587 几何计数(学生版)
学科培优数学
“几何计数”
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知识定位
在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指
计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．
知识梳理
一、数线段
如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
二、数角
数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有： E D
∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C
同样还有：
∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 B
∠COD ，∠COE共2个 A ∠DOE共1个
合计有4+3+2+1=10（个）
三、数三角形
可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）
因为DE上有15条线段，每条线段的两端点
与点A相连，可构成一个三角形，共有15个
三角形，同样一边在BC上的三角形也有15
个，所以图中共有30个三角形。
四、
A M D
E P F
G Q H
B M C
线段AM与AE对应着长方形AMPE，
AM与AG对应着长方形AMQG，
AM与AB对应着长方形AMNB
AM与EG对应着长方形EPQG,
AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.
就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形
AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，
所以共有3×6=18个长方形
一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
五、染色问题
在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论，对所研究的对象进行“染色”，“染色”实质上是分类的一种形象化的表示，利用“染色”，可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来，从而使问题得到简明的解答。
六、图形计数，方阵计数
这类问题大多比较困难。图形计数包括，圆，三角，直线，平面分割，等之间的互相交叉题型。而方阵计数，棋盘中计数是现在考试的热点。
几个计算公式总结：
1．线段、角的计数公式：
2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段，
纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是
mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)
= mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)
例题精讲
【试题来源】
【试题来源】
【题目】从A到F一共有多少种不同走法？
A B C
D E F
【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?
【试题来源】
【题目】如图19—2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?
【试题来源】
【题目】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求
图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．
【试题来源】
【题目】如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数
的差是多少?
【题目】如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? ···
····
····
【试题来源】
【题目】图中共有多少个三角形？
【试题来源】
【题目】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？
【试题来源】
【题目】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同
的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。
在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【题目】如果用四种颜色对下面三个图形的A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，那么，对（1）（2）（3）图分别有 、 、 种染法。
【试题来源】
【题目】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?
【试题来源】
【题目】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
【试题来源】9902
【题目】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?
【试题来源】迎春杯试题
【题目】用5个1×2的小长方形去覆盖2×5的方格网，一共有＿＿种不同的覆盖方法。
A B D
E
C
A B
C
D
E
A B
C E
D
【试题来源】
【题目】用图1所示的1×2小长方形和1×3小长方形去覆盖如图2所示的填有数字的2×6方格表，共有多少种不同的盖法?
【试题来源】
【题目】小明有8张连在一起的电影票(如下图)，他自己要留下四张连
在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有＿＿种不同情况.
（04试验中学入学测试题）
【试题来源】
【题目】将19枚棋子放入5*5的方格网内，每个方格最多只放一枚棋子，且每行每列的棋子数均为奇数个，那么共有_____________种不同的放法。
【试题来源】
【题目】将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求
每行,每列都有棋子．那么共有种不同放法．
【试题来源】
【题目】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
习题演练
【试题来源】
【题目】如下图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有块。
【试题来源】
【题目】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角
形）
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
【试题来源】
【题目】格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。问可以得到多少种着色方式不同的圆棒？
【试题来源】
【题目】在8×8的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形？
【试题来源】
【题目】如下图，八面体有12条棱，6个顶点。一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次。问共有多少种不同的走法？