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数形结合例题分析
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程
的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式
的结构含有明显的几何意义。
一、联想图形的交点
如等式 ( x 2)2 ( y 1)2
4
例 1. 已知 0 a
1，则方程 a |x| |log a x|的实根个数为 ( )
A. 1
个
B.2 个
C.3
个
D.1 个或 2个或 3个
分析： 判断方程的根的个数就是判断图象
y a |x| 与y |log a x|的交点个数，画 出两个函数图象，易知
两图象只有两个交点，故方程有
2 个实根，选（
B ）。
例 2. 解不等式 x 2 x
令 y 1 x 2， y 2 x ，则不等式 x 2 x 的解，就是使 y 1 x 2的图象
在y 2 x 的上方的那段对应的横坐标，
如下图，不等式的解集为 { x|x A
x x B }
而 x B 可由 x 2
x ，解得， x B 2， x A
2，
故不等式的解集为 { x| 2 x 2} 。
R 函数 f ( x)
lg x 1 x 1
2
( x) bf ( x) c 0 有 7 个不同实数解
练习 ：设定义域为
x
，则关于 x 的方程 f
1
的充要条件是（ ）
A.b 0, c 0
B.b 0,c
C.b 0,c 0
D .b 0,c
0 答案 C
二、联想绝对值的几何意义
例 1、已知 c
0 ，设 P ：函数 y
c x 在 R 上单调递减， Q ：不等式 x
x 2c 1的解集为 R ，如果 P 与 Q
有且仅有一个正确，试求
c 的范围。
因为不等式
x x 2c 1 的几何意义为： 在数轴上求一点 P( x) ，使 P 到 A(0), B(2c) 的距离之和的最小值大
于 1，而 P 到 AB 二点的最短距离为
AB 2c 1，即 c
1
而 P
：函数
y c x 在 R 上单调递减，即 c 1
2
由题意可得： 0 c
1
或 c 1
2
三、联想二次函数
例 1、已知关于 x 的方程 x 2
4 x
5 m 有四个不相等的实根，
则实数 m 的取值
范围为
分析：直接求解，繁难！ 。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。
设 y x 2
4 x 5, y 2 m 1
1 m
5
1
。又 y 为偶函数，由图可知 四、联想反函数的性质
例 1、方程 2
x
x 3, log 2 x x 3的实根分别为 x 1 , x 2 ，则 x 1 x 2 =
解：令 y 1
2x , y 2 log 2 x, y 3 3 x
y 1 , y 2 互为反函数，其图象关于
y x 对称，设
A( x 1,3 x 1 ), B( x 2 ,3 x 2 )
x 1 3 x 2 即 x 1
x 2
3
六、联想斜率公式
例 1.
求函数 y sin x
2
的值域。
cos x 2
y
sin x 2
的形式类似于斜率公式 y y 2
y 1
cos x 2 x 2
x 1
y
sin x 2
表示过两点 P 0 (2， 2) ， P(cos x ， sin x)的直线斜率
cosx 2
由于点 P 在单位圆 x 2 y 2
1上，如图 , 显然， k P A y k P B
设过 P 0 的圆的切线方程为 y 2 k( x
2)
则有 |2k
2| ，解得 k
4± 7 即 k P A
4
7
， k
P B
47
k
2
1
3
3
3
1
∴
4
7 y
4 7
∴函数值域为 [ 4 7 ， 4 3 7 ]
3
3
3
例 2、实系数方程 x
2
ax 2b
的一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求
b 2
的取值范围。
a 1
解：数形结合由 b
2
的结构特征，联想二次函数性质及
b
2
的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。 a 1
a 1
f (0) 0
b 0 令 f (x)
x 2 ax 2b ，则由已知有
f (1) 0得到 1 a 2b 0
f (2)
2 a b
这个二元一次不等式组的解为
ABC 内的点 (a,b) 的集合由
b
2
的几何意义为过点
a 1
(a,b) 和点 D (1,2) 的直线的斜率
由此可以看出：
1 k AD b
2 k BD 1即b 2
的取值范围是 (
1
,1) 。
4 a 1 a 1
y 4
练习：如果实数 x、y满足 x 2 y 2 ，则的最大值为答案 D ( 2) 3 x ( )
A. 1
B. 3
C. 3 D . 3
2 3 2
五、联想两点间的距离公式
例 1、设f ( x) 1 x 2 ,a,b R且 a b
，求证： f (a) f (b) a b
解： a b, 不妨设a b ，构造如图的Rt OAP ，其中OP 1,OA a,OB b 则 PA 1 a
2 f ( a), PB 1 b 2 f (b), AB a b
在 Rt OAP 中，有 PA PB AB f (a) f (b) a b
六、联想点到直线的距离公式
例 1、已知P是直线3x 4 y 8 0 上的动点， PA, PB 是 x2 y 2 2 x 2 y 1 0
的两条切线， A, B 是切点， C
是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
解：S
PACB
2S
PAC 2
1
PA AC PA PC2 1
2
要使面积最小，只需PC 最小，即定点C到定直线上动点P 距离最小即可即点 C (1,1) 到直线3x 4y 8 0 的距离，
而 d 3 1 4 2 8
3 (S PACB ) min 32 1 2 2
32 42
七、联想函数奇偶性
例 1、设y f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且y f (x) 的图象关于直线x 1
对称，则2
f (1) f ( 2) f (3) f ( 4) f (5)
解：本题由于 y f ( x) 不明确，故 f (x) 的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知 f (0) 0 ，又且 y f ( x) 的
图象关于直线x 1
对称， f (1) 0 2
则奇函数可得： f ( 1) 0 ，则又由对称性知： f (2) 0 同理： f (3) f (4) f (5) 0
f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 0
八、其它简单方法：
例 1. 若关于x的方程x2 2kx 3k 0的两根都在1和3之间，求 k的取值范围。
解：令 f ( x) x 2 2kx 3k，其图象与 x轴交点的横坐标就是方程 f ( x) 0
的解，由 y f (x)的图象可知，要使二根都在1，3之间，只需 f
( 1) 0，f (3) 0 ，
f ( b ) f ( k) 0 同时成立，解得1 k 0，故 k ( 1，0)
2a
课后练习：
1. 方程 lg x sin x 的实根的个数为（） A.1 个 B.2 个 C.3 个D.4个
2. 函数 y a| x|与y x a 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围是（）
A. (1，)
B. ( 1，1)
C. ( ， 1] [1，)
D. ( ，1) (1，)
3. 设命题甲：0 x 3 ，命题乙： |x 1| 4 ，则甲是乙成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
4. 若方程lg( x 2 x m) lg( x) 在[ ， ] 上有唯一解，求m的取值范围。
3 3 0 3
5. 设 a 0且a≠1 ，试求下述方程有解时k 的取值范围。log a( x ak) log 2 ( x2 a 2 ) 。
a
练习答案 1. C 2. D 提示：画出y a| x|与y x a 的图象
情形 1：a 0
a 1
a 0
a 1 a 1
情形 2：
a 1
3. A
x 2 3x m 0
x 2 3x m 0
3 x 0
4. 解：原方程等价于0 x 3
0 x 3
x 2 4x 3 m
x 2 3x m 3 x
令 y1 x2 4 x 3，y2 m ，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0 x 3，当且仅当两函数的图象在 [0 ， 3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或 3 m 0 时，原方程有唯一解，因此 m的取值范围为 [ － 3， 0] {1} 。
5. 解：将原方程化为：log a ( x ak) log a x 2 a 2 ，
∴ x ak x2 a2，且 x ak 0，x 2 a 2 0
令 y1 x ak ，它表示倾角为45°的直线系，y1 0
令 y2 x2 a 2 ，它表示焦点在x 轴上，顶点为（－ a，0）（ a，0）的等轴双
曲线在 x 轴上方的部分，y2 0
∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知
ak a或 a ak 0
∴ k 1或 0 k 1 ∴ k 的取值范围为( ，1) (0，1)