中考专题折叠问题

（第18题图）

M

A

C B 折叠问题

折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点

P 处．

若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°

2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，

∠A =50°，将其折叠，使

点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则

A D

B '∠=（ ）

A ．40°

B ．30°

C ．20°

D ．10° 3、（2009年日照市）

将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．

4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，

AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5

5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线

CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值

为 ．

6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．

7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将

ADC △沿AC 边所在的直线折叠，

使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥．

A

图3

B

M C 第2题图 A

'

B

D A

C E C B A D

8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形

BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值

时，y 最大，最大值为多少？

9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点

E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．

（1）用x 表示ADE △的面积；

（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

提示：相似、二次函数

B

C N

M A

E

A '

D B

C

A

B

C A

10、（2009年天津市）

已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；提示：画出图形，图中性质 △ACD ≌△BCD,△BDC ∽△BOA,BC=AC

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为

B '，设OB x '=，O

C y =，试写出y 关于

x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；

提示：画图，△COB ＇中由勾股定理得出函数关系式，由x 取值范围确定y 范围。

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为

B '，且使B D OB '∥，求此时点

C 的坐标．

提示：画图，△COB ＇∽△BOA

11、（2009年湖南长沙）如图，二次函数

2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交

于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结

AC BC A C 、，、两点的坐标

分别为

(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2

x =时二次函数的函数值y 相等．

（1）求实数a b c ，，的值；

（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结

MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐

标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形；

第(3)问注意到△ABC 为直角三角形

后，按直角位置对应分类；

先画出与△

ABC 相似的△BNQ ，再判断是否在对

称轴上。

12、（2009年浙江省湖州市）

已知抛物线2

2y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线1

2

y x a =

-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形

ADCN 的面积；

(3)在抛物线2

2y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

第（2）题

备用图

（第12题）

B C

D

G

F

（17题）

F C D

C ' A

B E

A ′

G

D C

13、(2009成都)如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____． A

B

C D

E

A′

14、（2009年凉山州）如图，将矩形ABCD

沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）

A ．AD BC '=

B ．EBD EDB ∠=∠

C ．ABE CB

D △∽△

D ．sin AE

ABE ED

∠=

15、（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）

A ．1

B ．34

C ．2

3

D ．2

16、（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）

（A ）70°（B ）65°（C ）50°（D ） 25°

17、（2009年淄博市）矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．

112 C ． 4 D ．52

18、（09四川绵阳）如图，四边形ABCD 是

矩形，AB :AD = 4:3，把矩形沿直线AC 折

叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则 DE :AC =（ ）

A ．1:3

B ．3:8

C ．8:27

D ．7:25

19、（2009仙桃）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．

A

B C

D

E E

D

B

C′

F

C

D ′ A

A、3B

、2 C、3 D、3

2

20、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD

沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，

AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并

加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意

一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH

的值，并说明理由.

21、（2009年鄂州市）如图27所示，将矩形

OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F

处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，

使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩

形CMNO

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由

(2)令

；

四边形

四边形

CNMN

CFGH

S

S

m ，请问m是否为定值？

若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

3

1

，Q

为AE上一点且QF＝

3

2

，抛物线y＝mx2+bx+c

经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c

与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否

存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形

与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴

的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

22、（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

23、(2009年温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EF A ′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是

24、（2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的

中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）

A'

M C

A

D

E

25、（2009山西省太原市）

问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当1

2

CE CD =时，求

AM

BN

的值．

类比归纳 在图（1）中，若

13CE CD =，

则AM

BN 的值等于 ；若

14CE CD =，则AM BN 的值等于 ； 若1CE CD

n =（n 为整数），则AM BN 的值等于 ．（用含n 的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设

N M F

E

D

C

B

A

方法指导： 为了求得

AM

BN

的值，可先求BN 、AM 的长，

不妨设：AB =2 图（1）

A B

C

D

E

F

M

N

D

A C

B

A ' ()111A

B CE m B

C m C

D n =>=，，

则AM

BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

26、（2009年哈尔滨）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ′处，若∠A ′BC ＝20°，则∠A ′BD 的度数为（ ）．

（A ）15°（B ）20°（C ）25°（D ）30°

27、(2009年抚顺市)如图所示，已知：Rt ABC △中，90ACB ∠=°． （1）尺规作图：作BAC ∠的平分线AM 交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作图形中，将Rt ABC △沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE DF 、，再展回到原图形，得到四边形AEDF ．

①试判断四边形AEDF 的形状，并证

明；

②若84AC CD ==，，求四边形

AEDF 的周长和BD 的长．

图（2）

A B C D E F M B

C

A