钟差数据处理方法研究

Method Research on Clock Deviation Process

LI Yue-hua1,2, LIN Yu-ting1, ZHANG Da1, PAN Hong-fang1

1. Beijing Global Info Applications Development Center, Beijing, 100094, C hina

2. Institute of Surveying and Mapping，Information and Engineering University, Zhengzhou, Henan, 450052, China

1. liyuehua_bj@https://www.360docs.net/doc/df7644726.html,

Abstract: The classical methods of data snooping is efficient for deleting the gross errors in the clock deviation, but it is difficult to detect and delete the little errors. In this paper, the simulative datum contain gross errors and little errors. After deleting the gross errors, an efficient detection method is proposed for the little errors, by using the time model of clock deviation. And then the detection model and calculation progress are given. The new method is proved true with the simulative datum. In the end, the effect of the little errors is analyzed in detail by calculating the frequency accuracy, drift rate and stability of simulative clock deviation.

Keywords: clock deviation; data snooping; gross error; atomic clock

钟差数据处理方法研究

李跃华1,2，蔺玉亭1，张达1，潘红芳1

1．北京环球信息应用开发中心，北京，100094

2．信息工程大学测绘学院，河南，郑州，450052

1. liyuehua_bj@https://www.360docs.net/doc/df7644726.html,

【摘要】经典粗差探测方法能有效剔除钟差中的粗差，但很难发现和剔除钟差中量级较小的误差。本文的模拟数据中，既有粗差，又有小误差。在剔除粗差的基础上，利用钟差的时间模型，提出了一种有效发现钟差中小误差的方法，构建了探测的数学模型，设计了计算流程，利用模拟数据验证了该方法的有效性。最后，用模拟钟差数据计算了原子钟的频率准确度、频率漂移率和频率稳定度指标，分析了小误差对它们带来的影响。

【关键词】钟差；粗差探测；粗差；原子钟

1 引言

目前，钟差数据是卫星导航系统内重要数据之一，在很多环节都要用到钟差数据。守时系统用钟差数据评估守时钟的性能，产生和保持系统时间；运控系统用星地比对钟差数据评估卫星钟性能，确定卫星钟时间模型参数，预报卫星钟差。因此，对钟差数据科学、合理的处理非常重要。由于设备等方面的原因，钟差数据不可避免地含有一些粗差。为了准确评估原子钟性能，保持准确、稳定和可靠的系统时间，准确确定卫星钟时间模型参数和预报卫星钟差，必须消除这些粗差的影响，否则会影响卫星导航系统的服务质量。目前，消除粗差影响的方法有很多[1-2]，主要分为两类：一类为容纳法[3-4]，它是通过选择适当的平差方法来尽量避免粗差带来的影响，如抗差估计法。另一类为剔除法[5-7]，它是首先采用一定的统计量对钟差进行检验，以判别出粗差，剔除这些值再作后续处理。本文主要对剔除法进行讨论和分析。实践证明，采用均值漂移模型粗差探测法能有效剔除钟差中的粗差。图1是长达6个月有频率漂移的模拟钟差数据，数据间隔为1小时。图2是用粗差探测法剔除粗差后的钟差。

在实际的钟差处理过程中，发现剔除完粗差的钟差数据中常会存在量级较小的误差，很难探测到。为了研究小误差的探测方法，在模拟钟差数据中既加入了粗差又加入了小误差。本文在剔除钟差中粗差的基础上，利用钟差的二次时间模型，提出了一种能有效发现钟差中小误差的方法，详细推导了探测的数学模型，设计了相应的计算流程，利用模拟数据验证了粗差剔除方法的有效性。最后，计算了频率准确度、频率漂移率和频率稳定度指标，分析小误差带来的影响。

2 小误差的探测方法

钟差通常用一阶或二阶时间模型表示。

010

()

i i i

X X A t tε

=+-+ (1) 或

2

01020

()()

i i i i

X X A t t A t tε

=+-+-+ (2)

其中，i t 是测量时刻，i X 是i t 时刻获得的钟差，0t 是测量起始时刻，0X 是起始时刻钟差（即常数项），1A 是钟差一次项系数，2A 是钟差二次项系数，i ε为钟差随机噪声，1,2,,i n = 。

Figure 1. Simulativ e clock dev iation

图 1.模拟的钟差

Figure 2. Clock dev iation after deleting gross errors

图 2.剔除粗差后的钟差

在深入分析钟差处理的基础上，发现了一种很有效的探测小误差的方法。该方法分两步。

第一步：假定钟差符合一阶时间模型，在剔除了粗差的前提下，可直接用最小二乘方法估计一阶时间模型系数，求得基于一阶模型的钟差残差。同理，也可假定钟差符合二阶时间模型，在剔除了粗差的前提下，可直接用最小二乘方法估计二阶时间模型的参数 以及相应的钟差残差。对于铯钟，因为没有频率漂移，可采用一阶时间模型；对于氢钟和铷钟，因为存在较明显的频率漂移，常采用二阶时间模型。

第二步：在求得第一步钟差残差的基础上，采用常用的粗差探测方法，可检验残差中是否存在粗差，即可检验钟差中是否存在小误差。

本文的模拟数据是有频率漂移的钟差数据。图3

是基于一阶时间模型的钟差残差，图4是基于二阶时间模型的钟差残差。从图3和图4中可以明显看出钟差残差中存在粗差，而在图2钟差中却看不出钟差中有误差（相对钟差而言，小误差量级较小），本文把这种钟差残差中的粗差称为钟差中的小误差。

Figure 3. T he residuals of Clock dev iation based on simple

polynomial time model

图 3.基于一阶时间模型的钟差残差

Figure 4. T he residuals of Clock dev iation based on quadratic

polynomial time model

图 4.基于二阶时间模型的钟差残差

3 小误差的探测模型

由于小误差的存在，基于一阶时间模型的钟差残差中可能还含有新的较小的一次项和随机噪声，基于二阶时间模型的钟差残差中可能还含有新的较小的一次和二次项及随机噪声。经分析，此时二次项和随机噪声远小于小误差的量级，在探测小误差时可忽略。因此可构建新的一阶模型来探测和剔除残差中的粗差，从而剔除钟差中与之对应的小误差。

010()i i X X A t t '''=+- (3)

视钟差残差为独立等精度观测量，根据(3)式，

由

最小二乘法可求得0X '和1A '

[8-9]

，法方程为：

0110210001

11()()()()n

n

i i i i n

n n

i i i i i i i n t t X X A t t t t t t X =====?

???

'-????

??'????

=??????'??

??'---????????

∑∑∑∑∑ (4)

为了计算方便，取起始时刻0t 为n 次观测时刻值

i t 的平均值t ，解方程得

1

0n

i i X X n

=''=

∑

，1

1

2

1

()()

n

i

i i n i

i t

t X A t

=='

-'=

-∑∑ (5)

未知参数向量01X A ''??

????

的权逆阵为：

1

1

2)(00

-=?

?

?

???

?

?-=∑

n

i i t t n Q (6)

钟差残差观测值的残差为：

01()i i i v X t t A X '''=+-- (7)

Baarda 数据探测法[10]

的粗差检验统计量为标准化残

差：

i

v

i i

v v σ=~ (8) 其中，i v 是(7)式计算的观测值的最小二乘残差，i

v σ是i v 的标准差，根据最小二乘平差理论得，

i

v σσ=0σ是单位权方差的平方根，实际计算中，可取

2

1

2

0-=

∑=n v

n

i i

σ (10)

对于给定的限差值K (根据情况选取，一般可取

3K =)，当

K v i

>~ (11) 时，可判定i X 存在粗差。

4 小误差的探测与剔除流程

根据上述模型和公式，小误差的探测与剔除流程如下：

第一步：由公式(5)计算参数0X '和1A '； 第二步：由公式(7)计算各钟差残差值的最小二乘残差；

第三步：由(10)式计算单位权方差； 第四步：由(9)式计算标准化残差；

第五步：根据(11)判断钟差残差值是否存在粗差； 第六步：如果存在粗差，找出标准化残差最大对应的含粗差的钟差并剔除，记录序号，然后返回第一步，直到不存在粗差为止；

第七步：按照记录的序号，剔除钟差中的小误差。 需要注意的是，由于最小二乘平差对粗差具有均

摊作用，当某一个钟差残差值存在粗差时，除这个钟

差残差值有较大的标准化残差外，其余的钟差残差值的标准化残差也可能超出限差，所以，并不能将所有超出限差的钟差残差值都当作有粗差的值统统剔除，而是仅仅将标准化残差最大且超出限差的钟差残差值当作有粗差的值剔除掉，然后再重复上面的步骤，直至剔除所有粗差为止。

5 处理分析

利用上述小误差的探测与剔除方法，对前面提到的模拟数据进行处理，结果如图5所示，钟差残差中的粗差完全剔除掉了。

Figure 5. T he residuals of Clock dev iation based on quadratic

polynomial time model after deleting gross errors 图 5.基于二阶时间模型的钟差残差剔除粗差后的结果

通常评估原子钟性能的技术指标主要有频率准确度、频率漂移率和频率稳定度等。下面围绕频率准确度、频率漂移率和频率稳定度这三个主要的技术指标，分析钟差中小误差带来的影响。 （1）频率准确度分析

频率准确度反映的是原子钟频率的准确性。利用钟差数据，采用最小二乘线性拟合方法，拟合函数为

0X A t X =?+，计算公式如下：

()()

()

1

2

1

N

i

i

i N

i i X

X

t

t

A t t ==--=

-∑∑ (12)

其中，i 为数据的序号，N 为数据总数，i X 为第i 个数据对应的钟差，i t 为第i 个数据对应的时刻，X 为钟差的平均值，t 为数据时刻的平均值。

依据(12)式用剔除小误差前后的钟差计算频率准确度，结果一致都为13

9.4910

-?。频率准确度反映

的一段时间内频率值与标准值的符合程度，换个角度看，反映的是一段时间内原子钟的平均速率。所以少量小误差，对频率准确度计算没有影响。

Figure 6. T he RM S of Allan v ariance before deleting little errors

图 6.剔除小误差前计算的Allan 方差均方根

Figure 7. T he RM S of Hadamard variance before deleting little

errors

图 7. 剔除小误差前计算的Hadamard 方差均方根

（2）频率稳定度分析

频率稳定度反应的是取样时间内平均频率值的随机起伏程度。目前，时域的频率稳定度通常由Allan 方差和Hadamard 方差的均方根表示，Hadamard 方差能有效去掉频率漂移率的影响，计算公式如下。

1）Allan 方差（双取样方差）均方根

(2,)y στ=

2）

()3,y στ=其中i 为数据的序号，N 为数据总数，i

X 为第i 个数据对应的钟差或时间偏差，τ为数据取样间隔。

Figure 8. T he RM S of Allan v ariance after deleting little errors

图 8. 剔除小误差后计算的Allan 方差均方根

Figure 9. T he RM S of Hadamard variance before deleting little

errors

图 9. 剔除小误差后计算的Hadamard 方差均方根

依据(13)式和(14)式用剔除小误差前的钟差数据计算得到所有取样间隔的Allan 方差和Hadamard 方差均方根表示的频率稳定度，结果如图

6

和图7

所示。用剔除小误差的数据计算结果如图8和图9所示。取样间隔在两万秒以前的频率稳定度都受到较大影响；取样间隔在两万秒以后的频率稳定度，有将近一半受到影响。没受到影响的是因为取样间隔大了之后，有可能跨过小误差的区间，从而不受影响。

Figure 10. Comparison between the RM S of Allan v ariance before

deleting little errors and after deleting

图 10. 剔除小误差前后的Allan 方差均方根对比图

Figure 11. Comparison between the RM S of Hadamard variance

before deleting little errors and after deleting 图 11. 剔除小误差前后的Hadamard 方差均方根对比图

图10和图11分别是基于剔除小误差前后钟差的Allan 方差和Hadamard 方差均方根对比图，取样间隔采用的是Octave 模式。表1给出了对应的数据。从图10和图11以及表1中可以看出，小误差基本上破坏整个取样间隔的频率稳定度。后五个频率稳定度指标相同是因为取样间隔正好跨过小误差区间而不受影响，但从图6到图9可以看出，取样间隔在两万秒以上的频率稳定度也有一部分受到影响，所以较大取样间隔的频率稳定度不能保证不受小误差的影响，只要取样间隔在小误差区间范围内，一定受到影响。小误差对Allan 方差和Hadamard 方差表征的频率稳定度影响最大约1.5个数量级。

（3）频率漂移率

频率漂移率实际上反映的是频率准确性的单调变

化。计算方法有两类：一类是利用相对频率偏差数据计算；另一类是利用二次时间模型采用回归分析方法求解二次项系数[8]

。下面简要介绍第一类方法。

(1)iT t i T t

i x x y T

+-+-=

(15)

N

t t

N t y t y K N

i i N

i i

N

i i N

i i N

i i i T

/)(]

/))(([2

1

1

211

1

∑∑∑∑∑=====--=

(16)

其中，i 为数据的序号，N 为数据总数，iT t X +为（iT t +）时刻对应的钟差，i t 为第i 个数据对应的时

刻，i y 表示相对频率偏差，T 为取样周期，T K 表示取样周期为T 的频率漂移率。

T able 1. T he resulting data of frequency stability before deleting

little errors and after deleting 表 1.剔除小误差前后的频率稳定度结果

Figure 12. Comparison between the frequency drift rate before

deleting little errors and after deleting 图 12. 剔除小误差前后的频率漂移率随取样间隔变化

依据(15)和(16)式用剔除小误差前后的钟差计算频率漂移率，结果如图12所示。小误差对部分取样间

取样间

隔（秒）

Allan

（剔除小误

差前）

Allan （剔除小误差后） Hadamard （剔除小误差前） Hadamard （剔除小误差后） 3600 5.7196e-13 5.1666e-14 5.5266e-13 5.2950e-14 7200 4.6991e-13 3.1356e-14 4.5685e-13 3.1156e-14 14400 3.5001e-13 2.4631e-14 3.6928e-13 2.4868e-14 28800 1.4004e-13 1.3515e-14 1.4764e-13 1.4230e-14 57600 9.9365e-14 6.0022e-15 1.0496e-13 6.1637e-15 115200 7.0025e-14 3.5592e-15 7.3905e-14 3.5336e-15 230400 2.8163e-15 2.8163e-15 2.4704e-15 2.4704e-15 460800 2.6476e-15 2.6476e-15 1.9737e-15 1.9737e-15 921600

3.5605e-15 3.5605e-15 2.1090e-15 2.1090e-15 1843200 5.9374e-15 5.9374e-15 2.8154e-15 2.8154e-15 3686400

1.0535e-14

1.0535e-14

2.3478e-15

2.3478e-15

隔的频率漂移率有影响，其中影响最大的是取样间隔在400到550小时之间的范围，影响量级达到15

210-

?。

6 结束语

在进行钟差数据处理时，采用经典的粗差探测方法，都能很好地发现并剔除钟差中的粗差，但很难探测和剔除钟差中的小误差。因为小误差相对钟差而言量级很小，但小误差相对一阶或二阶时间模型的钟差残差而言，量级较大，采用经典的粗差探测法都能发现。

本文模拟的小误差的量级为50到70ns。由试验分析结果得出，小误差对频率准确度基本上没有影响，但对频率漂移率和频率稳定度有影响。对频率漂移率最大影响达到15

210-

?；几乎对整个取样区间的频率稳定度都有影响，最大影响达到1.5个数量级。在实测钟差数据中，小误差对频率稳定度和频率漂移率的影响取决于小误差的量级。本文模拟的小误差是几个单独的误差，而实际情况中小误差常常是少量且连续的，对频率漂移率和频率稳定度的影响可能会更明显。本文提出的剔除小误差方法是在探测和剔除一般粗差的基础上，对钟差进行处理，得到一阶或二阶时间模型钟差残差，在此基础上构建数学模型，探测和剔除小误差。试验证明，该方法是有效的。

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