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直线与方程知识点总结
一、直线基本知识
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ. 与 x 轴相交 ;ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.
②直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为00 .
③倾斜角的范围001800.
④090 , k 0 ；90180 , k0
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90 0的直线斜率不存在。
②经过两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) （ x1x2）的直线的斜率公式是 k y2y
1（ x1x
2）
x2x1
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1 ,l 2，其斜率分别为 k1 , k2，则有 l1 / /l 2k1k2。
特别地，当直线 l1 ,l 2的斜率都不存在时，l1与 l 2的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线 l1 ,l 2斜率存在，设为 k1, k2，则 l1l 2k1 gk21
注：两条直线 l1 ,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1 ，这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1 ，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为 -1 。如果l1, l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，l1与l2互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
( x1, y1 ) 为直线上一定点，不包括垂直于 x 轴
y y1 k(x x1 )的直线
k 为斜率
斜截式
y kx b k 为斜率， b 是直线在 y不包括垂直于 x 轴轴上的截距的直线
两点式
y y1x x1( x1, y1 ), (x2 , y2 ) 是直线上不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线
y2y1x2x1
两定点(其中 x1x2 , y1y2 )
截距式x y
1a 是直线在x轴上的非零不包括垂直于 x 轴
a b截距，
b 是直线在 y 轴上和 y 轴或过原点的
的非零截距直线
一般式
Ax By C0A ， B ， C 为系数无限制，可表示任
何位置的直线
(其中 A, B不同时为 0）
注：过两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）
若 x1
x2且
y1y2，直线垂直于x轴，方程为 x x1；
（2）若x1x2且 y1 y2，直线垂直于y轴，方程为 y y1；
（3）（ 3）若x1x2且 y1 y2，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
x1x2若两点1 ( 1,1
),
2( 2 ,2 ) ，且线段
x
2
y
12 的中点
M
的坐标为
(x, y)
，则
P x y P x P , P y1y2
y2
3.过定点的直线系
①斜率为 k 且过定点( x0, y0)的直线系方程为y y0k(x x0 ) ；
②过两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 ,l2 : A2 x B2 y C20 的交点的直线系方程为A1 x B1 y C1( A2 x B2 y C2 ) 0 （为参数），其中直线 l 2不在直线系中 .
三、直线的交点坐标与距离公式
1. 两条直线的交点
设两条直线的方程是 l1 : A1 x B1 y C1 0 ,l2 : A2 x B2 y C20 两条直线的交点坐标
就是方程组
A1 x B1 y C10
A2 x B2 y C2的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点
P1(
x1
,
y1
),
P2
(
x2
,
y2
) 间的距离公式 P P( x x )2( y
2
y ) 2
1 2211
特别地，原点 O (0,0) 与任一点 P(x, y) 的距离 OP x2y2（2）点到直线的距离
点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C
Ax0By0C 0 的距离d
A2B2
（3）两条平行线间的距离
两条平行线 l1 : Ax By C10 ,l 2 : Ax By C 20间的距离 d C2C1 A2B2
（注意：
①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能
套用公式计算。）
补充：
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
（2）．已知斜率 k 的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为(0,)
2
的子集，且 k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为(, ) 的子集，且k=tan为增
2
函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0 或小于 0 分为两部分，针对每一部
分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
2 、利用斜率证明三点共线的方法：
已知 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C (x3, y3 ), 若 x1x2x3或 k AB k AC，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，90 0是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
3.两条直线位置关系的判定：
已知 l1 : Ax By C1 0 ,l2 : Ax By C20 ，则：
（1）l1l2A1 A2B1B20
（2）l1// l2A1B2 - A2 B10, A1C 2A2C10;
（3）l1与l2重合A1 B2 - A2B10, A1C 2A2 C10;
（4）l1与l2相交A1B2A2 B10
如果 A 2 B 2 C 2 0 时，则： (1) l 1 l 2
A 1 ? A 2
1
B 1 B 2
(2)
l 1 // l 2
A 1
B 1
C 1 ( A 2 , B 2 ,C 2 不为 ）；
A 2
B 2
C 2 0
(3) l 1 与 l 2 重合
A 1
B 1
C 1 ( A 2 , B 2 ,C 2 不为 ）
A 2
B 2
C 2
(4) l 1 与 l 2 相交
A 1
B 1
( A 2 , B 2不为
0）
A 2
B 2
4. 有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称
x 2a x 1 ①若点 M ( x 1 , y 1) 及 N ( x 2 , y 2 ) 关于 P( a,b) 对称，则由中点坐标公式得
y 2b
y 1
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利
用 l 1 // l 2 ，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点 P ( x , y ) 与 P ( x , y ) 关于直线 l : Ax
By C 0对称，则线段 P P 的中点在对称
1
1
1
2
2
2
1 2
轴 l 上，而且连接 P 1P 2 的直线垂直于对称轴 l 上，由方程组
A(
x
1
2 x
2
) B(
y
1
2 y 2
) C 0
x 2 y 2
y 1
A 1
y 2
x 2 x 1
?( )
B
可得到点 P 1 关于 l 对称的点 P 2 的坐标 ( x 2 , y 2 ) （其中 A 0, x 1 x 2 ）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线
yx b 对称的解法：
y 换 x ， x 换 y . 例：曲线
f ( x, y) 0 关于直线 y x
2 对称曲线方程是 f ( y 2, x 2)
②曲线 C : f ( x, y) 0 关于点 (a,b) 的对称曲线方程是 f (2a x,2b y) 0
5. 两条直线的交角
.
①直线 l 1到 l 2的角（方向角）；直线 l 1到 l 2的角，是指直线l 1绕交点依逆时针方向旋转到与 l 2重合时所转动的角，它的范围是 (0, ) ，当90时 tan k2k1.
1 k1 k2
②两条相交直线 l 1与 l 2的夹角：两条相交直线l 1与 l 2 的夹角，是指由l 1 与l 2相交所成的四个角中最小的正角，又称为 l 1和 l 2所成的角，它的取值范围是0,，当90 ，则
2
有 tan k 2 k 1.
1k 1k 2
6.直线 l 上一动点 P 到两个定点 A、 B 的距离“最值问题” ：
(1) 在直线 l 上求一点 P，使 PA PB 取得最小值，
①若点 A、B 位于直线 l 的同侧时，作点 A （或点 B ）关于 l 的对称点 A/或 B/ ,
连接 A/ B(或 AB/ )交 l于 P，则点 P即为所求点 .
②若点 A、B 位于直线的异侧时，连接AB 交于 l 点 P ，则 P 为所求点。
可简记为“同侧对称异侧连” . 即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点
位于直线的异侧时，直接连接两点即可 .
（ 2）在直线 l 上求一点 P 使 PA PB 取得最大值，
方法与（ 1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
①若点 A、B 位于直线 l 的同侧时，连接AB 交于 l 点 P ，则 P 为所求点。
②若点 A、B 位于直线的异侧时，作点 A （或点 B ）关于 l 的对称点A/或 B / ,连接 A/ B(或 AB/ )交 l于 P，则点 P即为所求点 .
2 2
(3)PA PB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
7.直线过定点问题：
①含有一个未知参数，
y (a 1)x 2a 1y a( x 2) x 1（1）
令 x 2 0 x 2 ，
将 x2代入 (1)式，得 y3，从而该直线过定点 ( 2,3)
②含有两个未知参数
(3m n) x (m 2n) y n 0m(3x y) n( x 2 y 1)0
3x y
0 x
1 7
令
2 y
1
3 x y
7
从而该直线必过定点 ( 1 , 3)
7 7
8. 点到几种特殊直线的距离
（1）点 P(x 0 , y 0 ) 到 x 轴的距离 d | y 0 | 。
（2）点 P(x 0 , y 0 ) 到 y 轴的距离 d | x 0 | .
（3）点 P(x 0 , y 0 ) 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d | y 0 a | 。 （4）点 P(x 0 , y 0 ) 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d | x 0 a | .
9. 与已知直线平行的直线系有：
（ 1）平行于直线 Ax By
C 0的直线可表示为 Ax By C / 0(C /
C )
（2）平行于直线 y
kx b 的所有直线为 y kx b / (b /
b)
10. 易错辨析：
（1） 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
① 斜率不存在时，是否满足题意；
② 斜率存在时，斜率会有怎样关系。
（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。 ）
（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况： ① 直线与两定点所在直线平行； ② 直线过两定点的中点。
（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。 ） （4）过点 A(x 0 , y 0 ) ，平行于 x 轴的直线方程为 y
y 0
过点 A( x 0 , y 0 ) ，平行于 y 轴的直线方程为 x x 0