华师大数学九年级下第7讲 圆中三大基本定理
第7讲 圆中三大基本定理
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题型一：垂径定理 思路导航
垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、定 理
示例剖析
1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦
E D
C
B
A
O
1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．
2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； AC AD =；BC BD =．
典题精练
【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形
△ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8， 则BD 的长为（ ）
A ．20
B ．19
C ．18
D ．16
⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为
圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 ．
【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=?，2AB =．
设AE x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的是（ ）
A B C D
32
12y 21O
12x x
21
O
12y y 21O
1
2x
2121
O
x
y
B
A C
D E
B
D
A
O C
B
A
O C D
⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点()1 0，A ，过点()7 0-，P 的直线l 与 ⊙B 相交于C 、D 两点．则弦CD 长的所有可能的整 数值有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型二：弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理 思路导航
在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距四个量中，只要有一组量对应相等，那么其它三组量也分别相等。利用这个定理，我们可以把四组量的相等关系进行相互转化，做到有的放矢
【例3】 ⑴ 如图， ?
AB 是半圆，O 为AB 中点，C 、D 两点在?
AB 上，且
AD ∥OC ，连接BC 、BD ．若?=∠31CBD ，则ABD ∠的度 数为何？（ ）
A ．?28
B ．?29
C ．?30
D ．?31
⑵ 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是
AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小
值是__________．
⑶ 如图，半圆O 的直径AB =10
cm ，弦AC =6cm ，AD 平分∠BAC ，
则AD 的长为（ ）
A
．cm 54
B
．cm 53
C ．cm 55
D ．cm 4
⑷ 如图所示，在O ⊙中，2AB CD =，那么( ) A. 2AB CD > B. 2AB CD < C. 2AB CD = D. AB 与2CD 的大小关系不能确定
D
C
B
O
A
B
11
9
3
D
C B
A
题型三 圆周角定理 思路导航
拿到圆周角，先观察它的位置，对于位置不合适的，可以利用弧把它转化为圆心角或相等的圆周角，除此
【例4】 ⑴如下左图，ABC △内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=?，，
AD 为O ⊙的直径，6AD =，
那么BD =_________． ⑵如下中图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=?，AD OC ∥，则DCA ∠= （ ） A ．70? B ．60? C ．20? D ．40?
⑶ 如下右图，O ⊙的半径为1，AB 是O ⊙的一条弦，且AB AB 所对圆周角的度数为 __________．
【例5】 ⑴ 如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，
若45BAD CD ∠=?=，，则AB 的长等于 ．
⑵ 如图，已知圆内接四边形ABCD 中1193AB BC CD ===，，，若
AB CD BC AD +=+，则AD =__________．
O
D C
B A
O
D
C
B
A
思维拓展训练
训练1. ⑴ 如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥于D 交O ⊙于E ，则下列说法错误．．
的是（ ） A ．AD BD =
B ．ACB AOE ∠=∠
C ．AE BE
=D ．OD DE =
⑵ O ⊙的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的
最小值是__________．
⑶如图，O ⊙过点B C 、．圆心O 在等腰直角ABC △的内部，90BAC ∠=?，1OA =，6BC =，则O ⊙的半径为_____________．
⑷ 如图，在O ⊙内有折线OABC ，其中8OA =，12AB =，60A B ∠=∠=?，则BC
的长为______．
训练2. 如图，AD 为ABC △外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平
分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . ⑴求证：BD CD =；
⑵请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的 圆上？并说明理由.
课后测 【测试1】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小
正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，
且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．
【测试2】 ⑴如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040??、，则1∠的 度数为_________．
⑵ 如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠==，，则O ⊙的半径为 ______cm ．
1B
A
O
C
B A O
C
B A
【测试3】 如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．
O
E
D
B A
O
E
D
B
A
A
B
C
E
F
D
C
B
A
O C
B
A O
P
O
B
A