()

d n m n q dt n ααααααααβααβαββα

νμ≠?=-?++??--∑u P E u B x

u u 或等价地写为守恒型的动量方程为

()()()()n m n m n q n t ααααααααααααβααββαβανμ≠??+?+-+?=-??∑u u u P E v B u u x 能量方程

()213()022d n mu T nq dt ?++?+?-?=?q u P E u x

在绝热情况下，用绝热方程（其中D 是维数） 2()0,d D P dt D γργ-+==

在有磁场且平行和垂直方向上压力不同的时候，用双绝热方程

230P B d dt n ??= ? ???P ，0P d dt nB ⊥??= ???

磁流体力学方程组

将等离子体中的各个成分写出的流体方程相加，得到对等离子体整体描述的磁流体力学方程组。 连续性方程

()0t ρρ??+?=??u x

受力方程（其中用了准中性条件）

q d dt ρρ?=-?+?+?u P j B E x

这里我们假设各成分的速度都一样，且碰撞的动量交换都相互消去。

能量方程

()21()02d u dt ρε?++?+?-?=?q u P E j x

其中ε是单位体积中的热能。简化的情况下或可用绝热方程代替此能量方程。

电场、磁场、电流等还要Maxwell 方程组， t

?=-???B E 021c t

μ???=+?E B j 0q ρε??=E

0??=B

由于我们处理的空间等离子体常是处于缓变的环境，位移电流可以忽略。

另外，我们常使用准中性假设，这时，净电荷ρq =0。计算电场时，需要用广义欧姆定律代替泊松方程：

η+?=E u B j

这里η是电阻率，通常是很小的量，可以忽略。由此我们得到最简化情况下的等离子体磁流体运动方程组：

()0t ρρ??+?=??u x 0

1()d P dt ρμ=-?+???u B B ()0d P dt

γρ-= ()t

?=????B u B 这个方程组是封闭的，方程的个数与变量的个数一样。加上初始条件和边界条件即可求解。

压力张量

我们定义了压力张量为

()()nm =--P v u v u

其中u 是宏观平均速度，v 是相空间速度变量，在速度空间作平均得到压力张量。

对于普通的Maxwellian 分布，

P = p I = nT I

I 是单位张量。若平行和垂直方向的温度不同，

()p p p ⊥⊥=+-P I bb P

b 是磁场方向的单位向量。对于流体力学中有粘滞情况，压力张量的非对角项不为0，相关的理论给出：

2()23

P p ηηη'=+??-??-u u I S 1()2j i ij i j

u u S x x ??=+?? η为粘滞系数，η'为体积粘滞系数，是与流体可压缩性有关。

非对角项P ij 代表了一个小体积元的第i 轴的横截面上所受到的第j 方向上的压强。如（P xx ，P yx ，P zx ）构成了在小体积元上的yz 面（x 轴的横截面）上所受到的压力。事实上，设想如果在流体中有一个小体积元的物体存在，在经过△t 时刻之后，撞击到yz 面的、相对速度为v -u 的粒子的个数有

(v x -u x )△t △y △z ?fdv x ，

相对的动量为 m(v -u )，如果设想这些动量都会因撞击小体积元而消失，则会在yz 面上产生力。单位面积上产生的力为

()()x x x x m v u fdv +∞-∞-?-=??

v u e P 是我们定义的压力张量。

广义欧姆定律

如果对等离子体进行磁流体的描述，就要假设等离子体是电中性的。但是，对于电中性的等离子体，净电荷为0，就无法使用泊松方程求解电场，这时我们需要用广义欧姆定律来替代。

广义欧姆定律来自电子的运动方程：

()()e e e e e e ei e e e i d n m en n m dt ν?=-?-+?--?u P E u B u u x

由于有电中性假设，n e =n i =n ，而u i 是所有离子的速度加权平均：

/i ion

n n ααα==∑u u 因为离子占整个等离子体质量的绝大多数，因而这个速度通常被看作是等离子体的整体速度，而电子的速度却是间接得到的：

/()e i ne =-u u j

由此，可从电子的运动方程中解出电场：

1e e i e m d en en e dt η?=-?+-??+-u j B E u B j P 其中，2e ei m ne νη=是电阻率。电场表达式的右边各项分

别是：

流动项（对应磁场的冻结项）

电阻项（对应磁场的扩散项）

电子压力梯度项

霍尔（Hall）效应项

电子惯性项

从量值上分析，流动项其实对应了坐标变换感应的电场，如果以等离子体的运动速度为新坐标系的速度，在新坐标系中就没有这个电场的存在。霍尔效应项与电流有关，在电子与离子的速度差不大的情况下作用有限。

除了这两项之外，其余三项（电阻项，电子热压力梯度项，电子惯性项）的量值从微观上看均与m e

成正比，都应该较小。从广义欧姆定律看，这三项也提供了电场的平行分量，但通常，电场是垂直于磁场的，因而他们也不可能很大，提供的平行电场也很小。

磁场的冻结：

在只有磁场存在时，带电粒子围绕磁力线做回旋运动时，并不离开。一般来说，带电粒子直接很难横跨磁力线运动，说明等离子体是和磁场冻结于一体的。同时存在垂直方向的电场时，带电粒子的回旋引导中心产生了一个与带电粒子种类无关的速度漂移v D。如果我们用这个漂移速度建立新的坐标系，在新坐标系中电场就变为E' = E + v D x B = 0，因此这个漂移速度

可以看作是等离子体携带磁场整体运动的速度。这同样说明等离子体是和磁场冻结在一起的。

反过来看，这个电场E = -v D x B 也可看作是广义欧姆定律中的流动项，在计算磁场变化的磁感应方程中对应了磁场的冻结效应。

只考虑流动项的磁感应方程为：

()t

?=-??=????B E v B 从下面的推算过程，我们可以看到这个方程显示了磁场的冻结效应：

()()()()t

?=-??-??+??+???B v B v B B v B v 化为

()()d dt

=-??+??B v B B v 利用连续性方程代换成

1()d d dt dt

ρρ=+??B B B v ()d dt ρρ

???=?? ???B B v 这与流体中的线段元所满足的方程在形式上是一样的，这表示初始时平行于磁场的等离子体线段元在以后的运动中，也始终平行于磁场，即磁场冻结在等离子体中。

另外，可以从磁通不变的角度看B

BSL L m m ρΦ==，S 是小体积元的横截面，L 是沿着磁场的长度，m 是体积元中等离子体的质量（为常数），Φ是磁通。只有磁通为常数时，B/ρ的行为才与线段元L 的行为一致。

磁通的守恒可以直接验证：

()B B A C B B

A A C B

t d t d t t d t t d ??'Φ=Φ+??=-Φ-Φ+????=-Φ-???+?????=-Φ????B B S S B l u u B S

由于磁通A 是反向面计算的，因此它实际上与新的磁通B 相同。这也验证了磁通的冻结效应。

磁场的扩散

如果电场的表达式中只有电阻项，同时则有此感u

A B

C

B

d l

应方程中只有扩散项

20(),t ηηγγμ?=-??=?=?B j B

这是抛物线型偏微分方程。简单的1维形式为 22(,)(,)z z B t x B t x t x γ??=?? 错误!未找到引用源。 假设初始时，磁场只在x=0点存在，但磁通量是1。初始条件可以描述为

(0,)()

z B x x δ= 方程经Fourior 变换 2(,)(,)z z B t k k B t k t

γ?=-? 错误!未找到引用源。 可解出 2(,)(0,)k t

z z B t k B k e

γ-= 错误!未找到引用源。 而初始条件的Fourior 变换为

(0,)()1ikx z B k x e dx δ+∞--∞==?

应用这个初始条件，可以通过反Fourior 变换的方法，求出

2222

2

222()24()424411(,)221

1221,()24ix x t k ikx k t t t z x ix x t k t t t x t B t x e dk e dk e e d tk e e d t t ix e t k t t

γγγγγλγγγγπ

πγλ

πγπγλγγπγ---+∞+∞--∞-∞----+∞

+∞

--∞-∞-======-???? 错误!未找到引用源。

其磁通量保持常数：

(,)1z B t x dx +∞-∞=?

而磁场分布的宽度随时间的1/2次方增加。这说明扩散项导致磁场从一个点逐渐扩散，破坏了磁场的冻结。

综合说来，磁场的冻结效应是占主要的，而由于有限的小电阻存在，磁场并不能理想地一直保持与等离子体冻结在一起。磁场会逐渐扩散开来。

磁场的冻结和扩散效应之比是一个无量纲的数值，称为磁雷诺数。这个数和电阻成反比，在空间等离子体中通常是很大的数值。因此，空间物理中经常只考虑冻结项，而忽略扩散项。

磁流体的洛伦兹力

考察磁流体所受到的电磁力。由于采用了电中性假设，与电场作用的净电荷为0，因而只有磁场与电

流的作用力：

d dt

ρ=?-??u j B P 而电流也能用磁场表述。进一步，可得

2001()()2d dt B ρμμμ=???-??????=-?++ ??

?u B B P B B P I 这里我们运用了矢量运算式

()()()()()??=???+???+??+??p q p q q p p q q p 并取p = q = B 来替换。这样，式中我们看到，磁场能形成一个与普通热压力张量起相同作用的磁压力项：

2

02m B p μ=

磁场引起的等离子体受力的另外一项可化为两项：

222200000

()()()()22B B B B μμμμμ??=??+??=+??B B

κb b b b b b 其中κ是曲率。右边第一项可看作是沿着磁力线方向的磁张力2

0B μ所造成的。由于磁张力欲使磁力线被拉

平直，形成了垂直于磁力线的、沿磁力线的曲率方向

的合力，其大小与磁场力和曲率成正比。第二项是抵消平行方向上的磁压力梯度力的。因为总的看来，磁场力为j x B ，其中并没有平行磁场的分量，这部分的力必须抵消为0。经过以上的变换，磁场对等离子体的作用力等效为磁压力的梯度力的垂直分量，以及磁张力对弯曲磁力线的回复力。

曲率可以由曲率半径表示。这样，磁场弯曲所引起的回复力可写为220

B R μ-R ，这里R 是曲率半径。

()1()z R b b l l R

θθ??=??==?=-??b κb b e b e

等离子体的平衡

由p ?=?j B 得知，平衡时，电流和磁场都在等压力面上，如图所示。

200()2B μμ?????+= ???B B P I R

b’

b b’

b

θ b l

j B