(文理通用)201X届高考数学大二轮复习 第1部分 专题2 函数与导数 第3讲 导数的简单应用练习

第一部分 专题二 第三讲 导数的简单应用

A 组

1．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( A ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1

D ．y ＝－2x －1

[解析] k ＝y ′|x ＝0＝(e x ＋x e x ＋2)|x ＝0＝3， ∴切线方程为y ＝3x －1，故选A ．

2．(文)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( D )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] 由条件知(1，f (1))在直线x －y ＋2＝0上，且f ′(1)＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝3＋1＝4.

(理)(2017·烟台质检)在等比数列{a n }中，首项a 1＝2

3，a 4＝?

?1

4(1＋2x )d x ，则该数列的前5

项和S 5为( C )

A ．18

B ．3

C ．242

3

D ．2425

[解析] a 4＝??1

4(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|4

1＝18，

因为数列{a n }是等比数列， 故18＝2

3q 3，解得q ＝3，

所以S 5＝2

31－351－3＝242

3

.故选C.

3．已知常数a 、b 、c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( C )

A ．－8122

B ．13

C ．2

D ．5

[解析] 依题意得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－2,3]，于是有3a >0，－2＋3＝－

2b 3a ，－2×3＝c 3a

， ∴b ＝－3a

2，c ＝－18a ，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，于是有f (3)＝27a ＋9b ＋3c －34

＝－115，－81

2

a ＝－81，a ＝2，故选C.

4．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－1

2，0)内单调递增，则a 的取值范围是

( B )

A ．[1

4，1)

B ．[3

4，1)

C ．(9

4

，＋∞)

D ．(1，9

4

)

[解析] 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.

则有??? x >0x 2－a >0或?

??

x <0，x 2－a <0，

所以x >a 或－a

即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)． 令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a ， 当g ′(x )≥0时，x ≥

3a

3

，不合要求， 由g ′(x )<0得－3a

3

从而g (x )在x ∈(－

3a

3

，0)上是减函数， 又函数f (x )在x ∈(－1

2

，0)内单调递增，

则有?????

0

－a ≤－12，

－3a 3≤－1

2

，

所以3

4

≤a <1.

5．(2018·辽宁大连一模)函数f (x )＝e x ·sin x 在点(0，f (0))处的切线方程是y ＝x . [解析] ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0， ∴函数f (x )的图象在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .

6．已知函数f (x )＝12x 2＋3ax －ln x ，若f (x )在区间[1

3，2]上是增函数，则实数a 的取值范围

为[8

9

，＋∞).

[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋3a －1x ≥0在[13，2]上恒成立，即3a ≥－x ＋1x 在[1

3，2]上恒成

立．

又y ＝－x ＋1x 在[1

3，2]上单调递减，

∴(－x ＋1x )max ＝8

3，

∴3a ≥83，即a ≥8

9

.

7．(文)若函数y ＝－1

3

x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是a >0.

[解析] y ′＝－x 2

＋a ，若y ＝－13

x 3

＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不

等实根，故a >0.

(理)(2018·临沂模拟)如图，已知A (0，1

4)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部

分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝6

4

.

[解析] 因为点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，

所以y 0＝x 2

0，

则△OAP 的面积S ＝12|OA ||x 0|＝12×14x 0＝1

8x 0，

阴影部分的面积为∫x 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝1

3x 30，

因为阴影部分面积与△OAP 的面积相等， 所以13x 30＝1

8x 0，

即x 2

0＝38.

所以x 0＝

38＝64

. 8．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．

(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，

f ′(x )＝ln x ＋1

x －3，f ′(1)＝－2，

f (1)＝0.

曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于

ln x －

a x －1

x ＋1

>0.

设g (x )＝ln x －a x －1

x ＋1

，

则g ′(x )＝1

x

－

2a x ＋12＝x 2＋21－a x ＋1

x x ＋12

，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，

x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0， g (x )在(1，＋∞)内单调递增，因此g (x )>g (1)＝0；

②当a >2时，令g ′(x )＝0，得

x 1＝a －1－a －1

2

－1，x 2＝a －1＋a －1

2

－1.

由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，

g (x )在(1，x 2)内单调递减，此时g (x )

综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 9．(文)已知函数f (x )＝

ax

x ＋r

2

(a >0，r >0)．

(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性；

(2)若a

r

＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．

[解析] (1)由题意知x ≠－r ，

所以定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)，

f (x )＝

ax

x ＋r 2＝ax

x 2

＋2rx ＋r 2

， f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2r

x 2＋2rx ＋r 22

＝a r －x x ＋r x ＋r 4

，

所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0， 当－r 0.

因此，f (x )的单调递减区间是(－∞，－r )，(r ，＋∞)；

f (x )的单调递增区间是(－r ，r )．

(2)由(1)可知f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减，因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以

f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar

2r2＝

a

4r＝100.

(理)设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)求f (x )的单调区间．

[解析] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .

依题设，得???

f 2＝2e ＋2，

f ′2＝e －1，

即?

??

2e a －2

＋2b ＝2e ＋2，

－e a －2＋b ＝e －1，

解得a ＝2，b ＝e.

(2)由(1)，知f (x )＝x e 2－x ＋e x .

由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，

f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．

令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1. 所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，

g (x )在区间(－∞，1)内单调递减；

当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，

g (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．

故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)内的最小值．

B 组

1．(2017·郑州市质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则

f ′(e)＝( C )

A ．1

B ．－1

C ．－e －1

D ．－e

[解析] 依题意得，f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，取x ＝e 得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，由此解得f ′(e)

＝－1

e

＝－e －1，故选C.

2．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值，若过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，则切线方程是( B )

A ．9x ＋y －16＝0

B ．9x －y ＋16＝0

C ．x ＋9y －16＝0

D ．x －9y ＋16＝0

[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3， 依题意f ′(1)＝f ′(－1)＝0，

即??

?

3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，

解得a＝1，b＝0.

所以f(x)＝x3－3x，

因为曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上，设切点为(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x，

因此f ′(x 0)＝3(x 2

0－1)

故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)

注意到点A (0,16)在切线上，

有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)， 化简得x 30＝－8.

解得x 0＝－2.

所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0. 3．(文)函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．无数个

[解析] 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x

，

由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．

(理)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t(m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( C )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为??0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为??0

t

10t d t ，所以??0

t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5，所以(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.

4．(文)(2018·湖南衡阳三次联考)已知x ＝1是函数f (x )＝ax 3－bx －ln x (a >0，b ∈R )的一个极值点，则ln a 与b －1的大小关系是( B )

A ．ln a >b －1

B ．ln a

C ．ln a ＝b －1

D ．以上都不对

[解析] f ′(x )＝3ax 2－b －1x

，

∵x＝1是函数f(x)的极值点，

∴f′(1)＝3a－b－1＝0，即3a－1＝b.