浙教版八年级数学上册 全等三角形证明判定方法分类总结
全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】
例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点D 是对应点，?=∠26BAC ，且?=∠20B ，1=?ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积．
例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长． 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠
例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：
（1）ABC ?≌DEF ?
（2）AB//DE ，
BC//EF
例5．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；
（2）BD 平分ABC ∠
【巩固练习】
1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、①② C 、②③ D 、③④
2．如图，ABD ?≌CDB ?，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）
A 、CD
B ABD ??和的面积相等 B 、CDB ABD ??和的周长相等
C 、CB
D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC
3．如图，ABC ?≌BAD ?，A 和B 以及C 和D 分别是对应点，如果?=∠?=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）
A 、?85
B 、?35
C 、?60
D 、?80
4．如图，ABC ?≌DEF ?，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3
5．如图，要使ACD ?≌BCE ?，则下列条件能满足的是（ ） A 、
AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，
BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC
6．如图，ABE ?≌DCF ?，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，
=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则
DF 与BC 的关系是 ．
D
第3题图
第4题图
第5题图
B
第6题图
7．如图，ABC ?≌
AED ?，若=∠?=∠?=∠?=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，
=∠DAC ．
8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ? ACD ?，所以=∠AEB ，
=∠BAE ，=∠BAD ．
9．如图，ABC ?≌DEF ?，?=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠
10．如图，ACF ?≌DBE ?，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==?=∠?=∠，求D ∠的度数及BC 的长．
11．如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?
全等三角形（一）作业
1．如图，ABC ?≌CDA ?，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定
2．如图，ABC ?≌DCE ?，?=∠?=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）
A 、?48
B 、?38
C 、?110
D 、?62
3．如图，ABC ?≌DEF ?，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．
B
A C
D E 第7题图
第8题图
A
B
C D
B
C
第9题题图
A
E
A
D C
4．如图，ABE ?≌ACD ?，?=∠?=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．
5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD 6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ?≌FED ?
②AB//EF
7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠
A
B D
E
F
E
全等三角形（二）
【知识要点】
定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示
如图，在ABC ?和DEF ?中，
ABC EF BC E B DE
AB ?∴??
?
??=∠=∠=≌)(SAS DEF ?
【典型例题】
【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.
【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=
∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠
BOE 的度数.
C A
D B E
C
【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.
【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。
A
E
B C
D
【巩固练习】
1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）
A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠
B ' C.∠C=∠
C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=C
D B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF
C ．CA=C
D ；∠B=∠
E D.AB=DE ；BC=E
F ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：
如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.
那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由. 小明的解答： 21∠=∠ AOD ≌△BOC
而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD
（1）你认为小明的解答有无错误；
（2）如有错误给出正确解答；
4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。
5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC
（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.
D
OA=OB OD=OC
6．如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由
全等三角形（二）作业
1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ?≌CEF ?。
2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。
3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。 求证：BF=FC 。
4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。
5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC
，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.
A
B C
E D F
A
D E O 1 2 D C A B E F
A
B
Q
C
P
6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：（1）△ABC≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC
7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN
（2）求∠AFN大小。
11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.
C
N
M
B
A
E
D
F
F
D
A
C
G
E
B
12、 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA=CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD. (1)观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
F
D
A
C E
B
全等三角形（三）ASA
【知识要点】
ASA
如图，在ABC
?与DEF ?中
E
B DE AB D A ∠=∠=
∠=∠ ∴
)(ASA DEF ABC ???
ASA
公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】
【例1】下列条件不可推得ABC ?和'
'
'
C B A ?全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '
，'
A A ∠=∠，
'C C ∠=∠
B 、 AB= A 'B '
，AC=A 'C '
，BC='B C '
C 、 AB= A 'B '
，AC=A 'C '
，'
B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'
B B ∠=∠
【
例
2
】
已
知
如
图
，
DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF
【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE
【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．
D
【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC
A B
【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD
【巩固练习】
1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD
2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN
3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '
的角平分线AD 、A 'D '
相等
4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ???，求证：
COF AOE ???
5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD
A
D '
B D '
C '
C
B
A
B
D
6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DE
全等三角形（三）作业
1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE
2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD
3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE
4．已知如图，在ABC ?中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ???
5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）
C
E
6、如图ABC
△中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF A
D
E C
B
F
7
、
(1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．
(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？
8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．
9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE
10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF
11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.
A
G F
C B
D E （图１）
12、已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线于E , CE=CD．求证：∠ADE=∠EDC．
13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF 交于O ,求证：∠1=∠2．
初二数学全等三角形证明题专题训练
初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。
6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3
八年级上册全等三角形证明题题型归类训练
《全等三角形》证明题题型归类训练 题型1：全等+等腰性质 1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ． 题型2：两次全等 1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分 O C E B D A A B E O F D C
3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG 题型3：直角三角形全等（余角性质） 1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ． 2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE A F C B D E G A F D E
八年级数学全等三角形证明题
八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021
第十三章全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟总分：100分） 班级姓名得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是 （） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ， 则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1
八年级全等三角形证明经典题
全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A
6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A
9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 八年级全等三角形分类证明题 一．SAS 1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ， （2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中 点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A 八年级数学全等三角形的证明归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相 等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边)∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE A 第2图 ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ） 四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件 例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。 证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中， ∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） E F E D C B A B 初二数学全等三角形证明经典例题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 第1题图 第2题图 第3题图 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 第4题图 第5题图 第6题图 4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 第7题图 第8题图 第9题图 8、 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 第10题图 第11题图 第12题图 10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图 18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 19、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。 20、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 21、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 第25题图 22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 23、.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 24．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 25.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 F E D C B A M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A D C A F E P E D C B A O E D C B A F E D C B A 教学课题 与三角形有关的线段、角 教学目标 1、能利用三角形三边关系进行证明 2、能利用三角形有关线段（中线、高、角平分线）的关系进行证明 3、能利用内角和定理计算与三角形有关的角的度数 教学重难点 重点：三角形的概念和三边关系定理，三角形内角和定理及其证明 难点：三边关系定理及三条线段的应用，三角形内角和定理、三角形外角的运用 运用一：利用中线巧构造 例1：在数学活动中，小明为了求231111 (2222) n ++++的值（结果用n 表示），设计了如图 所示的几何图形，你能根据这个几何图形求出231111 ....=2222 n ++++___________。 同步练习：请你利用下图，再设计一个能求的值的几何图形． 运用二：利用高线防漏解 例2：已知AD 是ABC ?的高，70,20BAD CAD ∠=?∠=?，求BAC ∠的度数？ 同步练习：已知AD 是ABC ?的高，62,28BAD CAD ∠=?∠=?，则ABC ?是什么三角形？ 运用三：周长和边的取值范围 例3 （1）如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L 的取值范围是( ) A ．6 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 同步练习： 1.若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是_______；当周长为奇数时，第三边长为________；当周长是5的倍数时，第三边长为________． 2、若等腰三角形的周长为12，则腰长a的取值范围是______． 3.若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是________；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是_______． 例4 .如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC>1 2 (AB+BC+AC)． 同步练习： 1、设△ABC的三边a，b，c的长度都是自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为边的三角形共有几个？ 2、若三角形的各边长均为正整数，且最长边为9，则这样的三角形的个数是多少？ 运用四：活用“内角和”定理 例5：在ABC ?中， 11 23 A B C ∠=∠=∠，试判断该三角形的形状？ 例6：(1)将一副常规的三角尺如图放置，则图中AOB ∠的度数为________ 同步练习：将一副三角板如图所示放在一起，则图中a ∠的度数为________ 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB A D B C C D B A 9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE B A C D F 2 1 E C D B A 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C D C B A F E A B C D 全等三角形证明经典50题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 已知：∠1=∠2，CD=DE ， EF B A D B C C B A C D F 2 \ E C D B A 12 CD AB 如图，四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 ) A B C D E F ￥ 1 A D B C ( A B C B A C D F 2 1 E C D B ~ 13.已知：AB 园里有一条“Z”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ， CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好 在一条直线上. 31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． （ 32.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 ! D C B A F E A B ： D P D A C B F A E / C B P E D C B A O E D C B A F E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A D C B A F D C B A F E D C B A D A F E 第十三章 全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟 总分：100分） 班级 姓名 得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1． 对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ； ③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④ 2． 下列说法正确的是( ) A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3． 下列数据能确定形状和大小的是（ ） A ．A B =4，B C =5，∠C =60° B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4． 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB = DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证明△ ABC ≌△DEF ( ) A ．AC = DF B ．B C = EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5． OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6． 如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（ ） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7． 如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是（ ） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8． 如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB = CD ，AE = CF ， 则图中全等三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） B A C E D （第6题） 2 1 “SSS”“SAS”证明三角形全等 【总结解题方法提升解题能力】 【课堂笔记】 1.SSS：三边分别的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“”） 2.SAS：两边和它们的分别相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“”） 一、选择题 1.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 2.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 3.如图，AB∥DE，CD=BF，若要证明△ABC≌△EDF，还需补充的条件是（） A．AC=EF B．AB=ED C．∠B=∠E D．不用补充 第1题图第2题图第3题图 4.如图，使△ABC≌△ADC成立的条件是（） A．AB=AD，∠B=∠D B．AB=AD，∠ACB=∠ACD C．BC=DC，∠BAC=∠DAC D．AB=AD，∠BAC=∠DAC 5.正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APE的度数为（） A．45°B．55°C．60°D．75° 6.如图所示，△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的取值范围是（） A．4＜AD＜14 B．0＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜9 第4题图第5题图第6题图 二、填空题 7.如图，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为：（只添加一个条件即可）． 8.如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEC． 9.如图，AB=9cm，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=3m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D 运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等． 第7题图第8题图第9题图 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（0，4），点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为 时，以点C、O、D为顶点的三角形与△AOB全等． 人教版八年级数学全等三角形证明题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08] （第8题） A D C B E F 全等三角形 测试卷 姓名得分 一、选择题（30分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ； ④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证明△ABC ≌△ DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是（） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ，则图中全等三角形共有() A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 9．如图，AB =AC ，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的() A ．只有① B ．只有② C ．只有③ D ．有①和②和③ 10．如图，DE ⊥BC ，BE=EC ，且AB =5，AC =8，则△ABD 的周长为（） A ．21 B ．18 C ．13 D ．9 二、填空题（18分） 11．如图，除公共边AB 外，根据下列括号内三角形全等的条件，在横线上添加适当的条件， 使△ABC 与△ABD 全等：（1），(ASA)；（2），∠3=∠4(AAS)． 12．如图，AD 是△ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE =AD ，连结BE ，则有△ACD ≌△。 13．如图，△ABC ≌△ADE ，此时∠1=． 14．如图，AB ⊥AC ，垂足为A ，CD ⊥AC ，垂足为C ，DE ⊥BC ，且AB=CE ，若BC =5cm ， 则DE 的长为cm ． A B F C E D （第9O A D C B （第7B A C E D （第6题） 2 1 E B A D C （第10A B C 3 4 1 2 （第11题） D D A B C F （第12题） A B E D C （第13题） 3 1 2 全等三角形证明50题 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 A D B C ∴AD=2 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF A B C D E F 2 1 D A B C ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G B A C D F 2 1 E 1、已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 F E A C D B M P C B N A E D C B D C E G 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A B C D E F O 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 A B C D E F 10.已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥D 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 12.已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 人教版八年级上册第十二章全等三角形证明精编40题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 4已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 5已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE C D B B A C D F 2 1 E A 7已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 8. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 A D B C 9.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 10已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 11 .p 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 12已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证： AC-AB=2BE 13已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 14．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． F A E D C B 1、如图，AC=AD，BC=BD，求证：AB平分∠CAD． 2、已知：如图，AB=DC，AB∥DC，求证：AD=BC． 3、如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．∠A=∠D=90°； 求证：AB∥DE． 4、如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 5、如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB 于E，请说明AE=BE． 6、一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC． 7、如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 8、如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 9、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF． 10、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．试 说明：AD垂直平分EF． 11、已知：如图，点E、F在AD上，且AF=DE，∠B=∠C，AB∥DC．求证：AB=DC． 12、已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB=BC． 求证：△ABF≌△CBD． 13、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． 试说明：AD垂直平分EF． 14、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证： （1）MD=MB；（2）MN平分∠DMB． 15、如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F． （1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数． 16、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 17、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C． 求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF． 18、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 初二数学全等三角形证明经典例题1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 第1题图第2题图第3题图 2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 3、已知：∠1=∠2， CD=DE，EF F E D C B A M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A F A E D C B P D A C B C D B A D B C B A C D F 2 1 E A B C D E F 2 1 A D B C A B C D A P E D C B A O E D C B A F E D C B A 园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 24．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 25.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 第30题图 第31题图 第32题 第33题 30．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗请 说明理由 31、 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 32、已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ．求证：AB CD ∥． 33、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD 34、 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE. 第34题图 第35题图 35．如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． . 3 4 21 D C B A A D E C B F D C F E A B E C D A B C D E F F E A 1. 如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，若AD=4，EC= 2. 求DE 的长。 i. 2. 如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。 3. 在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF . 4. 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ， 交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF. (1) 求证：BG=CF; (2) 请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并说明理由。 5. 如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一 点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 6. 如图，已知ABC ?为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ?也是等边三角形． （1） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线 段，并证明你的猜想是正确的； （2） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得 到？写出变化过程． 7. 已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰ Ｅ的大小。 8. 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在 A D B C E F E D C A F C B A E D E D C B A 第02课 全等三角形的判定方法 ?? ??????? ? ? ????? ? ??? ?????? ???? ? ? ???全等三角形判定：全等三角形性质：定义：全等三角形 例1. 如图，A,F,E,B 四点共线，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE=BF ，AC=BD.求证：△ACF ≌△ BDE. 例2.如图,AB//CD,AD//BC.求证： AB=CD. 例3.如图,在△ABC 中，AB=BC,∠ABC=900 ,F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE=BF,连接AE,EF 和CF. 求证 :AE=CF. 例4.如图,已知AB=AC,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证：BF=CE ． 例5.在凸五边形ABCDE 中,AB=AE,∠B=∠E,BC=DE,M 为CD 中点．求证:AM ⊥CD ． M E D C B A 课堂练习： 1.如图,∠1=∠2，BC=EF ，欲证△ABC ≌△DEF ，则须补充一个条件是（ ） A.AB=DE B.∠ACE=∠DFB C.BF=EC D.∠ABC=∠DEF 第1题图 第2题图 2.如图,AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则: ①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③点O 在∠BAC 的角平分线上,其中正确的结论有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.根据下列条件，能画出唯一△ABC 的是( ) A.3AB =，4BC =，8CA = B.4AB =，3BC =，30A ∠= C.60C ∠=，45B ∠=，4AB = D.90C ∠=，6AB =初二全等三角形分类证明题
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