组合数学第二章
154002,7
、比大的四位整数中，数字不出现，且各位数字不同的整数有多少个？
、个人围坐在圆桌旁，其中一个拒绝与另一个相邻，问有多少种安排方法？212
3、有颜色不同的四盏灯。
（1）把它们按不同的次序全部挂在灯杆上表示信号，问有多少种不同的信号？（2）每次使用一盏、二盏、三盏或四盏灯按一定的次序挂在灯杆上表示信号，
共有多少种不同的信号？
（3）在（2）中，如果信号与灯的次序无关，共有多少种不同的信号？
4、现有件产品，从其中任意抽出件。
1003
（1）共有多少种抽法？
（2）如果100件产品中有2件次品，那么抽出的产品中至少有1件次品的概率是多少？（3）如果100件产品中有2件次品，那么抽出的产品中恰好有1件次品的概率是多少？
585388??、 个棋子大小相同，其中个红的，个蓝的。把它们放在的棋盘上，每行、每列只放一个，问有多少种方法？若放在1212的棋盘上，结果如何？
128640(1,2,,8)i x x x x i i +++=≥=、试求不定方程满足的整数解的个数？
71,2100034、从整数，，中选取个数，使得它们的和正好被整除，问有多少种选法？
、有根完全相同的木棍从左至右竖立成一行，占据20个位置。要从中选出6根。820
（1）有多少种选择？
（2）如果选出的木棍中没有两根是位置相邻的，又有多少种选择？
（3）如果在所选出的每一对棍之间必须至少有两根棍，有多少种选择？
第五讲 组合图形面积
组合图形的面积 方法与技巧 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1．切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2．仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3．适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4．采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 回顾与复习： 长方形面积= 三角形面积= 正方形面积= 梯形面积= A级 基础点睛 典型例题1：一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
【巩固练习1】：已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 典型例题2：如图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘 米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 【巩固练习2】：如图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在 边的中点，求三角形AEF的面积。
典型例题3：求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 【巩固练习3】：求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
典型例题4：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？ 【巩固练习4】：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？
B级 培优拓展 典型例题5：四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 【巩固练习5】：图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
组合数学课后答案
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
第八讲-组合数学
第八讲 组合数学 组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开 例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？ 解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是 ?j ∈N *?{0}，使得a 0?2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ① 这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时 2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800), 而对?k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以 2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。 注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多. 例2．集合X 的覆盖是指X 的一族互不相同的非空子集A 1、A 2、…、A k ，它们的并集A 1∪A 2∪…∪A k =X ，现有集合X={1,2,…,n}，若不考虑A 1, A 2,…, A k 的顺序，试求X 的覆盖有多少个？ 解：首先，X 的非空子集共有2n -1个，它们共组成了n 2 1 2--1个非空子集族.其次， 这些子集族中，不合某一元素i 的非空子集组成的非空子集族有( ) n 121 21---个；不含两 个元素的子集组成的族有( ) n 2 2 1 21---个；依次类推，则由容斥原理，X 的覆盖共有 ()() --+--------)12 ()12 ()12 (1 22 1 21 1 221n n n n n =())12()1(1 2 1 ---=-∑n n j n j j 个. 注：有些组合计数问题直接计数较难，但从反面考虑简洁明了.
组合数学第二章
课堂中的“空白”艺术 所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。 教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。 [片段一] 课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。 师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。 学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下： 第一种用符号表示：…… 第二种用画图表示：…… 第三种用实物表示：小棒、学具卡片……
第四种用数字表示：1、2、3、…… 第五种用“正”字表示。 学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。 [评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。] [片段二] 课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？ 学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？ 师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？ 生：因为有一双鞋就等于有一个人。 师：（数出人数后）你们想对屋里的小朋友说些什么吗？ 生1：你们乱放鞋子，出门时容易被鞋子拌倒，不安全。 生2：你们应该做文明的好孩子。 生3：你们要养成把东西摆放整齐的好习惯。 [评析：作为变式统计练习，这里一方面留有学生逻辑推理的空白，即“有一双鞋就等于有一个人”，渗透“透过现象看本质”的辨证思想；另一方面又留有学生情感、态度的空白，即“你们想对屋里的小朋友说些什么吗？”，由题及事，以事为载体，培养学生正确看待问题的态度以及要做文明好孩子的情感。] 以上两个片段，在教师的巧妙布白之中，学生们各抒己见，主动
组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)
组合数学第01讲_比赛中的推理 知识图谱 组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关 一：比赛中的推理 知识精讲 比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理． 在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了． 1．比赛分类： （1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名． （2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场． （3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场． 2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法： （1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”． （2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”． 三点剖析 重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局． 题模精讲 题模一场次计算 例、 某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛 答案： 4
解析： 该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场． 例、 为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加 答案： 6 解析： 由于，故应该邀请6个篮球队参加． 例、 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘． 答案： 2 解析： 由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接． 由图看出小明赛了2盘．
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1 第一章 排列组合 1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？ 解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10； 千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1； 故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。 2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()6 2 -1＝14。 （或： ()()41 42 *2+＝14） （3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53 -1 种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有 ()()2*)2,2(41 52 -P 种。 （4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。 3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。 解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。 以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则 m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。 因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故 a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。 因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。 5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数 字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数： ()())4,4(2)5,5(53 5 3 P P ??-? 只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)
组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)
知识图谱 组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关 一：比赛中的推理 知识精讲 比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理． 在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了． 1．比赛分类： （1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名． （2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场． （3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法： （1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”． （2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”． 三点剖析
重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局． 题模精讲 题模一场次计算 例1.1.1、 某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛？ 答案： 4 解析： 该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场． 例1.1.2、 为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加？ 答案： 6 解析： 由于，故应该邀请6个篮球队参加．
组合数学与图论复习题及参考答案
组合数学与图论复习题及答案 1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2. 从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。 任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到2n 之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。 2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100. 设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。 3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。 鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质 4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q). 令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。 在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有 R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p 个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤ R(p,q-1)+R(p-1,q) 5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。 从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。 若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats 6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。 7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A What if B only refuses to sit on A right
组合数学习题4(共5章)
第四章 生成函数 1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4 }= 235 (11111) 1x x x x x +++-（） （2）343,,,333n +?????????? ? ? ????? ???? 解：3n G n +?????? ?????=4 1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=2 1 1x -. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…= 1 1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4 解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为 A(x)=235 (11111)1x x x x x +++-（）=0 k k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4 .令b n =14 +24 +…+n 4 ，则b n =0n k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生 成函数为 B(x)= 0n n n b x ∞ =∑=() 1A x x -=34 125(1111)i i i x x x x x i ∞ =++++?? ??? ∑. 比较等式两边x n 的系数，便得 14+24+…+n 4 =b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ? ???????? 321 (1)(691)30 n n n n n =+++- （2）1·2+2·3+…+n (n +1) 解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)= 3 2(1)x x -=0 k k k a x ∞ =∑，此处a k = n (n +1). 令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0 n k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成 函数为B(x)= n n n b x ∞ =∑= () 1A x x -= 4 2(1)x x -=032n k k k x x k =+?? ?? ?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
组合数学 课后答案
习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整 数倍。 证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有 两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通 过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学 组合学问题在生活中随处可见。例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。创建幻方。在纸上画一个网络。用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。所有这些都是组合学问题。正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。 组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。 组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。如下两类一般性问题反复出现： 排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满 足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。这是最根本的问题。如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？ 排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种 方法去实现它。此时，人们就可以计数并将它们分类。 虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。然而，如果指定的排列问题的存在性容易解决，那么计算实现该排列的方法的数目则是可能的。在例外的情形下(即当它们的数目较小时)，这些排列可以被列出来，理解列出所有的排列与确定它们的数目之间的区别很重要。一旦这些排列被列出，它们就可通过与整数集{1，2，3，…，n}之间建立一一对应而被数出，其中n 是某个整数。我们计数的方法就是：1，2，3…，n。但是，我们主要关心的是事先不列出指定类型的排列而确定它们的数目的方法。当然，这些排列的总数也许很大以至于不可能把它们部列出来，概括地说，许多组合学问题常呈现下列形式：“能否排列…?” “存在一个……吗?” “能用多少方法—…?” “计算……的数目。”
Richard组合数学第5版-第5章课后习题答案(英文版)
Math475Text:Brualdi,Introductory Combinatorics5th Ed. Prof:Paul Terwilliger Selected solutions for Chapter5 1.For an integer k and a real number n,we show n k = n?1 k?1 + n?1 k . First assume k≤?1.Then each side equals0.Next assume k=0.Then each side equals 1.Next assume k≥1.Recall P(n,k)=n(n?1)(n?2)···(n?k+1). We have n k = P(n,k) k! = nP(n?1,k?1) k! . n?1 k?1 = P(n?1,k?1) (k?1)! = kP(n?1,k?1) k! . n?1 k = P(n?1,k) k! = (n?k)P(n?1,k?1) k! . The result follows. 2.Pascal’s triangle begins 1 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 172135352171 18285670562881 193684126126843691 1104512021025221012045101 ··· 1
3.Let Z denote the set of integers.For nonnegative n∈Z de?ne F(n)= k∈Z n?k k . The sum is well de?ned since?nitely many summands are nonzero.We have F(0)=1and F(1)=1.We show F(n)=F(n?1)+F(n?2)for n≥2.Let n be https://www.360docs.net/doc/df8981351.html,ing Pascal’s formula and a change of variables k=h+1, F(n)= k∈Z n?k k = k∈Z n?k?1 k + k∈Z n?k?1 k?1 = k∈Z n?k?1 k + h∈Z n?h?2 h =F(n?1)+F(n?2). Thus F(n)is the n th Fibonacci number. 4.We have (x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5 and (x+y)6=x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6. 5.We have (2x?y)7= 7 k=0 7 k 27?k(?1)k x7?k y k. 6.The coe?cient of x5y13is35(?2)13 18 5 .The coe?cient of x8y9is0since8+9=18. https://www.360docs.net/doc/df8981351.html,ing the binomial theorem, 3n=(1+2)n= n k=0 n k 2k. Similarly,for any real number r, (1+r)n= n k=0 n k r k. https://www.360docs.net/doc/df8981351.html,ing the binomial theorem, 2n=(3?1)n= n k=0 (?1)k n k 3n?k. 2
组合数学答案第五版期末答案.docx
组合数学答案第五版期末答案问：仰韶文化不包括下列哪一项：（） 答：齐家文化 问：仰韶文化出土文物上具有一种统一的“人面鸟纹”形象。 答：错 问：仰韶文化处于华北地带，地质构造相对简单划一（）。 答：正确 问：仰韶文化的典型代表是西安的半坡遗址以及临潼的姜寨遗址。 答：正确 问：仰韶文化的典型器物是： 答：彩陶 问：汉语的北方方言区不包括（）。 答：上江官话 问：汉语的被动不能省略,但是量词可以省略。() 答：错误 问：汉语的词缀属于哪一种类型的词缀？ 答：自源型 问：汉语的句例边界不清楚。
答：正确 问：汉语的理解模式属于()。 答：上下文理解模式 问：（）提出了认同危机理论，把心理发展分为8个阶段。 答：埃里克逊 问：()提出了三界唯心,万法唯识的观点。 答：佛家 问：()提出了设计的十项原则。 答：迪特·拉姆斯 问：（）提出了生物发生定律，运用到数学教学即历史发生原理。 答：E·haeckel 问：()提出了私人政府的法这一概念。 答：马考利 问：郁达夫的小说《沉沦》与日本文学中的（）有千丝万缕的联系。 答：私小说 问：以下正确的是( ). 答：按主方职务的高低站成一列，职务最高者站首位,与客方职务最高者先行握手话别。主方职务最低的与客方职务最高的话别，最后才是主方职务最高的与客方职务最高的话别。告别时主客双方职务最高者可以多寒暄几句，以表惜别之情。 问：小说《沉沦》发表之后，引起了轩然大波，有人支持其创作，也有人反对。下列哪些作家是支持其创作的？（） 答：周作人郭沫若 问：以下关于《沉沦》小说主人公的解读，正确的有：（）
答：这是一个青春忧郁症患者。他的本我和超我都太强大，强大到无法调和，这导致了他最后的沉沦。“灵与肉的冲突”是青春期的主人公面临的最大难题。 问：演讲时的肢体语言可以是（） 答：身体自然放松手势要多用掌 问：辩论者需要将听、看、想三者相结合，才能获得对事物的准确认知。（） 答：√ 问：麝猫后睾吸虫第二中间宿主是鲤科鱼类。 答：对 问：弗兰西斯培根的方法论主要表现在: 答：科学归纳法 问：关于随机抽样，下列那一项说法是正确的（）。 答：随机化抽样可以令样本有较好的代表性抽样时应使得总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取 问：异尖线虫第三期幼虫经口侵入人体后，病变特征包括（）。 答：消化道粘膜下层病变肝等其它脏器损伤入侵寄生处有鸡蛋大小肿块腹部绞痛
组合数学讲义 5章 抽屉原理
第五章 抽屉原理和Ramsey 理论 抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理。其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。但若能灵活运用，便可能得到一些意料不到的结果。 抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。 1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey 将这个简单原理作了深刻推广，即Ramsey 定理，也被称为广义抽屉原理。它是一个重要的组合定理，有许多应用。 5.1 抽屉原理 （一）基本形式 定理5.1.1 （基本形式）将n ＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。 证 反证之。将抽屉编号为：1,2, …,n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则 121+=+++n q q q n 但若定理结论不成立，即1≤i q ，即有n q q q +++ 21≤n ， 从而有 n q q q n n ≤+++=+ 211 矛盾。 例 5.1.1 一年365天，今有366人，那么，其中至少有两人在同一天过生日。 注：与概率的区别：抽屉原理讲的是所给出的结论是必然成立的，即100%成立。而概率反映的是不确定性现象发
生的可能性问题，不讨论100%成立的确定性概率问题。 生日悖论：随机选出n 个人，则其中至少有二人同一天出生的概率为 ()A P n =n n P 365 1365- 特例：()A P 23=50.73%，()A P 100=99.99997% 例 5.1.2 箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有两只是完整配对的。 （二）推广形式 定理5.1.2 （推广形式）将121+-+++n q q q n 个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个。 （证）反证。不然，设第i 个抽屉的物品数小于i q （i ＝1,2, …,n ）(即该抽屉最多有1-i q 个物品)，则有 11 +-∑=n q n i i ＝物品总数≤()n q q n i i n i i -=-∑∑==1 1 1 与假设矛盾。 121+-+++n q q q n = ()()()111121 +-++-+-n q q q （三）特例 推论1 将n(r －1)＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中物品个数不少于r 个。 推论2 将m 个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中物品个数不少于11+?? ?? ??-n m ＝?? ? ???n m 个。其中??x 表示取x
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题5
习题五（抽屉原理） 1．证明：在边长为2的等边三角形中任取5点，至少有两个点相距不超过1。 证明：如图所示，将正三角形分成4个边长为1的小等 边三角形，现在取5点，有4个小等边三角形， 根据抽屉原理，则至少有两点落在同一个小 等边三角形中，其距离不超过1。 2．在一个边长为1的正方形内任取9个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于18。 证明：如图所示，将正方形分为4个边长为12的小正方形， 现取9个点，则至少有三个点落在同一个小正方形 中，以这三点为顶点的三角形的面积不大于 1212121218 ??=??=长高。 3．把从1到326的326个正整数任意分成5组，试证明其中必有1组，该组中 至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。 证明：用反证法。 设任何一组中的每一个数，它既不等于同组中另外两数之和，也不等于同组中另一数的两倍。即任何一组数中任意两个数之差总不在该组中。 （1）由抽屉原理知，五组中必有一组其中至少有66个数，设为A 组。 从中取66个数，记为1266,,,a a a ，不妨设66a 最大， 令 (1)66,1,2,,65i i a a a i =-= ，显然(1)1326i a ≤<， 由假设知 (1)i a A ?，故这65个数必在另外四组B 、C 、D 、E 中。 （2）由抽屉原理知，B 、C 、D 、E 四组中必有一组至少含有17个(1)i a ， 设为B 组，从中取17个(1)i a ，记为1217,,,b b b ，同理不妨设17b 最大， 令 (1)171,2,,16i i b b b i =-= ，显然(1)1326i b ≤<，且由假设知，(1)i b B ?， 又 (1)176666()()i i j k k j b b b a a a a a a A =-=---=-?， 所以这16个数(1)i b 必在C 、D 、E 中。 （3）由抽屉原理知，C 、D 、E 三组中必有一组至少含有6个(1)i b ，设为C 组， 从中取6个(1)i b ，记为126,,,c c c ，同理不妨设6c 最大， 令 (1)6i i c c c =-，1,2,,5i = ，显然(1)1326i c ≤<，且由假设知(1)i c C ?， 又 (1)61717()()i i j k k j c c c b b b b b b B =-=---=-?
组合数学练习题_带答案
组合数学练习题 第一章排列组合 1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？ 本题分为四种情况: 1位整数有4个: 2, 4, 6, 8 2位整数有4*4种方案, 有16个 3位整数有4*4*3种方案, 有48个 4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个 总共有4+16+48+96=164个这样的整数. 2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 (1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学 没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另 外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3 名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名 同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加 起来就是结果. C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+ C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9) (2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14 名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5 种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学 进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5 名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名 同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐 法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果. C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下， 又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案? (1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种 方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以 方案数为--- 2 (n!)2 (2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数 除以2n, 所以 方案数为--- (n!)2/n (3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周 全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以 方案数为--- 2n n!/n 4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？ 根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案
组合数学+卢开澄版++答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。 解：()() ++++++=++++++=n n n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780 ()0464143213 13 =+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a 左右同乘再连加： 0464:0 464:0 464:0464: 4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x 母函数：()()42 162036-+-=x x x x G 2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。 解：1(1) n x -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1) x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x --+,求序列{ n a } 解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=) 61()91(x B x A ++- 从而有： ???-==????=-=+4 778963B A B A B A G （X ）=) 61(4)91(7x x +-+- G （X ）=7)999x (13322 ++++x x - 4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x x
n a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156x x x ---，求对应的序列{}n a 。 解：母函数为239()156x G x x x -= --39(17)(18)x x x -=+- A B G(x)17x 18x A(18x)B(17x)39x = ++--++=-令 A B 38A+7B=9+=??--? 解得：A=2 B=1 所以 i i i 0i 0 21G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+ 2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。证明：0321=+---n n n G G G ， n =2，3，4…。求},,,{210 G G G 的母函数。 解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则 44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得： ()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+- 又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)2 53)(253(31)(2x x x x x x x H ---+=+-= 设x B x A x H --+-+=253253)(，则可列出方程组：