(完整版)高中数学线性规划各类习题精选

线性规划

基础知识：

一、知识梳理

1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．

2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．

4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．

5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二：积储知识：

一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0

2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0

3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,

（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0

2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域:

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．

包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入

Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,

当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

例题：

1. 如图1所示，已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC

?内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得min z 和max z ？

2. 如图1所示，已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，

点(,)P x y 在ABC ?内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： ①z x y =+在 处有最大值 ，在 处有最小值 ； ②z x y =-在 处有最大值 ，在 处有最小值

3. 若x 、y 满足条件?????≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，

，

求y x z 2+=的最大值和最小值 4. 设实数x y ，满足20240230x y x y y --??+-??-?

≤，≥，≤，

，则y

z x =的最大值是__________． 5. 已知05≥-+y x ，010≤-+y x ．求2

2

y x +的最大、最小值

6. 已知2040250x y x y x y -+??+-??--?

，，，≥≥≤求22

1025z x y y =+-+的最小值

7. 给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） A.

41 B.53 C.4 D.3

5 8.已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤??

+≥??-≤?

，则3z x y =+的最大值为

( )

()A 12 ()B 11 ()C 3

()D -1

9.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤??

≤≤??≤≤?

，则2+3x y 的最大值为

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

10.若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥???

+-≤??

+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。

11.设函数

ln ,0

()21,0x x f x x x >?=?

--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)

处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ． 12.某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A 、1800元

B 、2400元

C 、2800元

D 、3100元

13.若,x y 满足约束条件：02323

x x y x y ≥??

+≥??+≤?；则x y -的取值范围为_____.

14．设,x y 满足约束条件：,0

13x y x y x y ≥??

-≥-??+≤?

；则2z x y =-的取值范围为 .

15.设不等式组x 1x-2y+30y x ≥??

≥??≥?所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω

关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值

等于( )

A.285

B.4

C. 12

5 D.2

16. 设不等式组??

?≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

A 4π

B 22π-

C 6π

D 44π-

17.若实数x 、y 满足10

,0x y x -+≤??

>?则y x 的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(

]

0,1

C.(1,+∞)

D.[)1,+∞

18.已知正数a b c ，

，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b

a 的取值范围

是 ．

19.设平面点集{}

221(,)()()0,(,)(1)(1)1

A x y y x y

B x y x y x ??

=--≥=-+-≤????，则

A B I 所表示的平面图形的面积为

A 34π

B 35π

C 47π

D 2π

20.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤

且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）

A ．2

B ．1

C ．12

D ．1

4

21.若A 为不等式组002x y y x ≤??

≥??-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动

直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 .

22.若不等式组

3434x x y x y ≥??

+≥??+≤?

所表示的平面区域被直线

4

3y kx =+

分为面积相

等的两部分，则k 的值是

（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34高

23.若0,0≥≥b a ，且当???

??≤+≥≥1

,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.

24.在平面直角坐标系中，若不等式组101010

x y x ax y +-≥??

-≤??-+≥?（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为

A. －5

B. 1

C. 2

D. 3

25.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件???

??≥≤--≤-+m x y x y x 0

3203，则实数m 的最大

值为（ ）

A ．21

B ．1

C ．23

D ．2

26.设二元一次不等式组2190802140

x y x y x y ?+-?

-+??+-?，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数

(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）

A ．[1，3]

B ．[2，10]

C ．[2，9]

D ．[10，9]

27.设不等式组 110

330530x y x y x y 9+-≥??

-+≥??-+≤? 表示的平面区域为D ，若指数函数y=x

a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是

A (1，3]

B [2，3]

C (1，2]

D [ 3， +∞] 28.设m 为实数，若{250(,)30

0x y x y x mx y -+≥??

-≥??+≥?}

22

{(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________.

29.若实数x ，y 满足不等式组330,

230,10,x y x y x my +-≥??

--≤??-+≥?

且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）

A 2-

B 1-

C 1

D 2

30.若x ，y 满足约束条件1122

x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 （ ）

A ．（1-，2）

B ．（4-，2）

C ．(4,0]-

D ． (2,4)-

31.设m >1，在约束条件下，???

??≤+≤≥1

y x mx y x y 目标函数z=x+my 的最大值小于2， 则m 的取值范围为

A ．)21,1(+

B ．),21(+∞+

C ．（1，3）

D ．),3(+∞

32.设x ，y 满足约束条件???

??≥≥≥+-≤--0

,0020

63y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>> 的

值是最大值为12，则23

a b +

的最小值为（ ） A. 625 B. 38 C. 311

D. 4

33.设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?，若目标函数()0,0z abx y a b =+>> 的最

大值为8，则a b +的最小值为________.

1.略

2.①点A,6,边界BC,1

②点C,1,点B，-3

3.2

4.3 2

5.最大、最小值分别是50和

2

25

6.

2

9

7.B

8.B

9.D

10.-1

11.2

12.C

13.[3,0]

-

14.[－3，3]

15.B

16.D

17.C

18.[] 7

e，

19.D

20.B

21.7 4

22.A

23.1

24.D

25.B

26.C

27.A

28.

4 [0,]

3

29.C

30.B

31.A

32.A

33.4