高等数学期末复习资料大全
《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)
(6lim
0)(6sin lim
x x f x x xf x x x +=+>->-，求
解：
2
0303'
)(6cos 6lim
)(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->-
72
)0(''06)0(''32166'
''''36cos 216lim
6'''26sin 36lim
00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 36272
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）
3.1
21)12(lim ->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b 为正常数，x
x x x b a 3
0)2(lim +>-求
解：令]
2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x t b a t
2
/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)
1ln(1
2
)(cos lim x
x x +>-
解：令
)
ln(cos )1ln(1
ln ,)(cos 2)1ln(1
2
x x t x t x +=
=+
2
/100
21
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）
6.设
)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求
1
)()(lim
2
2
=?
?
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质）
7.已知??
?=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
解：令
2
/1/)ln(cos lim 20
-==>-x x a x （连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.
3
cos
1
1
lim
-
=
-
-
-
-
>
-x
x
x
e x
x
（洛必达）
2.
)
1
sin
1
(
lim
0x
x
ctgx
x
-
>
-（洛必达或Taylor）
3.
1
1
lim
2
2
=
--
-
>
-
?
x
x t
x e
dt
e
x
（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.
?
?
?
=
+
-
=
=
5
2
arctan
)
(2t
e
ty
y
t
x
x
y
y由
决定，求
dx
dy
2.
x
y
x
y
x
x
y
y sin
)
ln(
)
(3
2+
=
+
=由
决定，求
1
|
=
=x
dx
dy
解：两边微分得x=0时
y
x
y
y=
=cos
'
，将x=0代入等式得y=1
3.
y
x
x
y
y xy+
=
=2
)
(由
决定，则
dx
dy
x
)1
2
(ln
|
-
=
=
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线
)2/
,2/π
θ
ρ
ρπ
θe
e（
）
，
在（=
=
处切线的直角坐标方程。
解：
1
|'
),
,0(
|)
,
(,
sin
cos
2/
2/
2/
-
=
=
??
?
?
?
=
=
=
=π
θ
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
y
e
y
x
e
y
e
x
x
e
y-
=
-2/π
(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求
)1('
),1(
)6('
),6(f
f
f
f或
，等式取x->0的极限有：f(1)=0
)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim
0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题
6.已知x
e x
f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，
)
0(0)('00≠=x x f 若，求
)
,(00y x 点的性质。
解：令??
?<>>>===-0
,00,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。
7.
2
3)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域
),1()1,(+∞-∞∈Y x
：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''3
00'+===?===?=x y x x y x x y
8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：
101'arctan 2/2
2-==?++=+x x e x
x x y x
与驻点π，
2)2(-=-=x y x e y 与渐：π
D.幂级数展开问题
9.?=-x x dt t x dx d 0
2
2sin )sin(
???=???++-+???+-=-?
??++--+???+-=-+---+???+-+--=-???++--+???+---=----+-x n n n n
x
n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02
)
12(2622147302
141
732
)
12(262
2
sin )!
12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!
12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!
12()()1()(!31)()sin(
或：
2
0202sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-?
=-??
10.求
)0(0)1ln()()(2n f n x x x x f 阶导数处的在=+=
解：)(2)1(32()1ln(22
1322
2
---+--+???-+-=+n n n x o n x x x x x x x
=)(2)1(321543
n n
n x o n x x x x +--+???-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n f n n E.不等式的证明
11.
设
)
1,0(∈x ，
211)1ln(112ln 1)1(ln )122<
-+<-<++x x x x x ，求证（
证：1）令
0)0(,)1(ln )1()(2
2=-++=g x x x x g
；得证。单调下降，单调下降
单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)
1()
1ln(2)('''),(''),('2
<<<∈∴==<++-
=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g
2）令
单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1
)1ln(1)(<∈-+=
x h x x x x h
F.中值定理问题
12.设函数
]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，
0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：
32)('''!31
)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++
+=
其中
]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有)
('''61
)0(''21)0()1(1)('''61
)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+
=-=
两式相减：
6)(''')('''21=+ηηf f
3
)](''')('''[21
)('''][2121=+=?∈?ηηξηηξf f f ，，
13.2
e b a e <<<，求证：
)(4
ln ln 222a b e a b ->
-
证：
)
(')
()(:
ξf a b a f b f Lagrange =--
令
ξ
ξ
ln 2ln ln ,ln )(222
=
--=a b a b x x f
令
2
2
22ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==
ξξ?ξ???
)(4
ln ln 222a b e a b ->
- （关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.
23
)0('',11ln
)(2
-
=+-=y x x x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+?????==x y t e y t
e x t
t
处切线为在
3.
e x y x x e x y 1)0)(1ln(+
=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x
证：令322
2
)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x x x g x g x g x x x x g -=
---=
02)1(''0)1(')1(>===g g g ，
00'),,1(0
'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴??
?>∞∈<∈?>????>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x
第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.?
?
+-=--=-C x x dx x x dx 2
2
arcsin
)2(4)
4(2
2.
???
+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e x x x x tan tan 2sec )1(tan 222222
3.设
x x x f )
1ln()(ln +=
，求?dx x f )(
解：
??
+=dx e e dx x f x
x )
1ln()(
?+++-=+-++=--C e e x dx e e e e x
x x
x x
x
)1ln()1()11()1ln(
4.
?
?∞
∞>-∞
+=+-+-=1
12122ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π
B.积分性质
5.
)(x f 连续，?=1
0)()(dt xt f x ?,且A
x x f x =>-)
(lim
，求
)(x ?并讨论)('x ?在0=x 的连续性。
解：x
dy y f x xt y f x
?=
?===0
)()(,0)0()0(??
)0('2/)0('lim 2)0(')()()('02
????==∴=
-=
>-?A A
x
dy
y f x xf x x x
Θ
6.??---=-x x x t d t x f dx d dt t x tf dx d 0222202
2)()(2)(
)()()(2202
x xf y d y f dx d x ?==
C.积分的应用
又
)(x f
与x=1,y=0所围面积S=2。求)(x f ，且a=时S 绕x 轴旋转体积最小。
三、补充习题（作业）
1.?+
-
-
-
=C
x
x
x
x
dx
x
x
cot
2
sin
ln
cot
sin
sin
ln
2
2.?
+
-
+
dx
x
x
x
13
6
5
2
3.?dx
x
x arcsin
第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值
4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分
1.
)
(x
f
有二阶连续偏导，
)
sin
(y
e
f
z x
=
满足
z
e
z
z x
yy
xx
2
''
''=
+
，求
)
(x
f
解：
u
u e
c
e
c
u
f
f
f-
+
=
?
=
-
2
1
)
(
''
2.
y
x
z
y
x
y
xy
f
x
z
?
?
?
+
+
=
2
)
(
)
(
1
，求
?
3.
决定
由0
)
,
,
(
),
(
)
(
),
(=
+
=
=
=z
y
x
F
y
x
xf
z
x
z
z
x
y
y
，求
dx
dz/
B.空间几何问题
4.求
a
z
y
x=
+
+
上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：
a
d
a
z
z
y
y
x
x=
?
=
+
+
/
/
/
5.曲面
21
3
22
2
2=
+
+z
y
x
在点
)2,2
,1(-
处的法线方程。
C.极值问题
6.设
),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求
),(y x z z =的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.
y x z
x y g y x xy f z ???+=2),(),(求
2.
x z x y g y x xy f z ??+=求)),(,
(
3.dz
x y
y x u u z 求,arctan ,ln ,22=+==??
第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
??
?????????=D
r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)
(2)(1)(2)
(1),(),(),(θθθθθθ
???
?????????????
?
??=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr
z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθ?θ??θ?θθθθθ??θ?θθθ)(2)
(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2)
,(1)(2)(1)
,(2),(1sin ),,(),,(),,(),,(
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
??
++=?=D
y x dxdy
z z A y x f z 2
2''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
?
?????
???
??+?=+????==+?==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt
y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()
(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
???????????????=???=?++==L
S
S V
Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2),(:ρρ
ρρρ
ρρ
二、题型与解法
A.重积分计算
1.Ω+=???Ω,)(22dV y x I 为平面曲线???==022x z y 绕z 轴旋转一周与z=8的围域。
解：
3
1024)(20
220
80
2228
022
π
θπ=
=+=?
?????≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.
??
--+=D
D
dxdy y
x a y x I ,42
2
2
22为
)
0(22>-+-=a x a a y 与
x y -=围域。
（
)2116(
2
2
-=πa I
3.
??
?≤≤≤≤=其他,00,21,),(2x
y x y x y x f ，
求
??≥+D
x
y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)
B.曲线、曲面积分
4.
?-++-=L
x x dy
ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (
)0,0(2)0,2(2O x ax y a A L 至沿从-=
解：令
A y O L 至沿从01=
3
220
1
1
2
)22
(
)()(a b a dx bx dxdy a b I a
D
L L L π
π
-
+=---=-=
?????+
5.
?
+-=L y x ydx xdy I 2
24,
为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向
??
?==θθsin cos 2:1r y r x L ， π
==∴=-=?
?
?
??-1
1
1
0L L
L L
L L
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
)()(2=--??S
x
zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ，且
)(x f 在
x>0有连续一阶
导数，
1
)(lim 0=+
>-x f x ,求
)(x f 。
解：
????????Ω
Ω--+=??=?=s x dV
e x x
f x xf x f dV F S d F ))()(')((02ρ
ρρ
)
1(1)11('2-=?=-+x x x e x e y e x y x y
第六讲 常微分方程
一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
2.高阶方程 会求
))(')(',('')),(')(',(''),()(y p y y y f y x p y y x f y x f y n ===== 3.二阶线性常系数
???
??+=→±=+=→=+=→≠?=++?=++)sin cos ()(0
0'''2112112121121221x c x c e y i e x c c y e c e c y q p q py y x x
x x βββαλλλλλλλαλλλ(齐次)
??
?
??=→==→==→≠?=x n x
n x
n x
n e x x Q y and xe x Q y or e x Q y e x P x f ααααλλαλλαλα22212212)()()()()((非齐次)
?????=+=→=±+=→≠±?+=),max((sin )(cos )((sin )(cos )(()
sin )(cos )(()(22j i n x x r x x q xe y i x x r x x q e y i x x p x x p e x f n n x
n n x
j i x ββλβαββλβαββααα(非齐
次)
二、题型与解法 A.微分方程求解
1.求0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 通解。（
)322c x y x xy =-- 2.利用代换
x
u
y cos =
化简
x
e x y x y x y =+-cos 3sin '2cos ''并求通解。
（
x e x c x x c y e u u x
x
cos 5sin 2cos 2cos ,4''21+
+==+）
3.设)(x y y =是上凸连续曲线，),(y x 处曲率为
2
'11
y +，且过
)1,0(处切线方
程为y=x+1，求
)(x y y =及其极值。
解：2
ln 21
1,2ln 211|)4cos(|ln 01'''max 2+=++-=?=++y x y y y π
三、补充习题（作业）
1.已知函数
)(x y y =在任意点处的增量
)1(,)0(),(12y y x o x x y y 求π=?++?=
?。(4
π
πe ）
2.求x
e y y 24''=-的通解。（
x
x x xe e c e c y 2222141+
+=-）
3.求
)1(
),
(0
)
(2
2=
>
=
-
+
+y
x
xdy
dx
y
x
y
的通解。（
)1
(
2
1
2-
=x
y
）
4.求
1
)0('
)0(
,0
'
2
''2=
=
=
-
-y
y
e
y
y x
的特解。（
x
e
x
y2
)
2
3(
4
1
4
1
+
+
=
第七讲无穷级数
一、理论要求
1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p级数敛散条件
正项级数的比较、比值、根式判别法
交错级数判别法
2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）
Taylor与Maclaulin展开
级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理
会求
],
[l l-
的Fourier级数与
],0[l
正余弦级数
第八讲线性代数
一、理论要求
1.行列式会用按行（列）展开计算行列式
2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）
矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式
矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆
矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价
用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法
掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示
掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩
了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法
了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件
理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换
二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法
了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲概率统计初步
一、理论要求
1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算
会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式
2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念
理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度
掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度
会求两个随机变量简单函数的分布
4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念
掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理
了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理
6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩
了解
2
χ
分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念
了解正态分布的常用抽样分布
7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性
会求单个正态总体的均值和方差的置信区间
8.假设检验掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
第十讲总结
1.极限求解
变量替换（
∞
1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，
等价小量替换）
1.
2
)
)1
(
(
...
)
2
(
)
[(
1
lim
a
x
n
a
n
x
n
a
x
n
a
x
n
n
+
=
-
+
+
+
+
+
+
∞
>
-(几何级数)
2.
2/
/1
)
arccos
2
(
limπ
π
-
>
-
=e
x x
x(对数替换)
3.
2
tan
1
)
2(
lim
x x
x
π
-
>
-
4.
2
1
)
6
3
(
lim
-∞
>
-+
+x x x
x
5.
2
1
)
(
)
(
)
(
lim
a
x
a
x
na
a
x n
n
n
a
x-
-
-
--
>
-
6.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
>
=
<
-
=
?
)0
(
cos
,4
,
2
cos
1
)
(
2
x
x
tdt
x
x
x
x
x
f
x
，求
)
(
lim
x
f
x>
-
2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导
1.
]'
)
(
)
(
)
[(b
a
x
a
x
x
b
b
a
2.
)
sin(
arctan=
-
-
+y
x
x
x
y
，求dy/dx
3.??
?
?
?
=
=
t
e
y
t
e
x
t
t
sin
cos
决定函数
)
(x
y
y=
，求dy
4.已知
1
ln
22=
-y
y
x
，验证
'
)1
2(
42
2=
-
+y
y
x
xy
5.
bx
x
v
v
u
e
y u sin
,
ln
3
1
,3
2=
=
=
,求x
y'
3.一元函数积分
1.求函数
?
+
-
+
=x dt
t
t
t
x
I
021
1
3
)
(
在区间
]1,0[
上的最小值。（0）
2.?-
-
-
2
2
2
|1
|
1
dx
x
x
3.?-
1
2/3
2)
1dx
x
（
4.?
+
dx
x
x)
1(
1
5.?
-1
2
t
t
dt
6.?
-
+
dx
x
x
2
4
1
4
1
4.多元函数微分
1.
)
,
(
2
xy
e
y
x
f
z=
，求y
x
z
z','
2.
)
,
(y
x
z
z=
由
)
,
(=
+
+
x
z
y
y
z
x
F
给出，求证：
xy
z
yz
xz
y
x
-
=
+'
'
3.求
xy
y
x
y
x
u2
)
,
(2
2+
-
=
在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。
4.
)
ln(
sin y
x
x
u+
=
，求
y
x
u
?
?
?2
6.证明
)
(
2
x
y
f
x
z n
=
满足
nz
yz
xz
y
x
=
+'
2
'
7.求
18
:
4
4
)
,
(2
2
2
2≤
+
-
-
-
=y
x
D
y
x
y
x
y
x
f在
内的最值。
5.多元函数积分
1.求证：
b
rot
a
a
rot
b
b
a
div
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
-
=
?)
(
2.
??≤
+
-
-
=
D
y
y
x
D
dxdy
y
x
I2
:
,
)
4(2
2
3.
??≤
+
+
=
D
y
y
x
D
dxdy
y
x
I2
:
,
)
(2
2
4.改变积分次序
?
?+
-
2
2
1
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx
5.
??=
=
=
=
D
xy
x
y
x
D
dxdy
y
x
I1
,
2
,2
:
,
)
(2
围域。
6.常微分方程
1.求
1
ln
12
2=
+
+
+
+dx
y
dy
xdx
y
通解。
2.求
x
e
y
y
y3
2
5
'
2
''=
+
+
通解。
3.求
x
e
y
y
y2
6
5
'
2
''=
-
-
通解。
4.求
)
(
)
(2
2=
+
+
-dy
x
xy
dx
y
y
x
通解。
5.求
)0(
)0('
),
2
cos
(
2
1
4
''=
=
-
=
+y
y
x
x
y
y
特解。
6.求
1
)0('
,,0
)0(
,
4
''=
=
=
-y
y
xe
y
y x
特解。
《高等数学考研题型分析》
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
如何提高高等数学课堂教学的质量
第25卷第2期大 学 数 学Vol.25,№.2 2009年4月COLL EGE MA T H EMA TICS Apr.2009 如何提高高等数学课堂教学的质量 李志飞 (西安建筑科技大学理学院,西安710055) [摘 要]数学的课堂教学过程是在教师的传授和指导下进行学习、掌握数学知识、技能、思想、方法的一 种认识过程.影响数学课堂教学质量的因素是多方面的,本文仅就提高高等数学课堂教学质量谈几点个人的 认识. [关键词]数学教育;数学课堂教学;数学思想方法;启发式教学 [中图分类号]G424.1 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2009)022******* 数学的课堂教学是在教师的传授和指导下进行学习、掌握数学知识、技能、思想、方法的一种认识过程.影响数学课堂教学质量的因素是多方面的,本文仅就提高高等数学课堂教学质量谈个人的几点认识. 1 正确认识高等数学课堂教学的重要性是提高教学质量的根本 对于理工科学生而言,数学教育的重要性是无需置疑的.随着当今科学技术知识更新的日益加快,各学科发展日益呈现出数学化的趋势,以及数学在各学科中应用的日益普及,数学教育不再仅仅只是整个大学教育的基础,而已成为人们终身教育的基础.数学教育质量的高低不仅决定着大学整体教育质量的高低,也决定着学生今后在其专业方面所能取得成就的大小,同时在一定程度上也决定着整个社会科学技术的水平.由此可见数学教育在整个教育中所占据的重要地位.但由于数学的教学内容所具有的高度抽象性,使得数学教学过程中学生的认识活动只能是在教师的指导下,有计划、有组织并在特定的学校教学环境中进行的,即数学教育主要是通过数学课堂教学得以实现的.好的数学课堂教学不仅能使学生学会数学的基础知识,更重要的是能使学生学会数学的思想方法,即学会科学地思考问题、解决问题的方法,并且在使学生体会到数学魅力的同时激发起其学习的兴趣以及创造的欲望.而不当的数学教学可能使数学学习变成一堆数学概念、定义、定理的罗列和灌输,不仅使学生难以理解消化,甚至会引起学生对数学学习的畏惧感.所以只有正确地认识到数学课堂教学的重要性,加大对数学课堂教学的重视、投入及管理才可能从根本上保证数学课堂教学质量的提高. 2 明确认识数学教学的目的是提高数学教学质量的基础 数学教学的目的中第一位的是:培养学生的数学思想方法以及应用数学思想方法的能力,即教给学生如何正确地思考问题,解决问题.这是数学教学中的首要任务,而教会学生数学的知识是第二位的.正如数学教育家波利亚所指出的数学教育宗旨是:“教青年人学会思考.”从教育意义上讲,数学是培养科学思维能力的一种最好的训练.作为数学教育的实施者———数学教师必须明确数学教学的目的,只有这样才能知道如何组织教学内容,如何突出数学的重点,只有在数学教学的过程中更加注重挖掘、整理、突 [收稿日期]2006212204
高等数学教材(较完整)
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：
周明儒—文科高等数学教学实践和思考
文科高等数学教学实践与思考 周明儒 XX师X大学数学系，XX省XX市221116 摘要：高等数学应当作为文科类大学生的一门必修的通识课程，文科高等数学应当将传授数学知识和揭示数学文化有机地结合起来，对文科学生讲授数学必须更加注意教学方法的改革，希望高校之间加强交流与合作，进一步搞好文科高等数学的教学改革。 关键词：高等数学，文科，教学改革 中图分类号： 在高等学校教育教学改革不断深化的过程中，加强文理渗透，推进素质教育，早已成为共识。但比较而言，对理工类大学生应当加强人文素质教育的论述较多，教学改革的成果也较多，而对人文类大学生如何加强自然科学素质教育的讨论则较少。虽然也有很多高校开设了自然科学类的选修课程，但作为自然科学共有基础的“高等数学”，在很多高校的人文类专业XX未普遍开设。我觉得，这里有认识方面的原因，也与教师紧，合用教材少有关。 1998－2001年我主持了“XX省普通高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”的一个重点项目：“高师本科课程体系改革研究与实践”，作为该课题的研究内容之一，我从2000年起
在学校开设了“文科高等数学公选课”，迄今已讲8遍，听课学生877人；此外，还应学校语言研究所之请，为2003、2004级语言学硕士研究生44人讲了高等数学。在教学实践中，我对教学内容、教学方法、考查考试方法作了改革，编写了《大学文科高等数学》讲义，在校内使用，并在校内外广泛征求意见，得到了很多老师的热情帮助，特别是得到了李大潜院士自始至终十分宝贵的指导和帮助。修改定稿后的《文科高等数学基础教程》，于2005年2月由高等教育出版。回顾这六年的教学工作，我感触较深的有以下几点： 一、高等数学应当作为文科类大学生的一门必修的通识课 程 当代科学技术的发展，不仅使自然科学和工程技术离不开数学，人文社会科学的许多 领域也已发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。越来越多的人已经认识到，新时代的人文社会科学工作者也应当掌握一些高等数学知识。 但我国中学教育的现实情况是：普通高中的文理分科和从初中就开始出现的文理偏科，不仅使得学生的知识结构不合理，而且导致很多学生在学习态度和学习情感上的失衡。文科学生中的很多人视数学为猛兽，把进大学后可以不学数学当作是一种解脱。我认为这既是中学阶段教育教学工作的一种失败，同时也从反面告诉我们，对于偏好文科的学生，应当在大学阶段给他们补
高等数学多媒体教学的思考
高等数学多媒体教学的思考 ［摘要］文章分析了高等数学多媒体教学的优势及其在当前教学中存在的若干问题，在此基础上针对高等数学学科的特点提出了应采用以传统教学方式为主、多媒体教学为辅、两种教学方式相结合的高等数学教学模式。 ［关键词］高等数学多媒体教学传统教学 高等数学是理工科院校开设的重要基础课。随着高等数学的用途越来越广泛，高等数学的教学也备受师生关注。当高等数学的教学内容日益递增，而教学学时不断被压缩，教学密度越来越大的时候，多媒体作为一项现代化技术，其优越性更加凸显，已经被广泛用于高等数学的教学中。教学实践证明，高等数学多媒体教学确实能克服一些传统教学方式中难以解决的问题。但是，当前的多媒体教学也暴露了一些问题。为了有效地提高高等数学教学质量，全面认识多媒体教学的利弊是非常重要的。 一、高等数学多媒体教学的优势 1.提高了高等数学教学的效率。利用多媒体进行教学，教师要在备课过程中，把要讲解的内容提前制作在课件上，这样就省去了教师在课堂上板书概念、定理、例题的时间，节约了课时，为同学们课堂练习、拓宽视野提供了充足的时间。因此，可以增加教学信息量，提高教学效率。而且，由于多媒体教学使用的是电子板书和无线话筒，其清晰大号的字体、先进的声音扩放系统，解决了后排学生看不清黑板或听不清教师讲解的问题，在一定程度上提高了教学质量。 2.丰富了教学形式，使课堂教学更加生动。一直以来，高等数学的课堂教学被学生认为既抽象又单调，甚至枯燥。而在多媒体教学中，教师在课件中加入一定的图像、声音、视频、动画等内容，为高等数学提供图文声像并茂、色彩鲜明的教学情境，能够激发学生的好奇心和新鲜感，提高学生的学习兴趣。而且，教师还可以根据不同的教学内容与环节，适时方便地添加或引入生动的课外知识，让学生了解所学知识的背景及应用，由此开拓了学生的知识面，使单调的数学知识变得生动形象。通过多媒体设备在课间播放轻松愉快的音乐，在紧张的课堂教学间隙中营造短暂而宝贵的轻松环境，深受学生的欢迎，这些举措都为高等数学课堂教学增添了活力。 3.能更加直观地展现高等数学中的数量关系和空间几何关系。多媒体教学可